丁地
东城区2019-2020学年度第一学期期末教学统一检测
高二数学 2020.1
本试卷共4页，满分100分。
考试时长120分钟。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题
目要求的一项．
（1）已知i(2i)z =+，则z 等于
（A ）1+2i （B ）12i -+ （C ）12i - （D ）12i --
（2）设抛物线2
4y x =上一点P 到y 轴的距离是2，则点P 到该抛物线焦点的距离是 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 （3）设等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，若2466a a a ++=，则7S 等于
（A ）7 （B ）14 （C ）21 （D ）28
（4）已知双曲线22
21(0)x y a a -=>与椭圆22194
x y +=有相同的焦点，则a 等于
（A ）2 （B
（C
）（D
（5）如图，从甲地到乙地有3条路，从乙地到丁地有2条
路；从甲地到丙地有3条路，从丙地到丁地有4路．从甲地到丁地的不同路线共有 （A ）12条 （B ）15条 （C ）18条 （D ）72条
（6）在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==
，1AA =1AD 与1DB 所成角的余弦值为
（A ）1
5
（B
（C
（D
）2
B
D
（7）在四面体ABCD 中，点F 在AD 上，且2AF FD =，E 为BC 中点，则EF 等于
（A ）112
223
EF AC AB AD =+-
（B ）112
223
EF AC AB AD =-
-+ （C ）112
223EF AC AB AD =-+
（D ）112
223
EF AC AB AD =-+-
（8）已知12,F F 是椭圆C 的左、右焦点，P 是椭圆C 上的一点，若1212||,||,||PF PF F F 构
成公比为
1
2
的等比数列，则椭圆C 的离心率为 （A ）
16 （B ）14 （C ）13 （D ）25
（9）设等比数列{}n a 的前n 项和是n S ，则“10a >”是“32S S >”的（ ）
（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （10）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 在底面ABCD 内运动，使得
△1
ACM 的面积为1
3
，则动点M 的轨迹为 （A ）椭圆的一部分 （B ）双曲线的一部分 （C ）一段圆弧 （D ）一条线段
第二部分（非选择题 共60分）
二、填空题共5小题，每小题4分，共20分．
（11）复数2
2
(56)(3)i m m m m -++-是纯虚数，则实数m = ．
（12）若双曲线2
2
21(0)y x b b
-=>经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程为 ．
（13）在等比数列{}n a 中，1336a a =，2460a a +=，则公比q =________. （14）用0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为 ．
（15）已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点为F ，若存在过原点的直线交椭圆于,A B
两点，且AF BF ⊥，则椭圆的离心率的取值范围是 ．
C
三、解答题共5小题，共40分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （16）（本小题7分）
已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，其前n 项和为n S ，12a =，314S =． 数列{}n b 满足15b =，33b =，且{}n n b a -为等差数列． （Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n b 的前n 项和n T ．
（17）（本小题7分）
已知向量(2,1,2)=--a ，(1,1,2)=-b
，(,2,2)x =c ． （Ⅰ）当||=c k +a b 与c 垂直，求实数x 和k 的值； （Ⅱ）若向量c 与向量a ，b 共面，求实数x 的值．
（18）（本小题9分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD AB =，点,,E F G 分别为,,PC PA BC 的中点． （Ⅰ）求证：PB EF ⊥； （Ⅱ）求证：FG ∥平面PCD ；
（Ⅲ）求平面EFG 与平面PAD 余弦值．
（19）（本小题9分）
已知椭圆222:1(3x y C a a +
=>的离心率为1
2
，过点(0,1)的直线l 与C 有两个不同的交点,A B ，线段AB 的中点为D ，O 为坐标原点，直线l 与直线OD 分别交直线4x =于点,M N ．
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）求线段||MN 的最小值．
（20）（本小题8分）
定义：首项为1且公比为正数的等比数列为“M -数列”．
（Ⅰ）已知等比数列{}n a （*
n ∈N ）满足：234a a a =，13223a a a +=，判断数列{}n a 是
否为“M -数列”；
（Ⅱ）设m 为正整数，若存在“M -数列”{}n c （*
n ∈N ），对任意不大于m 的正整数
k ，都有1k k c k c +≤≤成立，求m 的最大值．。