三角函数、向量、解三角形、数列综合测试（含答案）
大冶一中 孙雷
一、选择题(每题只有一个正确选项，共60分)
1.若向量===BAC CB AB ∠),0,1-(),2
3,21(则( ) A.30° B.60° C. 120° D. 150°
2.已知34,4,8===AC BC AB ABC Rt 中，△,则对于ABC △所在平面内的一点P ，)(PC PB PA +•的最小值是( )
A.-8
B. -14
C.-26
D.-30
3.已知在正方形ABCD 中，点E 为CD 的中点，点F 为CB 上靠近点B 的三等分点，O 为AC 与BD 的交点，则=DB ( ) A.OF AE 51858-+ B.OF AE 74718-+ C.OF AE 58518-+ D. OF AE 7
1874-+ 4.已知）2π-απ-(523-
αsin -αcos <<=，则=+αααtan -1)tan 1(2sin ( ) A.7528- B.7528 C.7556- D. 75
56 5.若函数m x x x f -2cos 2-sin 4)(=在R 上的最小值是3，则实数=m ( )
A.6-
B.5-
C.3-
D.2-
6.已知α为锐角，且2)8
π
-α(tan =，则=α2sin ( ) A.102 B.1023 C.1027 D. 4
23 7.已知向量)sin 41
-(α，=a ，)4πα0)(1-α(cos <<=，b ，且b a //，则=)4
π-αcos(( ) A.21- B.2
1 C.23- D.23 8.在ABC △中，3:2:1::=A B C ,则=a b c ::( )
A.1:2:3
B.3:2:1
C.1:3:2
D. 2: 3:1
9.在ABC △中，c b a ,,分别为内角C B A ,,的对边，若B A C sin sin sin 3+=，5
3cos =C ，且4=ABC S △，
则=c ( ) A.364 B.4 C.3
62 D.5 10.在ABC △中，°=60C ,322==AC BC ,点D 在边BC 上，且772sin =∠
BAD ，则CD =( )
A. 334
B.4
3 C.33 D.332 11.我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：“有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？”根据上述问题的已知条件，若该女子共织布
3135尺，则这位女子织布的天数是( )
A.2
B.3
C.4
D.1
12.数列}{n a 中，01=a ，且)2(2-1-1-≥+=+n a a n a a n n n n ，则数列})1-(1{2
n a 前2019项和为( ) A.20194036 B.10102019 C.20194037 D.2020
4039 二、填空题（共20分）
13.已知等差数列}{n a 的前n 项和n S 有最大值，且
1-20192020<a a ，则当0<n S 时n 的最小值为_____________. 14.已知数列}{n a 满足2321)2(+=n a a a a n ，则该数列的通项公式为______________.
15.已知数列}{n a 满足),2(1)13()1-(*1-1N n n a a n n n ∈≥++=+，且121==a a ，则数列}{n a 的前2020项的
和为_______________.
16.ABC △中，A
b B a B A
c C B A cos cos sin sin sin -sin sin 222+=+，若1=+b a ，则c 的取值范围是___________.
三、解答题（共70分）
17.已知n S 为等差数列}{n a 的前n 项和，81=a ，10-10=S
(1)求n a ，n S ；
(2)设||||||21n n a a a T +++= ，求n T .
18.在ABC △中，c b a ,,分别为内角C B A ,,的对边，且5
52sin
=B ，6=•BC BA (1)求ABC △的面积；
(2)若8=+c a ，求b 的值.
19.已知函数)(|2||-|)(R a x a x x f ∈++=
(1)当1=a 时，求不等式5≥)(x f 的解集；
(2)当]1,0[∈x 时，不等式|4|≤)(+x x f 恒成立，求实数a 的取值范围.
20.已知函数)0(2
3-sin 3cos sin )(2>+=ωωωωx x x x f 的最小正周期为π，将函数)(x f 的图象向左平移6π个单位长度，再向下平移2
1个单位长度，得到函数=y )(x g 的图象 (1)求函数)(x f 的单调递减区间；
(2)在锐角ABC △中，角C B A ,,的对边为c b a ,,，若2,0)2(==a A g ，求ABC △面积的最大值.
21.已知关于x 的函数1-2-2
π3cos(
cos 2)(2）x x x f += (1)求不等式0)(>x f 的解集; (2)若关于x 的不等式x a x x f sin ≥|2sin )(|+在区间]4π3,
3π[上有解，求实数a 的取值范围.
22.已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且31-34n n a S =
，等差数列}{n b 各项均为正数，223b a =，4246b b a += (1)求数列}{n a ，}{n b 的通项公式；
(2)设数列}{n c 的前n 项和为n T ，对一切*N n ∈有
n n
n b na c a c a c =++ 22112成立，求n T .。