四科联赛（数学）
时间45分钟，总分60分
一、选择题（每题3分，共18分）
1、下列四个几何体中，主视图、左视图与俯视图是全等图形的几何体是……（ ）
A 、球
B 、圆柱
C 、三棱柱
D 、圆锥
2、某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I （A ）与电阻R （Ω）成反比例，图所表示的是该电源路中电流I 与电阻R 之间关系的图象，则用电阻R 表示电流I 的函数解析式为（ ）
A 、R
2I = B 、R 3I =
C 、R 6I =
D 、R 6I -= 3、三双不同的袜子放在抽屉里，某天停电后房间里一片漆黑，某人想从这些袜子里取出一双，为了保证他一定能够取到一双袜子，他至少应该取出………………（ ）
A 、3只袜子
B 、4只袜子
C 、5只袜子
D 、6只袜子
4、如图，在△ABC 中，BC = 8cm ，AB 的垂直
平分线交AB 于点D ，交边AC 点于E ，△BCE 的周
长等于18cm ，则AC 的长等于（ ）
A 、6cm
B 、8cm
C 、10cm
D 、12cm
5、在四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是………………………………………………………………………………………（ ）
A 、AC = BD ，A
B CD B 、AD ‖B
C ，∠A = ∠C C 、AO = BO = CO = DO ，AC ⊥B
D D 、AO = CO ，BO = DO ，AB = BC ∥ =
6、正比例函数x y =与反比例函数x
y 1= 的图像相交于A ，C 两点，AB ⊥x 轴于D （如图），
则四边形ABCD 的面积为（ ）
A 、1
B 、23
C 、2
D 、2
5 二、填空题（每题3分，共18分）
1、如果关于x 的方程042=++ax x 有两个相等的实根，则=a 。
2、一种药品经过两次降价后，每盒的价格由原来的60元降到48.6元，那么平均每次降价的百分率为 。
3、在三角形纸片ABCD 中，∠C = 90o ，∠A = 30 o ，AC = 3，
折叠该纸片，使点A 与点B 重合，折叠与AB ，AC 分别相交于点
D 和点
E ，折痕DE 的长为 。
4、用12个全等的等腰梯形镶嵌成的图形，这个图形中等腰
梯形的上底长与下底长比是 。
5、5名学生中生日不在同一个月的概率是 。
6、两个反比例函数x y 3=，x
y 6=在第一象限内的图象 如图所示点P 1、P 2、P 3…P 2005在反比例函数x y 6=图象上，它 们横坐标分别是x 1，x 2，x 3…x 2005，纵坐标分别是1，3，5…共
2005个连续奇数，过点P 1，P 2，P 3…P 2005分别作y 轴的平行线， 与x
y 3=的图像的交点依次是Q 1（x 1，y 1）Q 2(x 2，y 2)Q 3(x 3，y 3) … Q 2005(x 2005，y 2005)，则=2005y 。
三、解答题（每题6分，共24分）
1、已知关于x 的一元二次方程()0433422=-++++k k x x k 的一个根为O ，求k 的值。
2、把大小和形状一模一样的6张卡片分成两组，每组3张，分别标上数1，2，3，将这两组卡片分别放入两个盒子中搅匀，再从中随机抽取一张，试求取出的两张卡片数学之和为偶数的概率。
（要求用树状图或列表方法求解）
3、在□ABCD 的纸片中，AC ⊥AB ，AC 与BD 相交于O ，将△ABC 沿对角线AC 翻转180o ，得到△AB ˊC 。
（1）求证：以A 、C 、D 、B ˊ为顶点的四边形是矩形。
（2）若四边形ABCD 的面积S = 12cm ，求翻折后纸片重叠部分的面积
4、如图，将一块直角三角形纸板的直角顶点放在点C （1， 2
1）处，两直角边分别与x ，y 轴平行，纸板的另两个顶点A 、B 恰好为直线2
9+=kx y 与双曲线)0(>=m x
m y 的交点。
（1）求m 和k 的值。
（2）设双曲线)0(>=m x
m y 在A 、B 之间的部分为L ，让一把三角尺的直角顶点P 在L 上滑动，两直角边始终与坐标轴平行，且与线段AB 交于M 、N 两点，请探究是否存
在点P 使得AB MN 2
1=，写出你的探究过程和结论。
参考答案
一、选择题
1、A
2、C
3、B
4、C
5、B
6、C
二、填空题
1、±4
2、10%
3、1
4、1：2
5、144
55
6、2004.5 三、解答题
1、解：把0=x 代入方程，得0432=-+k k
解得：4,121-==k k ，又∵04≠+k ，∴1,4=-≠k k
2、解：（法1）画树状图
第一组
第二组
由上图可知，所有等可能结果共有9种，其中两张卡片数字之和为偶数的结果有5种。
（法2）列表如下：
∴9
5=p 3、（1）证： ⇒□ACDB ′是矩形。
（2）重叠部分即△AEC ，∵E 是短形ACDB ˊ对角线交点。
∴S △ACE = 21 S △ACD =
41 S □ABCD =23124
1cm =⨯。
4、（1）∵点A 、B 在双曲线)0(>=m x
m y 上，且AC ∥y 轴，BC ∥x 轴， ∴点A 、B 的坐标分别（1，m ）、（2m ，2
1）。
又点A 、B 在直线29+=kx y 上， ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=2922
129mk k m 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=;21,4m k 或⎪⎩⎪⎨⎧=-=.4,21m k ⎭⎬⎫∠='∠⇒⊥'⇒⎪⎭
⎪⎬⎫='⇒⎭⎬⎫=⇒'='⇒⇒'Rt AC B AB AC ACDB CD AB CD AB ABCD AB ：AB CD AB AB CD ABCD D ，B 是平行四边形平行四边形由折叠知平行平行平行四边形连结
当4-=k 且21-
=m 时，点A 、B 的坐标是（1，21），不合题意，应舍去；当2
1-=k 且4=m 时，点A 、B 的坐标是分别为（1，4）、（8，2
1），符合题意。
∴4,2
1=-=m k 。
（2）假设存在点P 便得MN=21AB 。
∵AC ∥y 轴，MP ∥y 轴
∴AC ∥MP ， ∴∠P MN =∠CAB ， ∵Rt △MPN ∽Rt △ACB ， ∴.21==AB MN AC MP 设点P 坐标为（x x 4,）（81<<x ），则M 点坐标为（2
921,+-x x ）， ∴MP=x
x 42921-+-。
又AC=27214=-， ∴4
742921=-+-x x ，即0161122=+-x x ∵△071624)11(2<-=⨯⨯--=
∴方程无实根。
所以不存在 点P 使得MN =2
1AB。