高二年级考试 数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列有关不等式的推理（ ） （1）a b b a >⇔< （2）a b a c b c >⇒+>+ （3）,0a b c ac bc ><⇒< （4）22a b a b >⇒>其中，正确推理的个数是（ ） A.0B.1C.2D.32.“()()120x x -+=”是“1x =”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知抛物线2:C y x =的焦点为F ，()00,A x y 是抛物线C 上一点，05||4AF x =，则0x =（ ） A.1B.2C.4D.84.若1231,,,,4a a a 成等比数列，1233,,,,5b b b 成等差数列，则22a b 的值为（ ） A.12-B.12C.2±D.12±5.如图，底面是平行四边形的棱柱''''ABCD A B C D -，'O 是上底面的中心，设,,AB a AD b AA c '===u u u r r u u u r r u u u r r，则AO '=u u u u r（ ）A.111222a b c ++r r rB.1122a b c ++r r rC.12a b c ++r r rD.12a b c ++r r r 6.等比数列{}n a 中，368,1a a ==，则数列{}2log n a 的前n 项和的最大值为（ ）A.15B.10C.1218D.2121log 87.已知0,0a b >>，且1a b +=，则49aba b+的最大值为（ ）A.124B.125C.126D.1278.如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，若1AB =，则1AB 与1C B 所成角的大小为（ ）A.90°B.75°C.60°D.45°9.数列{}n a 满足11221n n n n a a ++=-，且11a =，若15n a <，则n 的最小值为（ ） A.3 B.4 C.5D.610.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的焦距为2c ，过点2,0a P c ⎛⎫⎪⎝⎭作圆222x y a +=的两条切线，切点分别为,M N .若椭圆离心率的取值范围为1,22⎡⎢⎣⎦，则MPN ∠的取值范围为（ ）A.,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.3,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11.已知函数()()4,2x f x x g x a x =+=+，若11,22x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2[1,3]x ∀∈，使得()()12f x g x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A.2a ≥B.2a ≤C.4a ≤-D.4a ≥-12.过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点F 且平行于其一条渐近线的直线l 与另一条渐近线交于点A ，直线l 与双曲线交于点B ，且2BF AB =，则双曲线的离心率为（ ）D.2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知命题p ：“000,10xx R e x ∃∈--≤”，则p ⌝为_________.14.设向量()(),4,3,3,2,a x b y ==-r r，且//a b r r ，则xy =___________.15.关于x 的不等式22280(0)x ax a a +-<>的解集为()12,x x ，且2112x x -=，则a =________.16.若双曲线221412x y -=的左焦点为F ，点P 是双曲右支上的动点，已知()1,4A ，则PF PA +的最小值是_____________.三、解答题：本题共6个小题，共η0分，解答应写岀文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（10分）已知2:210p x x -++≥，:34q x -≤≤，22:120(0)r x ax a a ≤-->. （1）判断是p 是q 什么条件；（2）如果q 是r 的充要条件，求a 的值. 18.（12分）已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =，求数列{}n n a b 的前n 项和n S . 19.（12分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>，其准线方程为1x =-.准线与x 轴的交点为M ，过M 点做直线l 交抛物线于A 、B 两点.若点A 为MB 中点，求直线l 的方程. 20.（12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1BC ⊥平面ABC ，1,2,4AB BC AB BC BB ⊥===. （1）求证：AB ⊥平面11BB C C ，并求1BC 的长度； （2）若M 为1CC 的中点，求二面角1A B M B --的余弦值.21.（12分）销售甲种商品所得利润是P 万元，它与投入资金t 万元的关系有经验公式1atP t =+，销售乙种商品所得利润是Q 万元，它与投入资金t 万元的关系有经验公式Q bt =，其中,a b 为常数.现将3万元资金全部投入甲、乙两种商品的销售；若全部投入甲种商品，所得利润为94万元；若全部投入乙种商品，所得利润为1万元.若将3万元资金中的x 万元投入甲种商品的销售，余下的投入乙种商品的销售，则所得利润总和为()f x 万元.（1）求函数()f x 的解析式；（2）怎样将3万元资金分配给甲、乙两种商品，才能使所得利润总和最大，并求最大值. 22.（12分）如图，12F F 、分别为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，O 为坐标原点，121OF OF ⋅=-u u u r u u u u r .椭圆E经过点31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭. （1）求椭圆E 的方程；（2）若B 、C 是椭圆E 上两个动点，直线AB 的斜率与直线AC 的斜率互为相反数，证明：直线BC 的斜率为定值，并求出这个定值.高二数学试题参考答案及评分标准一、选择题：每小题5分，共60分.二、填空题：每小题5分，共20分.13.,10xx R e x ∀∈--> 14. 9 15. 2 16. 9 三、解答题 17.（10分）解：（1）因为2210x x -++≥，整理得2210x x --≤，解方程2210x x --=，得两根121,12x x =-=.…………………………………………2分 所以2210x x -++≥的解集为1|12x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭.……………………………………4分 因为1,1[3,4]2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦Ü， 所以p 是q 的充分不必要条件.…………………………………………………………5分 （2）因为q 是r 的充要条件，所以不等式22120(0)x ax a a ≤-->的解集是{}34x x -≤≤.…………………………7分 因此，-3，4是方程22120(0)x ax a a =-->的两根， 由方程根与系数的关系（即韦达定理）得：234(3)412aa -+=⎧⎨-⨯=-⎩，………………………………………………………………………………9分 解得1a =.……………………………………………………………………………………10分 18.（12分）解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为43a a d -=，所以2d =. 又因为1210a a +=，所以1210a d +=，解得14a =.所以()*42(1)22n a n n n N =+-=+∈.……………………………………………………4分 （2）设等比数列{}n b 的公差为q ，因为238b a ==，3716b a ==，所以2q =，14b =，所以12n n b +=.………………………………………………………6分 从而2(1)2n n n a b n +=+.345122232422(1)2n n n S n n ++=⨯+⨯+⨯++++L ，①…………………………7分 4562322232422(1)2n n n S n n ++=⨯+⨯+⨯++++L ，②…………………………8分由①-②得：3452322222(1)2n n n S n ++-=⨯++++-+L()33332122(1)2212n n n n S n n ++--=+-+=-⋅-.……………………………………11分所以32n n S n +=⋅.…………………………………………………………………………12分19.（12分）解：∵抛物线的准线方程为1x =-，∴1,22pp == ∴抛物线的方程为24y x =.…………………………………………………………………3分 显然，直线l 与坐标轴不平行，且()1,0M -.∴设直线l 的方程为1x my =-，221212,,,44y y A y B y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.…………………………4分 联立直线与抛物线的方程214x my y x=-⎧⎨=⎩，得2440y my -+=.………………………………6分 216160m ∆=->，解得1m <-或1m >.……………………………………………………7分∵点A 为MB 的中点，∴2102y y +=，即212y y = ∴212124y y y ==，解得1y =.…………………………………………………………9分124y y m +=，∴4m =或4m =∴m =………………………………………………………………………………11分直线方程为440x -+=或440x ++=.…………………………………12分 20.（12分）解：（1）∵1BC ⊥平面ABC ，,AB BC ⊂平面ABC ，∴11,BC AB BC BC ⊥⊥，………………1分 ∵1,AB BC BC BC B ⊥=I ，1,BC BC ⊂平面11BB C C ，∴AB ⊥平面11BB C C .……………3分 又∵2AB BC ==，14BB =，∴1BC =.…………………………………………5分（2）如图所示，分别以1,,BC AB BC 所在的直线为x 轴，y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系， 则()()()((110,0,0,0,2,0,2,0,0,,B A C B C -，易知(M，∴((11,,22AM AB =-=--u u u u ru u u r，，…………………………7分设平面1AB M 的一个法向量为(),,n x y z =r， 100n AM n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u u rr u u u r，即20220x y x y ⎧-+=⎪⎨--+=⎪⎩，令1x =-，得2z y ==-，∴(1,2,n =--r.…………………………………………………………10分易知()0,2,0BA =u u u r为平面1BMB 的一个法向量则cos ||||n BA n BA n BA ⋅<⋅>=⋅r u u u rr u u u r r u u u r由题意知：二面角1A B M B --的余弦值为2.………………………………12分 21.（12分）解：（1）由题意，,1atp Q bt t ==+， 故当3t =时，39,31314a p Q b ====+.…………………………………………2分解得3a =，13b =.……………………………………………………………………4分所以31,13t p Q t t ==+.从而()33,[0,3]13x xf x x x -=+∈+.……………………………………………………6分（2）由（1）可得：()33133113313x x x f x x x -+⎛⎫=+=-+ ⎪++⎝⎭.……………………8分 因为[]0,3x ∈，所以[]11,4x +∈，故31213x x ++≥+，当且仅当3113x x +=+，即2x =时取等号. 从而137()233f x ≤-=.当且仅当2x =时取等号.…………………………………………10分所以()f x 的最大值为73.答：分别投入2万元、1万元销售甲、乙两种商品时，所得利润总和最大，最大利润是73万元.……12分22.（12分）解：（1）∵212OF OF c ⋅=-u u u r u u u u r ，∴1c =，…………………………………………………1分因为31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上，所以2219114b b +=+.……………………………………2分 解得23b =，234b =-（舍去），……………………………………………………3分 ∴椭圆方程为22143x y +=；…………………………………………………………4分 （2）设直线AB 的方程为3(1)2y k x =-+， 代入22143x y +=得 ()2223344(32)41202k x k k x k ⎛⎫++-+--= ⎪⎝⎭，……………………………………6分设()()1122,,,B x y C x y ，因为点31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上， ∴21112341232,342k x y kx k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭==+-+，………………………………………………8分 又直线AC 的斜率与AB 的斜率互为相反数， 在上式中以k -代k ，可得22222341232,342k x y kx k k ⎛⎫+- ⎪⎝⎭==-+++，………………………………………………10分 ∴直线BC 的斜率()12212121212BC k x x k y y k x x x x -++-===--1 2.……………………………………………………12分∴直线BC的斜率为定值，该定值为。