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2018年必修五《正弦定理》教案

§1.1.2 正弦定理
一、知识与技能
1会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题
2通过三角函数、正弦定理等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一.
3.在问题解决中,培养学生的自主学习和自主探索能力.
二、过程与方法
让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中,边与其对角的关系,引导学生通过观察,推导,比较,由特殊到一般归纳出正弦定理,并进行定理基本应用的实践操作。

三、教学重点与难点:
重点:正弦定理的探索及其基本应用。

难点:已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

【授课类型】:习题拔高课
四、教学过程
一、知识回顾 1正弦定理的内容是什么?
二、例题讲解
例 1试推导在三角形中 A a s i n =B b sin =C
c sin =2R 其中R 是外接圆半径. 证明 如图所示,∠A =∠D
∴R CD D a A a 2sin sin === 同理B b sin R 2=,C c sin R 2= ∴
A a sin =
B b sin =C
c sin =2R
a b c
O B C A D
例2 在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中,===∆ 解:∵213
60sin 1sin sin ,sin sin 0=⨯==∴=b B c C C c B b ,C B C B c b ,,60,0<∴=> 为锐角,
0090,30==∴B C ∴222=+=c b a
例3 C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中,===∆ 解2
3245sin 6sin sin ,sin sin 0=⨯==∴=a A c C C c A a 0012060,sin 或=∴<<C c a A c
1360sin 75sin 6sin sin ,756000
0+=====∴C B c b B C 时,当, 1360sin 15sin 6sin sin ,1512000
0-=====∴C B c b B C 时,当 或0060,75,13==+=∴C B b 00120,15,13==-=C B b
五、巩固深化,反馈矫正
1试判断下列三角形解的情况:
已知060,12,11===B c b 则三角形ABC 有( )解
A 一
B 两
C 无解
2已知0110,3,7===A b a 则三角形ABC 有( )解
A 一
B 两
C 无解
3.在ABC ∆中,三个内角之比3:2:1::=C B A ,那么c b a ::等于
4.在ABC ∆中, B=1350,C=150,a=5则此三角形的最大边长为
5.在ABC ∆中,已知045,2,===B cm b xcm a ,如果利用正弦定理解三角形有两解,则x 的取值范围是_____
6.在ABC ∆中,已知B c b sin 2=,求C ∠的度数
六、小结
(1)正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系数为同一正数,即存在正数k 使C k c B k b A k a sin ,sin ,sin ===;
(2)A a sin =B b sin =C c sin 等价于A a sin =B b sin ,B b sin =C c sin ,A a sin =C
c sin ,即可得正弦定理的变形形式:
1)2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===;
2)sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R
===; 3)利用正弦定理和三角形内角和定理,可解决以下两类斜三角形问题: 1)两角和任意一边,求其它两边和一角;如B A b a sin sin =
; 2)两边和其中一边对角,求另一边的对角,进而可求其它的边和角.如B b
a A sin sin =。

一般地,已知角A 边a 和边
b 解斜三角形,有两解或一解或无解(见图示).
(外接圆法)如图所示,∠A =∠D
a=bsinA 有一解 a>bsinA 有两解 a>b 有一解 a>b 有一解
七、板书设计 略
巩固深化参考答案:
1.B ;
2.A ;
3.1:3:2;
4.52;
5.2x 2<<2;
6.30°或150°。

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