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反比例函数与几何综合培优专题(真题含答案)

反比例函数与几何综合培优专题(真题含答案)反比例函数与几何综合的处理思路:1. 从关键点入手.“关键点”是信息汇聚点,通常是 函数图像 和几何图形的交点.通过 关键点坐标 和 横平竖直的线段长 的互相转化可将 函数特征 与 几何特征 综合在一起进行研究. 补充:函数几何特征常见转化作法:1.函数→坐标→几何 ①借助表达式设出点坐标; ②将点坐标转化为横平竖直线段长; ③结合几何特征利用线段长列方程. 2.几何→坐标→函数①研究几何特征,考虑线段间关系; ②通过设线段长进而表达点坐标; ③将点坐标代入函数表达式列方程.2. 梳理题干中的函数和几何信息,依次转化.3. 借助 函数特征 或 几何特征 列方程求解. 与反比例函数相关的几个结论,在解题时可以考虑调用.结论:2||ABO ABCO S S k ==△矩形 结论:OCD ABCD S S =△梯形①结论:AB =CD结论:BD ∥CE一、单选题1.(2019·贵州中考真题)如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD 在第一象限内,边BC 与x 轴平行,A ,B 两点的纵坐标分别为4,2,反比例函数y kx=(x >0)的图象经过A ,B 两点,若菱形ABCD 的面积为k 的值为( )A .2B .3C .4D .62.(2019·江苏中考真题)如图,在平面直角坐标系xOy 中,菱形ABCD 的顶点A 与原点O 重合,顶点B 落在x 轴的正半轴上,对角线AC 、BD 交于点M ,点D 、M 恰好都在反比例函数()0ky x x=>的图象上,则ACBD的值为( )②③A B C .2D 3.(2019·山东中考真题)如图,点A 的坐标是(-2,0),点B 的坐标是(0,6),C 为OB 的中点,将△ABC 绕点B 逆时针旋转90°后得到A B C '''∆.若反比例函数ky x=的图象恰好经过A B '的中点D ,则k 的值是( )A .9B .12C .15D .184.(2019·重庆中考真题)如图,在平面直角坐标系中,菱形OABC 的边OA 在x 轴上,点(10,0)A ,4sin 5COA ∠=.若反比例函数(0,0)ky k x x =>>经过点C ,则k 的值等于( )A .10B .24C .48D .505.(2019·重庆中考真题)如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCD 的顶点A 点,D 点分别在x 轴、y 轴上,对角线BD ∥x 轴,反比例函数(0,0)ky k x x=>>的图象经过矩形对角线的交点E ,若点A(2,0),D(0,4),则k 的值为( )A .16B .20C .32D .40二、填空题6.(2019·江苏中考真题)如图,过点C(3,4)的直线2y x b =+交x 轴于点A ,∠ABC=90°,AB=CB ,曲线0ky x x=>()过点B ,将点A 沿y 轴正方向平移a 个单位长度恰好落在该曲线上,则a 的值为________.7.(2019·湖南中考真题)如图,直线y =4﹣x 与双曲线y 3x=交于A ,B 两点,过B 作直线BC ⊥y 轴,垂足为C ,则以OA 为直径的圆与直线BC 的交点坐标是_____.8.(2019·湖北中考真题)如图,双曲线9(0)y x x=>经过矩形OABC 的顶点B ,双曲线(0)ky x x=>交AB ,BC 于点E ,F ,且与矩形的对角线OB 交于点D ,连接EF .若:2:3OD OB =,则BEF ∆的面积为__________.9.(2019·辽宁中考真题)如图,在平面直角坐标系中,等边OAB 和菱形OCDE 的边OA OE ,都在x 轴上,点C 在OB 边上,ABDS=反比例函数()0ky x x=>的图象经过点B ,则k 的值为_____.10.(2019·湖北中考真题)如图,在平面直角坐标系中,函数(0,0)ky k x x=>>的图象与等边三角形OAB 的边OA ,AB 分别交于点M ,N ,且2OM MA =,若3AB =,那么点N 的横坐标为___________.11.(2019·湖南中考真题)如图,函数ky x=(k 为常数,k >0)的图象与过原点的O 的直线相交于A ,B 两点,点M 是第一象限内双曲线上的动点(点M 在点A 的左侧),直线AM 分别交x 轴,y 轴于C ,D 两点,连接BM 分别交x 轴,y 轴于点E ,F .现有以下四个结论:①△ODM 与△OCA 的面积相等;②若BM ⊥AM 于点M ,则∠MBA =30°;③若M 点的横坐标为1,△OAM 为等边三角形,则2k =+④若25MF MB =,则MD =2MA .其中正确的结论的序号是_______.12.(2019·浙江中考真题)如图,已知在平面直角坐标系xOy 中,直线112y x =-分别交x 轴,y 轴于点A 和点B ,分别交反比例函数()10,0ky k x x=>>,()220ky x x=<的图象于点C 和点D ,过点C 作CE x ⊥轴于点E ,连结,OC OD . 若COE ∆的面积与DOB ∆的面积相等,则k 的值是_____.13.(2019·浙江中考真题)如图,过原点的直线与反比例函数()0ky k x=>的图象交于A ,B 两点,点A 在第一象限点C 在x 轴正半轴上,连结AC 交反比例函数图象于点D .AE 为BAC ∠的平分线,过点B 作AE 的垂线,垂足为E ,连结DE .若3AC DC =,ADE ∆的面积为8,则k 的值为________.14.(2019·浙江中考真题)如图,在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,ABCD 的边AB 在x 轴上,顶点D 在y 轴的正半轴上,点C 在第一象限,将AOD ∆沿y 轴翻折,使点A 落在x 轴上的点E 处,点B 恰好为OE 的中点,DE 与BC 交于点F .若ky x=(0)k ≠图象经过点C ,且1S BEF ∆=,则k 的值为____.15.(2018·广东中考真题)如图,已知等边△11OA B ,顶点1A 在双曲线0)y x =>上,点1B 的坐标为(2,0).过1B 作121//B A OA 交双曲线于点2A ,过2A 作2211//A B A B 交x 轴于点2B ,得到第二个等边△122B A B ;过2B 作2312//B A B A 交双曲线于点3A ,过3A 作3322//AB A B 交x 轴于点3B ,得到第三个等边△233B A B ;以此类推,⋯,则点6B 的坐标为__.16.(2018·宁夏中考真题)在平面直角坐标系中,四边形AOBC 为矩形,且点C 坐标为(8,6),M 为BC 中点,反比例函数ky x=(k 是常数,k≠0) 的图象经过点M ,交AC 于点N ,则MN 的长度是________.17.(2019·广东深圳外国语学校中考模拟)如图,已知第一象限内的点A 在反比例函数y =2x 上,第二象限的点B 在反比例函数y =k x 上,且OA ⊥OB ,cos A k 的值为______.18.(2019·四川中考模拟)已知一次函数y =﹣x+m 的图象与反比例函数2y x=的图象交于A 、B 两(点A 在点B 的左侧),点P 为x 轴上一动点,当有且只有一个点P ,使得∠APB =90°,则m 的值为_____.19.(2019·广东中考模拟)如图,已知四边形ABCD 是平行四边形,BC=3AB ,A ,B 两点的坐标分别是(﹣1,0),(0,2),C ,D 两点在反比例函数ky x=(x <0)的图象上,则k 的值等于_____.20.(2019·浙江中考模拟)如图,点,A B 是反比例函数(0,0)ky k x x=>>图像上的两点(点A 在点B 左侧),过点A 作AD x ⊥轴于点D ,交OB 于点E ,延长AB 交x 轴于点C ,已知2125OAB ADC S S ∆∆=,145OAE S ∆=,则k 的值为__________.21.(2019·江西中考模拟)如图,在平面直角坐标系xOy 中,等边△AOB 的边长为10,点C 在边OA 上,点D 在边AB 上,且OC =3BD .反比例函数y =kx(k ≠0)的图象恰好经过C 、D 两点,则k 的值为_____.三、解答题22.(2019·江苏中考真题)如图,点()2,A n 和点D 是反比例函数()0,0my m x x=>>图象上的两点,一次函数()30y kx k =+≠的图象经过点A ,与y 轴交于点B ,与x 轴交于点C ,过点D 作DE x ⊥轴,垂足为E ,连接,OA OD .已知OAB ∆与ODE ∆的面积满足:3:4OAB ODE S S ∆∆=.(1)OAB S ∆= _____,m = _____;(2)已知点()6,0P 在线段OE 上,当PDE CBO ∠=∠时,求点D 的坐标.23.(2019·四川中考真题)如图,在平面直角坐标系中,直线AB 与y 轴交于点(0,7)B ,与反比例函数8y x-=在第二象限内的图象相交于点(1, )A a -. (1)求直线AB 的解析式;(2)将直线AB 向下平移9个单位后与反比例函数的图象交于点C 和点E ,与y 轴交于点D ,求ACD ∆的面积;(3)设直线CD 的解析式为y mx n =+,根据图象直接写出不等式8mx n x-+≤的解集.24.(2019·四川中考真题)如图,一次函数(0)y mx n m =+≠的图象与反比例函数(0)ky k x=≠的图象交于第二、四象限内的点(,4)A a 和点(8,)B b .过点A 作x 轴的垂线,垂足为点C ,AOC ∆的面积为4.(1)分别求出a 和b 的值; (2)结合图象直接写出kmx n x+<的解集;(3)在x 轴上取点P ,使PA PB -取得最大值时,求出点P 的坐标.25.(2019·湖南中考真题)若一个函数当自变量在不同范围内取值时,函数表达式不同,我们称这样的函数为分段函数.下面我们参照学习函数的过程与方法,探究分段函数2(1)|1(1)x y x x x ⎧-⎪=⎨⎪--⎩…的图象与性质.列表:描点:在平面直角坐标系中,以自变量x 的取值为横坐标,以相应的函数值y 为纵坐标,描出相应的点,如图所示.(1)如图,在平面直角坐标系中,观察描出的这些点的分布,作出函数图象; (2)研究函数并结合图象与表格,回答下列问题:①点()15,A y -,27,2B y ⎛⎫-⎪⎝⎭,15,2C x ⎛⎫⎪⎝⎭,()2,6D x 在函数图象上,1y 2y ,1x 2x ;(填“>”,“=”或“<”)②当函数值2y =时,求自变量x 的值;③在直线1x =-的右侧的函数图象上有两个不同的点()33,P x y ,()44,Q x y ,且34y y =,求34x x +的值;④若直线y a =与函数图象有三个不同的交点,求a 的取值范围.26.(2019·江苏中考真题)如图,A 为反比例函数ky x=(x>0)图象上的一点,在x 轴正半轴上有一点B ,4OB =.连接OA ,AB ,且OA AB ==(1)求k 的值;(2)过点B 作BC OB ⊥,交反比例函数ky x=(x>0)的图象于点C ,连接OC 交AB 于点D ,求ADDB的值.27.(2019·湖北中考模拟)如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知Rt △ABC ,∠ABC =90°,顶点A 在第一象限,B ,C 在x 轴的正半轴上(C 在B 的右侧),BC =2,AB =△ABC 沿AC 翻折得△ADC ,点A 和点D 都在反比例函数y =kx的图象上,则k 的值是_____.参考答案1.C 【解析】 【分析】过点A 作x 轴的垂线,交CB 的延长线于点E ,根据A ,B 两点的纵坐标分别为4,2,可得出横坐标,即可求得AE ,BE 的长,根据菱形的面积为AE 的长,在Rt △AEB 中,即可得出k 的值. 【详解】过点A 作x 轴的垂线,交CB 的延长线于点E ,∵A ,B 两点在反比例函数y kx=(x >0)的图象,且纵坐标分别为4,2, ∴A (4k,4),B (2k ,2),∴AE =2,BE 12=k 14-k 14=k ,∵菱形ABCD 的面积为∴BC×AE =BC =∴AB =BC =在Rt △AEB 中,BE ==1∴14k =1, ∴k =4. 故选:C . 【点睛】本题考查了菱形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征,熟记菱形的面积公式是解题的关键. 2.A 【解析】 【分析】利用菱形的性质, 根据正切定义即可得到答案. 【详解】解:设,k D m m ⎛⎫⎪⎝⎭,(),0B t , ∵M 点为菱形对角线的交点, ∴BD AC ⊥,AM CM =,BMDM =,∴,22m t k M m +⎛⎫⎪⎝⎭,把,22m t k M m +⎛⎫⎪⎝⎭代入k y x =得22m t k k m +⋅=, ∴3t m =,∵四边形ABCD 为菱形,∴OD AB t ==,∴()2223k m m m ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,解得2k =,∴()2M m ,在Rt ABM ∆中,tanBM MAB AM ∠===∴ACBD=. 故选:A .【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,解题关键在于运用菱形的性质. 3.C 【解析】 【分析】作'A H y ⊥轴于.H 证明AOB ≌()'BHA AAS ,推出OA BH =,'OB A H =,求出点'A 坐标,再利用中点坐标公式求出点D 坐标即可解决问题.【详解】解:作A H y '⊥轴于H .∵90AOB A HB ABA ∠=∠'=∠'=︒,∴90ABO A BH ∠+∠'=︒,90ABO BAO ∠+∠=︒, ∴BAO A BH ∠=∠', ∵BA BA =',∴()AOB BHA AAS '≌, ∴OA BH =,OB A H =',∵点A 的坐标是()2,0-,点B 的坐标是()0,6, ∴2OA =,6OB =,∴2BH OA ==,6A H OB '==, ∴4OH =, ∴()6,4A ', ∵BD A D =', ∴()3,5D ,∵反比例函数ky x=的图象经过点D , ∴15k =.故选:C . 【点睛】本题考查反比例函数图形上的点的坐标特征,坐标与图形的变化-旋转等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考选择题中的压轴题. 4.C 【解析】 【分析】由菱形的性质和锐角三角函数可求点()6,8C ,将点C 坐标代入解析式可求k 的值.【详解】解:如图,过点C 作CE OA ⊥于点E ,∵菱形OABC 的边OA 在x 轴上,点(10,0)A , ∴10OC OA ==, ∵4sin 5CE COA OC∠==. ∴8CE =,∴6OE == ∴点C 坐标(6,8)∵若反比例函数k(0,0)xy k x=>>经过点C,∴6848k=⨯=故选:C.【点睛】本题考查了反比例函数性质,反比例函数图象上点的坐标特征,菱形的性质,锐角三角函数,关键是求出点C坐标.5.B【解析】【分析】根据平行于x轴的直线上任意两点纵坐标相同,可设B(x,4)利用矩形的性质得出E为BD中点,∠DAB=90°,根据线段中点坐标公式得出E(12x,4).由勾股定理得出AD2+AB2=BD2,列出方程22+42+(x-2)2+42=x2,求出x,得到E点坐标,代入kyx=y=冬,利用待定系数法求出k.【详解】解:∵BD//x轴,D(0,4),∴B、D两点纵坐标相同,都为4,∴可设B(x,4).∵矩形ABCD的对角线的交点为E,. ∴E为BD中点,∠DAB=90°.∴E(12x,4)∵∠DAB=90°,∴AD 2+AB 2=BD 2,∵A (2,0),D (0,4),B (x ,4), ∴22+42+(x-2)2+42=x 2,解得x=10, ∴E (5,4).又∵反比例函数ky x=(k>0,x>0)的图象经过点E , ∴k=5×4=20;故选:B. 【点睛】本题考查了矩形的性质,勾股定理,反比例函数图象上点的坐标特征,线段中点坐标公式等知识,求出E 点坐标是解题的关键. 6.4 【解析】 【分析】分别过点B 、点C 作y 轴和x 轴的平行线,两条平行线相交于点M ,与x 轴的交点为N .将C(3,4)代入2y x b =+可得b=-2,然后求得A 点坐标为(1,0),证明△ABN ≌△BCM ,可得AN=BM=3,CM=BN=1,可求出B(4,1),即可求出k=4,由A 点向上平移后落在4y x=上,即可求得a 的值. 【详解】分别过点B 、点C 作y 轴和x 轴的平行线,两条平行线相交于点M ,与x 轴的交点为N ,则∠M=∠ANB=90°,把C(3,4)代入2y x b =+,得4=6+b ,解得:b=-2,所以y=2x-2,令y=0,则0=2x-2,解得:x=1, 所以A(1,0), ∵∠ABC=90°, ∴∠CBM+∠ABN=90°, ∵∠ANB=90°, ∴∠BAN+∠ABN=90°, ∴∠CBM=∠BAN ,又∵∠M=∠ANB=90°,AB=BC , ∴△ABN ≌△BCM , ∴AN=BM ,BN=CM ,∵C(3,4),∴设AN=m ,CM=n ,则有413m n m n +=⎧⎨+-=⎩,解得31m n =⎧⎨=⎩,∴ON=3+1=4,BN=1, ∴B(4,1),∵曲线0ky x x=>()过点B , ∴k=4,∴4y x=, ∵将点A 沿y 轴正方向平移a 个单位长度恰好落在该曲线上,此时点A 移动后对应点的坐标为(1,a),∴a=4,故答案为:4.【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形的综合,涉及了待定系数法,全等三角形的判定与性质,点的平移等知识,正确添加辅助线,利用数形结合思想灵活运用相关知识是解题的关键. 7.(﹣1,1)和(2,1).【解析】【分析】求得交点A、B的坐标,即可求得直径AB的长度和P点的坐标,从而求得PE的长度,利用勾股定理求得EM=EN=32,结合P的坐标即可求得以OA为直径的圆与直线BC的交点坐标.【详解】由43y xyx=-⎧⎪⎨=⎪⎩求得13xy=⎧⎨=⎩或31xy=⎧⎨=⎩,∴A(1,3),B(3,1),∴OA==设OA的中点为P,以AB为直径的⊙P与直线BC的交点为M、N,过P点作PD⊥x轴于D,交BC于E,连接PN,∵P是OA的中点,∴P(12,32),∴PD32 =,∵BC⊥y轴,垂足为C,∴BC∥x轴,∴PD⊥BC,∴PE32=-112=,在Rt△PEN中,EM=EN32 ===,∴M(﹣1,1),N(2,1).∴以OA为直径的圆与直线BC的交点坐标是(﹣1,1)和(2,1),故答案为(﹣1,1)和(2,1).【点睛】本题是反比例函数的综合题,考查了一次函数和反比例函数的交点问题,垂径定理,勾股定理的应用,求得圆心的坐标是解题的关键.8.25 18.【解析】【分析】设(2,2)D m n ,根据题意(3,0)A m ,(0,3)C n ,(3,3)B m n ,即可得出933m n =⋅,224k m n mn =⋅=,解得1mn =,由43,3E m n ⎛⎫ ⎪⎝⎭,4,33F m n ⎛⎫ ⎪⎝⎭,求得BE 、BF ,然后根据三角形面积公式得到12BEF S BE BF ∆=⋅进行求解即可. 【详解】设(2,2)D m n ,∵:2:3OD OB =,∴(3,0)A m ,(0,3)C n , ∴(3,3)B m n ,∵双曲线9(0)y x x=>经过矩形OABC 的顶点B , ∴933m n =⋅,∴1mn =,∵双曲线(0)k y x x=>经过点D , ∴4k mn =∴双曲线4(0)mn y x x=>, ∴43,3E m n ⎛⎫ ⎪⎝⎭,4,33F m n ⎛⎫ ⎪⎝⎭, ∴45333BE n n n =-=,45333BF m m m =-=, ∴1252521818BEF S BE BF mn ∆=⋅==,故答案为:2518. 【点睛】 本题考查了反比例系数 的几何意义和反比例函数图象上点的坐标特征、三角形面积等,表示出各个点的坐标是解题的关键.9【解析】【分析】连接OD ,根据等边△OAB ,求出∠AOB,根据四边形OCDE 是菱形,求出60DEO AOB ∠∠︒==,得出△DEO 为等边三角形,求出BDO AOD S S =,求出3AOB ABD S S ==B 作BH OA ⊥于H ,求出OBH S =k. 【详解】解:连接OD ,OAB 是等边三角形, 60AOB ∴∠︒=,四边形OCDE 是菱形,//DE OB ∴,60DEO AOB ∴∠∠︒==,DEO ∴是等边三角形,60DOE BAO ∴∠∠︒==,//OD AB ∴,BDO AOD S S ∴=,ABDO ADO ABD BDO AOBS S S S S ++四边形==, 3AOB ABD S S =∴=,过B 作BH OA ⊥于H ,OH AH ∴=,OBH S ∴=反比例函数()0k y x x =>的图象经过点B ,k ∴故答案为:【点睛】本题考查的是反比例函数,熟练掌握菱形,三角形的性质是解题的关键.10.32+ . 【解析】【分析】。

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