第一章 解三角形
一、选择题
1．己知三角形三边之比为5∶7∶8，则最大角与最小角的和为( )． A ．90°
B ．120°
C ．135°
D ．150°
2．在△ABC 中，下列等式正确的是( )． A ．a ∶b ＝∠A ∶∠B B ．a ∶b ＝sin A ∶sin B C ．a ∶b ＝sin B ∶sin A
D ．a sin A ＝b sin B
3．若三角形的三个内角之比为1∶2∶3，则它们所对的边长之比为( )． A ．1∶2∶3 B ．1∶3∶2 C ．1∶4∶9
D ．1∶2∶3
4．在△ABC 中，a ＝5，b ＝15，∠A ＝30°，则c 等于( )． A ．25
B ．5
C ．25或5
D ．10或5
5．已知△ABC 中，∠A ＝60°，a ＝6，b ＝4，那么满足条件的△ABC 的形状大小 ( )．
A ．有一种情形
B ．有两种情形
C ．不可求出
D ．有三种以上情形
6．在△ABC 中，若a 2＋b 2－c 2＜0，则△ABC 是( )． A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．形状不能确定
7．在△ABC 中，若b ＝3，c ＝3，∠B ＝30°，则a ＝( )． A ．3
B ．23
C ．3或23
D ．2
8．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边．如果a ，b ，c 成等差数列，∠B ＝30°，△ABC 的面积为
2
3
，那么b ＝( )． A ．
2
3
1+ B ．1＋3
C ．
2
3
2+ D ．2＋3
9．某人朝正东方向走了x km 后，向左转150°，然后朝此方向走了3 km ，结果他离出发点恰好3km ，那么x 的值是( )．
A ．3
B ．23
C ．3或23
D ．3
10．有一电视塔，在其东南方A 处看塔顶时仰角为45°，在其西南方B 处看塔顶时仰角为60°，若AB ＝120米，则电视塔的高度为( )．
A ．603米
B ．60米
C ．603米或60米
D ．30米
二、填空题
11．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝10，b ＝ ． 12．在△ABC 中，∠A ＝105°，∠B ＝45°，c ＝2，则b ＝ ． 13．在△ABC 中，∠A ＝60°，a ＝3，则
C
B A c
b a sin sin sin ++++＝ ．
14．在△ABC 中，若a 2＋b 2＜c 2，且sin C ＝
2
3
，则∠C ＝ ． 15．平行四边形ABCD 中，AB ＝46，AC ＝43，∠BAC ＝45°，那么AD ＝ ． 16．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则最大角的余弦值＝ ． 三、解答题
17． 已知在△ABC 中，∠A ＝45°，a ＝2，c ＝6，解此三角形．
18．在△ABC 中，已知b ＝3，c ＝1，∠B ＝60°，求a 和∠A ，∠C ．
19． 根据所给条件，判断△ABC 的形状． (1)a cos A ＝b cos B ； (2)A a cos ＝B b cos ＝C
c
cos ．
20．△ABC 中，己知∠A ＞∠B ＞∠C ，且∠A ＝2∠C ，b ＝4，a ＋c ＝8，求a ，c 的长．
第一章 解三角形
参考答案
一、选择题 1．B
解析：设三边分别为5k ，7k ，8k (k ＞0)，中间角为 α， 由cos α＝k k k k k 85249－64＋25222⨯⨯＝2
1
，得 α＝60°，
∴最大角和最小角之和为180°－60°＝120°． 2．B 3．B 4．C 5．C 6．C 7．C 8．B
解析：依题可得：⎪⎪⎩⎪⎪
⎨⎧︒
︒30cos 2－＋＝23＝30sin 21
2＝＋222ac c a b ac b
c a ⇒⎪⎩⎪⎨⎧ac ac c a b ac b c a 3－2－)＋(＝6＝2＝＋2
2
代入后消去a ，c ，得b 2＝4＋23，∴b ＝3＋1，故选B ． 9．C 10．A 二、填空题 11．56． 12．2． 13．23． 解析：设
A a
sin ＝B b sin ＝C
c sin ＝k ，则C B A c b a ＋sin ＋sin sin ＋＋＝k ＝A a sin ＝︒60sin 3＝
23．
14．
3
2π． 15．43． 16．－
4
1． 三、解答题
17．解析：解三角形就是利用正弦定理与余弦定理求出三角形所有的边长与角的大小． 解法1：由正弦定理得sin C ＝26sin 45°＝26
·22＝2
3． ∵c sin A ＝6×
2
2
＝3，a ＝2，c ＝6，3＜2＜6， ∴本题有二解，即∠C ＝60°或∠C ＝120°，
∠B ＝180°－60°－45°＝75°或∠B ＝180°－120°－45°＝15°． 故b ＝
A
a
sin sin B ，所以b ＝3＋1或b ＝3－1， ∴b ＝3+1，∠C ＝60°，∠B ＝75°或b ＝3－1，∠C ＝120°，∠B ＝15°． 解法2：由余弦定理得
b 2＋(6)2－26b cos 45°＝4， ∴b 2－23b ＋2＝0，解得b ＝3±1． 又(6)2＝b 2＋22－2×2b cos C ，得cos C ＝±2
1
，∠C ＝60°或∠C ＝120°， 所以∠B ＝75°或∠B ＝15°．
∴b ＝3＋1，∠C ＝60°，∠B ＝75°或b ＝3－1，∠C ＝120°，∠B ＝15°． 18．解析：已知两边及其中一边的对角，可利用正弦定理求解．
解：∵
B b sin ＝C
c
sin ， ∴sin C ＝b B c sin ⋅＝360sin 1︒⋅＝21
．
∵b ＞c ，∠B ＝60°，∴∠C ＜∠B ，∠C ＝30°，∴∠A ＝90°． 由勾股定理a ＝22＋c b ＝2， 即a ＝2，∠A ＝90°，∠C ＝30°．
19．解析：本题主要考查利用正、余弦定理判断三角形的形状． (1)解法1：由余弦定理得
a cos A ＝
b cos B ⇒a ·(b
c a c b 2222-+)＝b ·(ac c b a 22
22+-)⇒a 2c 2－a 4－b 2c 2＋b 4＝0，
∴(a 2－b 2)(c 2－a 2－b 2)＝0， ∴a 2－b 2＝0或c 2－a 2－b 2＝0， ∴a ＝b 或c 2＝a 2＋b 2．
∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形． 解法2：由正弦定理得 sin A cos A ＝sin B cos B ⇒sin 2A ＝sin 2B
⇒2∠A ＝2∠B 或2∠A ＝π－2∠B ，∠A ，∠B ∈(0，π) ⇒∠A ＝∠B 或∠A ＋∠B ＝
2
π
， ∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．
(2)由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C 代入已知等式，得
A A R cos sin 2＝
B B
R cos sin 2＝C C R cos sin 2， ∴
A A cos sin ＝
B B
cos sin ＝C
C cos sin ， 即tan A ＝tan B ＝tan C ． ∵∠A ，∠B ，∠C ∈(0，π)， ∴∠A ＝∠B ＝∠C ， ∴△ABC 为等边三角形．
20．解析：利用正弦定理及∠A ＝2∠C 用a ，c 的代数式表示cos C ；再利用余弦定理，用a ，c 的代数式表示cos C ，这样可以建立a ，c 的等量关系；再由a ＋c ＝8，解方程组得a ，c ．
解：由正弦定理
A a
sin ＝C
c sin 及∠A ＝2∠C ，得 C a 2sin ＝C c sin ，即C C a cos sin 2⋅＝C c
sin ，
∴cos C ＝
c
a
2．
由余弦定理cos C ＝ab
c b a 22
22-+，
∵b ＝4，a ＋c ＝8， ∴a ＋c ＝2b ，
∴cos C ＝)
()(c a a c c a a ＋－4＋＋2
22
＝)())((c a a c a c a ＋4＋3－5＝a c a 43－5，
∴
c a
2＝a
c a 43－5， 整理得(2a －3c )(a －c )＝0， ∵a ≠c ，∴2a ＝3c ． 又∵a ＋c ＝8， ∴a ＝5
24，c ＝516
．。