c A （ c 为常数）
（ 5）
lim(
n
a
k n
)
A k （ k 为常数）
4. 几个常用极限及其应用
（ 1） lim c c（ C 为常数） n
1 （ 2） lim 0
nn
0( 1 q 1)
（ 3） lim qn 1(q 1) n 无 (|q| 1或 q 1)
0(m p)
（ 4）
lim
n
a0 nm b0 n p
a1 nm 1 b1 np 1
am
a0 (m p)
ap
b0
无m p
（ 5）
lim
n
an
lim
n
an
1 （无穷数列）
三. 数列极限的应用
1. 数列的各项和的概念 无穷数列各项的和，它的实质是前
n 项和 Sn 的极限。
2. 无穷递缩等比数列的各项和公式
S a1 (| q| 1) 1q
3. 无穷递缩等比数列各项和存在的充要条件是
|q| 1（ q 0 ），要注意公式的含义及适
用范围。
4. 综合运用
（ 1）化循环小数为分数，基本方法是转化为无穷递缩等比数列的各项和。
（ 2）求某些特殊数列的各项和。
（ 3）与几何图形有关的应用问题。
基本解题思路是：首先结合图形分析相邻图形的依赖关系，论证所求问题可否组成一 个无穷等比数列，且公比绝对值小于 1，然后代入计算。
2. 常用求和公式
（ 1）等差： Sn
n(a1 an ) na1 2
na1(q 1)
n(n 1) d
2
（ 2）等比： Sn
a1 (1
qn) (q
1)
1q
n
（ 3） i
i1
1 n(n 1)
2
n
（ 4） i 2
i1
n( n 1)(2n 1) 6
n
（ 5） i 3
i1
n (n [
1) ] 2
2
3. 常见数列求和的方法大致有五种如： 直接由求和公式求和 （如等差、 等比数列的求和） ， 裂项分组求和，裂项相消求和，错位相减求和，倒序相加求和。
惟一， 因为如果 N 具有该性质， 那么 N 1，N 2， ，N k ( k N ) 都具有该性质，
考察数列的极限时并不需要找出 N 的最小值；
（ 3）定义的这里“
n N ，都有 |an A| ”这个不等式成立，也就是有
0 ”是“任意预先给定”而不是“存在”一个
0。
（ 4）有穷数列无极限，数列极限的研究对像是无穷数列。
有 |an A|
成立），就把常数
A 叫做数列 { an } 的极限，记作：
lim
n
an
A。
2. 数列极限概念的理解
理解数列极限的概念要注意以下几点： （ 1）A 与 n 无关，A 与 无关，A 与 N 无关；A 是否存在以及 来决定；
A 的值确定， 由数列 { an }
（ 2）N 与 n 无关， N 与 有关，一般来说， 的值不同， N 也不同；另一方面 N 并不
由已知有 a 3a 2 4 解得 a 1 a 2
公差 d a 2 a1 2
k (k 1)
代入公式 Sk k a1
d 得：
2
k( k 1)
2k
2 2550
2
整理得 k 2 k 2550 0
k 50， k 51（舍去
k N）
故 a 2，k 50
（ 2）根据（ 1）的结果及等差数列求和公式可求得
Sn n(n 1)
高三数学 特殊数列求和、数列极限的意义及运算、数列极限的应用、数学归纳法、归纳 猜想、证明 知识精讲
一. 特殊数列求和：
1. 概念：
这里所指的“特殊数列”是指中学阶段能够求和的数列，包括：等差、等比数列，常 数列，自然数列，自然数的平方数列，自然数的立方数列，项部分相消数列等。数列求和， 就是通过一些手段将数列转化为上述这些特殊数列而达到求和的目的。
（ 5）不是所有的无穷数列都有极限；如果一个数列有极限，那么其极限也只有一个。
3. 数列极限四则运算
如果 lim an A， lim bn B ，那么
n
n
（ 1）
lim(
n
an
bn )
AB
（ 2）
lim(
n
an
bn )
AB
（ 3） lim an n bn
A (B 0) B
（ 4） lim( c n
an )
1
1
11
Sn n(n 1) n n 1
11 S1 S2
规律，猜想结论，这是关键，规律的发现要凭借经验，有时还要合理变形。
例 1. （ 2001·全国）
已知等差数列前三项为 a，4， 3a，前 n 项和为 Sn， Sk 2550
（ 1）求 a 及 k 的值；
11
1
（ 2）求 lim(
)
n S1 S2
Sn
解析：（ 1）设等差数列为 { an } ，则 a1 a， a2 4，a3 3a Sk 2550
四. 数学归纳法 用数学归纳法证明命题的具体步骤是：
（ 1）证明当 n 取第一个初始值 n0 （例如 n0 1， n0 2 等）时，结论正确。 （ 2）假设当 n k (k N 且k n0 ) 时结论正确，证明当 n k 1 结论也正确。在完 成这两个步骤后，就可以断定命题对从 n n0 开始的所有的自然数 n 都正确。
（ 5）三角函数求和考虑裂项相消求和或利用复数转化为等比数列求和；
学习时，还要注意归纳总结一些常见类型的数列求和方法。
二. 数列极限的意义及运算
1. 数列极限的概念
对于数列 { a n} ，如果存在一个常数 A ，无论预先指定多么小的正整
都能在数列中找
到一项 a N 使得这一项后面的所有项 a n 与 A 的差的绝对值都小于 ，（即当 n N 时，恒
上面的证明第一步是递推基础，第二步是递推的依据，两者缺一不可。
五. 归纳、猜想、证明 1. 理解归纳法的意义 由一系列有限的特殊事例得出一般性结论的推理方法通常叫做归纳法。 2. 理解不完全归纳法与数学归纳法之间的关系 本节是不完全归纳法与数学归纳法并举，简单而迅速的计算是抽像的前提，常见的等
差、等比数列的有关结论是抽像的桥梁，而运用数学归纳证明才是抽像的归宿。 3. 掌握归纳推理的思维方法 求解某些数学问题而不能直接找到解题途径，可先考查几个连续的初始特例；归纳出
（ 1）在求等比数列前 n 项和 Sn 时，一定要注意分清公比 q 1 还是 q 1；
（ 2）裂项法的关键是研究通项公式，裂项的目的是转化成几个等差或等比数列或自然 数的平方组成的数列求和，或者正、负相消；
（ 3）错位相减法求和， 主要用于一个等差与一个等比数列相应项相乘所得的数列求和；
（ 4）含有组合数的数列求和，注意考虑利用组合数的性质公式求和或利用倒序相加求 和；