=
10.已知数列 an
n2 ， S n 为其前 n 项和，则 lim S n =________1/2 n n!(n 1)!(n 2)!
= =
解：∵
=
=
﹣ ﹣ ﹣
， ）+（ ﹣ ）= ）+…+（ ﹣ = ﹣ ﹣0= ）]= = ． ﹣
∴a1+a2+…+an=[（ ∴ = （
11.已知 (2
x
21 2 9 ) 展开式的第 7 项为 ，则 lim ( x x 2 x n ) 的值为__________ n 4 2
解：
=84
=
， 解得 x=﹣ ． ∴
（x+x2+…xn） =
．
12.（2017 静安区一模）在无穷等比数列{ a n }中， lim (a1 a2 an )
n
点，记原点为 O，△OAnBn 的面积为 S n ，则 lim S n = 【分析】依题意，可知过点（2﹣ ，0）的直线的斜率为 ，n→+∞时，点（2﹣ ，0）→（2， 0） ，原问题转化为直线 x﹣2y﹣2=0 与双曲线 x2﹣y2=4 的两个交点 A、B 与原点 O 所组成的三 角形的面积。 解：∵过点 且方向向量为（2，1） ，即其斜率 k= ，
=
[
﹣
﹣
+
]
=
﹣
=
=
例 2.已知 lim ( n an bn 1) b ，则实数 a =___________4
2 n
解：
=
=
=
=
=
=b
∴1﹣b2=0，解得 b=1 或 b=﹣1（舍去） ，且
2
，∴a=4．
例 3.已知数列{ a n }满足 an 1 1
2 ， a1 3 ，则 lim an =____________2 n an
n
注意：只有无穷数列才有极限，有限数列不存在极限。 2.几个重要极限： （1） lim
1 0； n n
n
（2） lim C C （C 是常数） ；
0 a 1 （3） lim a 1, a 1 ； n 不存在， a 1, 或a 1
n
解：由 an+1=an+18n+10，得 a1=10，又 a1=10，∴a2﹣a1=18× 1+10， a3﹣a2=18× 2+10，…an﹣an﹣1=18（n﹣1）+10， 累加得：an=a1+18[1+2+…+（n﹣1）]+10（n﹣1）= ∴ ﹣[ ]= = = ． ．
7
则
（
﹣[
]）=
【分析】由题意推导数列{ 运算法则，求出数列的极限．
}是一个等比数列，求出通项公式 an，然后利用数列的极限的
解：∵
=
=
=
．
∴{
}是一个首项为
，公比为﹣ 的等比数列，
∴
， ∴an=
， ∴
=
=
=2．
例 4.过点 (2
1 , 0)(n N ) 且方向向量为（2，1）的直线交双曲线 x 2 y 2 4 于 An，Bn 两 n
a n b n 1 1 7.已知 a b 1 ，则 lim n 1 的值是___________ n a b n 1
解：已知 a＞b＞1，则
（
）=
= ．
8.设 0＜ x n ＜1， xn 1 1 1 xn ，则 lim xn =_____________
n
n
【分析】由 解：∵ ∴ ∵ ∴2 ∴ ﹣3 = ，∴
，求出
=0．
=
=0
=1，∴2
=1
= ，故答案为
5.设{ a n }和{ bn }都是公差不为零的等差数列，且 lim 解：设{an}和{bn}的公差分别为 d1 和 d2， ∵ = =
b b bn an =____1/8 2 ，则 lim 1 2 n n b na2 n n
n
1 ，则 a1 的取值范 2
围是_________________ 解：在无穷等比数列{an}中， ，
可知|q|＜1，则
= ，a1=
∈（0， ）∪（ ，1） ．
13.数列{an}满足 a1 =10， an1 an 18n 10 ，记 [ x] 表示不超过实数 x 的最大整数， 则 lim ( an [ an ]) =_________1/6
t t 1
lim1 f (n)
n
g (n)
1 lim 1 f (n) f ( n ) n
f ( n ) g ( n )
e n
lim f ( n ) g ( n )
，其中要存在 lim f (n) 0 。
n
3.数列极限的运算法则： 如果 lim a n A, lim bn B, 那么：
1 n 2 n 2 3 n 1 1 bn 1 ( ) n C. an n 3
A. an ( ) ， bn ( ) 解：由题意，对于 A，
1 n n 2 3 n 1 n3 n2 D. an ， bn n2 n 1
．
14.（2015 杨浦区一模）对数列{ a n }，{ bn }，若区间[ a n ， bn ]满足下列条件： ①[ an 1 ， bn 1 ] [ a n ， bn ]（n∈N*） ；② lim (bn an ) 0 .则称[ a n ， bn ]为区间套。
n
下列选项中，可以构成区间套的数列是（C）
解：数列{an}的通项公式为 ，
则
=
=
=
=
=
=﹣2．
2n 1, n 2015 2.已知 an ，Sn 是数列{ a n }的前 n 项和（ A） 1 n 1 ( ) , n 2015 2
A. lim an 和 lim S n 都存在
n n
B. lim an 和 lim S n 都不存在
n n


n
1 0 等） ； n
（5）含参数问题应对参数进行分类讨论求极限； （6）∞－∞，
0 ，0－0， 等形式，必须先化简成可求极限的类型再用四则运算求极限。 0
例 1.已知 a、b∈R，且 a 1 ， b 1 ，则无穷数列：1， (1 b)a ， (1 b b 2 )a 2 ， ，
n
解：0＜xn＜1，xn+1=1﹣
（n∈N） ，可;1）= lg（1﹣xn） ，则{lg（1﹣xn）}为 为公比，lg（1﹣x1）为首项的等比数列，
则 lg（1﹣xn）=lg（1﹣x1）•（ ）n 1，即有 1﹣xn=
﹣
，即 xn=1﹣
，
则
xn=
[1﹣
]=1﹣（1﹣x1）0=1﹣1=0．
=2，∴d1=2d2．
=
=
=
=
6.已知数列{ a n }同时满足下面两个条件：①不是常数列；②它的极限就是这个数列中的项；请 写出则此数列的一个通项公式 a n =____________
解：由于当 an=
时，数列{an}不是常数数列，它的极限
=
=1，
5
且 a1=1，故满足题中的两个条件． 【点评】本题考查数列的函数特性，求数列的极限，注意本题答案不唯一，如 等都能满足条件。
n
a1 , (0 | q | 1) . 1 q
1
5.求极限的常用方法： （1）求数列极限最后往往转化为
1 m N 或 q n q 1 型的极限； nm
（2）分子、分母同时除以 n m 或 a n ； （3）求和（或积）的极限一般先求和（或积）再求极限； （4）利用已知数列极限（如 lim q 0 q 1 ，lim
9.已知 a1 1 ， b1 7 ，且满足
an1 bn 2an a ，求 lim n =___________1/4 n b n bn1 3bn 4an
【 分 析 】 根 据 数 列 递 推 式 可 得 an+2=bn ， 即 数 列 {an} 从 第 三 项 开 始 与 {bn} 相 同 ， 利 用 =k，可得结论． 解：由题意，∵an+1=bn﹣2an ① ∴an+2=bn+1﹣2an+1 ②
②﹣①× 3：an+2﹣3an+1=（bn+1﹣3bn）﹣2an+1+6an ∵bn+1=3bn﹣4an，∴an+2﹣3an+1=﹣2an+1+2an，∴an+2﹣an+1=2an ∴an+2=bn，即数列{an}从第三项开始与{bn}相同， ∵a1=1，b1=7，∴ ，设 =k，
6
∴k=
=
，∴k=1（舍去）或 k= ，∴
则 y1+y2，=﹣ ，y1•y2，=0，x1+x2，=2y1+2y2，+4=﹣ ，
3
∴|AB|=
=
•
=
• =
．
又 O 点到直线 x﹣2y﹣2=0 的距离 d=
=
，
∴S=
= |AB|•d=
×
×
= ．
变式训练：
n, n 4 1． （2016 静安区一模） 已知数列{an}的通项公式为 an ， 则 lim an ____ n n 2 4n n, n 4
（2﹣ ）=2，∴当 n→+∞时，点（2﹣ ，0）→（2，0） ， ∴n→+∞时，△OAnBn 的面积就是直线 y﹣0= （x﹣2） ，即 x﹣2y﹣2=0 与双曲线 x2﹣y2=4 的 两个交点 A、B 与原点 O 所组成的三角形的面积，设为 S， 由 消去 x 得：3y2+8y=0，设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，