定义：已经活到x岁的人（简记(x)），还 能继续存活的时间，称为剩余寿命，记 作T(x)。
T分布函数记为 F T t
FT t Pr(T(X) t) Pr(x X xt X x) ＝FxtFx 1Fx
s(x)s(xt) s(x)
T 的 概 率 密 度 函 数 记 为 fT t,fT t F T t s s x x t 在 精 算 学 中 ， 用 国 际 通 用 的 符 号 来 表 示 有 关 T x
死亡效力与生存函数的关系
两边积分，
x
0 ydy
x 0

ln
s

y

dy
ln s y
x 0


x 0

y
dy,
ln
s

x



x
0 ydy
x
s
x


e
0
ydy
从 而 ， tpxssxxt
0xtydy ee e 0xydy
整值剩余寿命的方差

V a r (K (x )) E (K 2 ) E 2 (K )(2 k 1 )k 1 p x e x 2 k 0
死亡效力
定义：( x ) 的瞬时死亡率，简记 x xss((xx))sf((xx))ln[s(x)]
死亡效力与生存函数的关系
的 各 种 概 率 。
用 tq x P r T x t ,t 0 表 示 x 岁 的 人 在 x t岁 以
前 死 亡 的 概 率 tqxPr(T(X)t)Pr(xXxt Xx)
＝sxsxt sx
剩余寿命
剩余寿命的生存函数t p x ：
K ( X ) k , k T ( x ) k 1 ,k 0 ,1 ,
概率函数
Pr(K(X) k) Pr(k T(x) k1) Pr(k T(x) k1)
PrT(x)k1PrTxk
q k1 x kqx k px k1px
第三章
生命表函数与生命表构造
本章重点
生命表函数
生存函数 剩余寿命 死亡效力
生命表的构造
有关寿命分布的参数模型 生命表的起源 生命表的构造 选择与终极生命表
有关分数年龄的三种假定
第一节 生命表函数
分布函数
一个人的寿命从出生到死亡的时间长度， 是无法事先确定的，在概率上称之为随 机变量，记为X。是连续型随机变量。
剩余寿命的期望与方差
期望剩余寿命：( x ) 剩余寿命的期望值(均值),简
记
o
e
xo
ex

E (T ( x))


tfT
0
t dt


t(
0
sx t s x )dt

0 t ( t px )dt t t px
0

0
t
px dt
EX0xfxdx
生存函数
定义 S(x)Pr(Xx)
意义：新生儿能活到 x 岁的概率。
与分布函数的关系：S(x)1F(x)
与密度函数的关系：f(x)S(x) 新生儿将在x岁至z岁之间死亡的概率：
P r(x X z) s(x ) s(z)
剩余寿命
用 X 表 示 出 生 婴 儿 未 来 寿 命 的 随 机 变 量 ， 则 X 的 分
布 函 数 F x P r X x x 0
即 0 岁 的 人 在 x 岁 之 前 死 亡 的 概 率 。 x 0
X 的 概 率 密 度 函 数 记 为 f x , 则 f x F x ， x 0

t t px
0


0 t pxdt

0 t px dt
剩余寿命的期望与方差
剩余寿命的方差

o2
V a r(T (x )) E (T (x )2) E 2 T (x ) 2ttp xd t e x
0
整值剩余寿命的期望与方差
期望整值剩余寿命：( x ) 整值剩余寿命的期望值
t px Pr(T(x)t)Pr(Xxt Xx) s(xt) s(x)
表 示 x 岁 的 人 在 x t 岁 仍 活 着 的 概 率 。
特别：
x p0 s(x)
剩余寿命
p x ：x岁的人至少能活到x+1岁的概率
px 1 px
q x ：x岁的人将在1年内去世的概率
那 么 P r X 5 0 表 示 什 么 ？
表 示 x 岁 的 人 在 5 0 岁 以 后 死 亡 的 概 率 ， 即 在 5 0 岁 仍 然 生 存 的 概 率 。
P r X 5 0 1 P r X 5 0 1 F 5 0
P r ( x X x tX x ) 表 示 什 么 ？
qx 1qx
t u q x ：X岁的人活过t年后在往后u年内去
世的概率即在x＋t岁到x＋t＋u岁之间死 亡的概率。
tuqx PrtTxtu Pr[Txtu]PrTxt
tuqx tqx t px tu px
整值剩余寿命
定义：( x ) 未来存活的完整年数，简记 K ( x )
表 示 活 到 x 岁 的 人 在 x ～ x t 之 间 死 亡 的 概 率 ， 即
Pr(x X xt X x)

Pr(x
X xt
PrX x
X

x)
Pr X x t Pr X x

1 Pr X x
Fx t Fx 1 Fx
(均值),简记 e x
ex E(K(x))

k ( k px k1 px ) k 0 1 px 2 px 2 2 px 3 px 3 3 px 4 px 1 px来自 2 px 3 px
p k1 x k 0
整值剩余寿命的期望与方差