自然基矢量概念：向一般曲线坐标系的推广
r r x1 , x 2 , x 3 r x i
r i i dr d x g d x i x i
立即得到：
r gi i x
重要启示：决定空间点的位置和矢径！
曲线坐标系：斜角直线坐标系的延伸
y
※平面极坐标系
( x, y) ( x , x )
第1章 矢量与张量
2015年4月18日
张量的两种表达形式
实体形式
几何形式 定义式
分量形式
代数形式 计算式
概念的内涵和外 延（定量）
怎样计算？
主要内容
矢量及其代数运算 斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量 曲线坐标系及坐标转换关系 并矢与并矢式 张量的基本概念 张量的代数运算
曲线坐标系：斜角直线坐标系的延伸

自然基矢量概念：直角坐标的启示
z
r
k
r xi yj zk
j
i
dr dxi dyj dzk r r r dx dy dz x y z
y
立即得到：
x
r i x
r j y
r k z
曲线坐标系：斜角直线坐标系的延伸

平面内斜角直线坐标系的协变基矢量和逆变基矢量 P P g ：哑指标
x
2
( x1, x2 )
Einstein求和约定
g2

r
g ：协变基矢量
P
基于简化的思想，
g 引入逆变基矢量
g1
x
1
存在对偶关系：
费马坐标系
0 g g 1


斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量
r gi i x g1 g2 g3 g1 g2 g3 g
g是正实数（右手系）
三维空间中的 斜角直线坐标系
斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量

三维空间中的斜角直线坐标系和基矢量
j g 定义逆变基矢量 ，满足对偶条件：
g j gi i j (i, j = 1, 2,3) j g g 问题：已知 i ，如何求 ？
曲线坐标系：斜角直线坐标系的延伸
※三维球坐标系
( x, y, z ) ( x1 , x 2 , x3 )
(r, , ) ( x1, x2 , x3 )
2 3 i r x i x j x k x gi 1
x3


gr g g
r
x 2
x1
x1 r sin cos x1 sin x 2 cos x3 2 1 2 3 x r sin sin x sin x sin x 3 1 2 i i i x r cos x cos x x = x x
u v w v w u w u v u w v v u w w v u
斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量

从直角直线坐标系到斜角直线坐标系(平面内)
x
2
(x , x )
1
2
x
2
( x1, x2 )jrix1
g2

r
P
g1
x
1
笛卡尔坐标系
费马坐标系
斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量

矢量的乘法 矢量的内积
u
定义式（实体形式，几何表达）： u v u v cos v cos u v v u (可交换性) 计算式（分量形式，代数表达）： u cos
v
u ux i u y j uz k
v vx i vy j vz k
u v ux vx u y vy uz vz
gi g ij g j

gi gij g j
利用指标升降关系表示斜角直线坐标系中两个矢量的
点积： u v ui vi ui vi uiv j g ij uiv j gij
u u i ui gij u i u j g ij ui u j
2
u i vi uv cos(u v ) uv u j u j v k vk
协变基矢量在逆变基矢量下分解 逆变基矢量在协变基矢量下分解
斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量

三维空间中的斜角直线坐标系和基矢量
写成矩阵形式，得到：
gij g
ij 1
可知
ij g g ij 与
均为对称矩阵，协变分量的行列式为：
2
det( gij ) g1 g2 g3 g
※ 根据几何图形直接确定 1 g3 由对偶条件可知， g 与 g2 、 均正交，因此正交于 g2与 g3所
确定的平面；其模的大小等于 1 1 g g1 cos
g1

g1
2 g2 2
g3
斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量

三维空间中的斜角直线坐标系和基矢量
j g 问题：已知 i ，如何求 g ？
uy vy wy u z u x v x vz u y v y wz u z vz
u v w w u v w u v w群论的轮换次序不变性
v u
ux 2 u v w vx wx
wx u u u v u w wz v u v v v w wz w u w v w w
1


2
P1 g1
x1
斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量

三维空间中的斜角直线坐标系和基矢量
x3
x3 g3
r x1 g1 x2 g2 x3 g3 xi gi
r
x2 g2
x2
r i i d r d x g d x 由 可定 i i x 义协变基矢量 gi 为
O
x1 g1
x1
g1 g11 g1 g12 g2 g13 g3 g1 j g j
进而可得到统一代数式：
g3
g 12 g2
g13 g3
g2
gi g ij g j
g ij 是什么？
转化为 矩阵乘法
将上式等号左右两端均点乘 gk ，得到：
ki gk gi g ij g j gk g ij g jk

平面内斜角直线坐标系下矢量的协变分量与逆变分量
P P g P g
P P g
称为矢量P的逆变分量
称为矢量P的协变分量
P 2 g2

2
P P g
x2
P2 g 2
P g2

2
2
x2
P
P
P2 g 2



2


P g1
1
1 P 1g
x1

2



2
P 1g
由对偶关系可知逆变分量的行列式为：
det( g ) g g g 1 g
ij 1 2
3 2
因此可得到：
1 2 3 1 = det( gi g j ) g1 g2 g3 g g g g 1
g
斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量

三维空间中的斜角直线坐标系和基矢量
Pi P gi Pk gk gi Pk g ki
P 的逆变分量可利用度量张量的协变分量降指标
Pj P g j Pk gk g j Pk gkj
斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量

三维空间中的斜角直线坐标系和基矢量
张量分析中的第一大基本关系：指标升降关系

基矢量 g 的协（逆）变分量可利用度量张量的逆（协） 变分量升（降）指标：
w uv i ux vx j uy vy k uz vz

u
物理意义： 计算面积
计算 v u 时换行。
矢量及其代数运算

矢量的乘法
w 之间的运算 三个矢量 u、v 、
如何计算 u (v w ) ？
观察右图，可知 v w正交于
vw u w v
u (v w )
v、w构成的平面，而 u (v w ) 正交于 v w，因此，u (v w ) w 构成的平面 一定在 v 、
※ 由协变基矢量求逆变基矢量
由于 g1正交于 g2与 g3，则 g1必定平行于 g2 g3 ，可 设 g g2 g3，利用下式：
1
g1

1 g1 g1 ( g2 g3 ) g1 g
1 g ( g2 g3 ) g
1
g1
2 g2 2
可计算出：
u (v w ) v w (u w )v (u v )w (u v ) w
数形结合
矢量及其代数运算

矢量的乘法 矢量的混合积
ux vx wx uy vy wy uz u x vx wx u vz u y v顺时针轮换 wz y w wz uzv vz wz
可交换性： 运算次序的无关性
u v u v
(许瓦兹不等式)
物理意义： 计算功(功率)
对称性 不变性
矢量及其代数运算

矢量的乘法 矢量的外积
w u v 定义式（实体形式，几何表达） ： w u v u v u v sin v u v v u (反交换性)
计算式（分量形式，代数表达） ：
u v u
uv
v
平行四边形法则
矢量及其代数运算