必修5解三角形数列综合测试题
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：（每小题5分，共60分）
1．已知锐角ABC ∆的面积为4,3BC CA ==，则角C 的大小为（ ） A ． 30 B ． 45 C ． 60 D ．
75 2. 在等差数列{}n a 中，若4612a a +=，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则9S =（ ） A ．48 B ．54 C ．60 D ．108
3. 已知等比数列{}n a 的公比为正数，且2
3952a a a ⋅=，21a =，则1a =（ ）
A ．
1
2
B ．2
C
D ．2
4. 已知{}n a 是首项为1的等比数列，n s 是{}n a 的前n 项和，且369s s =，则数列1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前5项和为（ ） A .
158或5 B . 5 或1631 C .3116 D .15
8
5. 已知数列{}n a 的前n 项和2
9n S n n =-，第k 项满足58k a <<，则k =（ ）
A ．9
B ．8
C ．7
D ．6
6. 在各项均为正数的等比数列{n a }中，123a a a =5，789a a a =10，则456a a a =（ ）
A ．
B ．7
C ． 6
D ． 7. 在ABC ∆中，60A =，且最大边长和最小边长是方程2
7110x x -+=的两个根，则第三边的长为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5 8. 在数列{}n a 中，12a =， 11ln(1)n n a a n
+=++，则n a = ( )
A ．2ln n +
B ．2(1)ln n n +-
C ．2ln n n +
D ．1ln n n ++
9. 在ABC ∆中，A 、B 的对边分别是a 、b ，且
30=A
，a =4b =，那么满
足条件的ABC ∆（ ）
A ．有一个解
B ．有两个解
C ．无解
D ．不能确定 10. 已知等差数列{}n a 的公差0d <，若462824,10a a a a =+=，则该数列的前n 项和n
S 的最大值为（ ）
A ．50
B ．45
C ．40
D ．35 11. 各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10302,14S S ==，则40S =（ ） A ．80 B ．30 C ．26 D ．16 12. 在∆ABC 中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-．则A 的取值范围是（ ）
A ．（0，
6
π
] B ．[
6π，π） C ．（0，3π] D ．[ 3
π
，π）
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：（每小题5分，共20分）
13. 已知c b a ,,分别是ABC ∆的三个内角C B A ,,所对的边，若
B C A b a 2,3,1=+==则=C sin .
14. 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若
5359a a =，则95
S
S = ． 15. 已知ABC ∆ 的一个内角为 120，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC ∆的面积为_______________.
16.下表给出一个“直角三角形数阵”
41 4
1,21
16
3,83,43 ……
满足每一列成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i 行第j 列的数为83),,,(a N j i j i a ij 则+
∈≥等于 . 三、解答题：（本大题共6小题，共70分）
17. （本小题满分10分）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1S ,3S ,2S 成等差数列． （Ⅰ）求{}n a 的公比q ； （Ⅱ）若133a a -=，求n S ．
18. （本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且4
cos 5
A =． （Ⅰ）求2
sin
cos22
B C
A ++的值； （Ⅱ）若2b =，3ABC S ∆=，求边a ．
19. （本小题满分12分）已知a 、b 、c 分别是ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对的边． （Ⅰ）若c b A 3,3
1
cos ==
，求C sin 的值; （Ⅱ）若B c a cos =，且A c b sin =，试判断ABC ∆的形状．
20. （本小题满分12分）已知数列{}n a 中，14a =，122n
n n a a -=+（*2,n n N ≥∈）．
（Ⅰ）求2a 和3a 的值； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式.
21.（本小题满分12分）数列}{n a 的前n 项和记为n S ,t a =1,点1(,)n n S a +在直线
21y x =+上,N n *∈．
(Ⅰ)当实数t 为何值时,数列}{n a 是等比数列？ (Ⅱ)在(Ⅰ)的结论下,设31log n n b a +=,n T 是数列1
1
{}n n b b +⋅的前n 项和,求2012T 的值.
22.（本小题满分12分）设n S 是正项数列{}n a 的前n 项和，且211
122
n n n S a a =+- （*
n N ∈）．
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若2n
n b =，设n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T .
答案
一、选择题（每题5分，共60分）
二、填空题（每题5分，共20分）
13.1； 14.1; 15.315 16.
2
1
; 三、解答题：（本大题共6小题，共70分） 17. （本题满分10分）解： （Ⅰ）1
2
-
（Ⅱ）811()32n ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦
18. （本题满分12分）解： （Ⅰ）
59
50
19. （本题满分12分）解：
（Ⅰ）由.,cos 23,3
1
cos 222222c b a A bc c b a c b A -=-+===得及 故△ABC 是直角三角形，且3
1
cos sin ,2===A C B 所以π.
（Ⅱ）
222
2
2
2
cos 22a c b
a c
b a
c B c ac
a
+-+-==⋅
=
，∴222c a b =+，即0
90C ∠=；A c b sin =，由正弦定理可得0sin sin sin sin90sin sin B C A A A ===，
∴sin sin B A =，又
,A B 均为锐角， ∴A B =．∴ABC ∆为等腰直角三角形．
20（本题满分12分）解：
（Ⅰ）23
12,32a a ==（Ⅱ）()n
n n a 2.1+=
21. （本题满分12分）解：
(Ⅰ)由题意得121n n a S +=+，121n n a S -=+(2)n ≥ 两式相减得
)2(3,211≥==-++n a a a a a n n n n n 即，所以当2≥n 时，}{n a 是等比数列，要使1
≥n 时，}{n a 是等比数列，则只需31
212=+=
t
t a a ，从而1=t ． (Ⅱ)1
3n n a -=，31log n n b a n +==，
11111(1)1n n b b n n n n +==-⋅++ 2013
2012
2012=T
22. （本题满分12分）解：
（Ⅰ）当1n =时，2111111
122S a a a ==
+-，解得11a =-（舍去）
，12a =． 当2n ≥时，由211122n n n S a a =+-得，2
11111122
n n n S a a ---=+-，
两式作差，得22
11111112222
n n n n n n n S S a a a a a ----==+--，
整理得22
11111102222
n n n n a a a a -----=，()22110n n n n a a a a ----+=，
()()()1110n n n n n n a a a a a a ---+--+=，()()1110n n n n a a a a --+--=，
数列{}n a 为正项数列，10n n a a -+>，
∴110n n a a ---=，即11n n a a --=，数列{}n a 是公差为1的等差数列， ∴()()11211n a a n d n n =+-=+-=+．
（Ⅱ）
()12n
n n n c a b n ==+，
∴()12322324212n n T n =⨯+⨯+⨯+
++，①
()23412223242212n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++⋅++，②
()()1231122222122n n n n T n n ++-=⨯+++
+-+=-⋅，
∴12n n T n +=⋅．。