（3.1-10j）
二阶张量与四阶张量的（双）点乘： （3.1-10k） 由（3.1-10e）、（3.1-10f）、（3.1-10g）、（3.1-10j）、 （3.1-10k）定义单位矢量（一阶单位张量）、二阶单位张 量和四阶单位张量。即满足：
nn 1 u A0 u
A0 u u Φ0 : A A
I u (ii ii ) (u j i j ) u j iiij ui ii u
设存在另一二阶张量 I ，且满足 u I I u 。则： u I u I o ; uo ∵ I I O ; I I （唯一性） ∴
3．
A : J ( Amn imin ) : (ii i j ii i j ) Amnmi jn ii i j Amn imin A
t1 b x2 t t2 n
h
x2
r
o
x1
a
o
x1
c
x3
t3
x3
(a )
(b )
图3－2
A1 An i1 An1 ; A2 An i2 An2 ; A3 An i3 An3
A B ( Ai i Bi i )ii ii
1 m 1 m 1 m
（3.1-3）
张量间的运算除加法、减法运算和数乘运算外，还可以 定义乘法运算。但应当特别注意的是张量间的乘法运算 有多种按不同法则定义的乘法运算。这一点在矢量乘法 运算中表现为矢量与矢量的点乘和叉乘（矢量本身就是 一阶张量）。因此谈到张量（不一定是同阶张量）间的 乘法运算必须指明是什么法则定义的乘法运算。 张量积：设张量 A P ; B P ；则 A和 B的张量积按：
j1 jm j1 jn
i1im j1 jn
j1 jm
j1 jn
AB C Ci1im j1 jn ii1 iim i j1 i jn BA C Ci1im j1 jn i j1 i jn ii1 iim
A P ; B P ; C , C P n m n m
第三章 张量代数
在第一章线性空间中对三维矢量空间V由张映射 定义了 m阶张量空间 V V Pm 。若{o;i1,i2,i3}是V中标准正交坐 标系。则的基底为 i i i ;1 i 3 ,, 1 i 3 。Pm中的任意
i1 i2 im 1 m
m
A B ( Ai1im Bi1im )ii1 iim Ci1im ii1 iim C
;
A 、B 、C Pm
; A P ; F m
（3.1-1）
（3.1-2）
定义。而数乘运算按：
A ( Ai i )ii ii
1 m 1 m
定义。 按（3.1-1）和（3.1-2）式容易得出：
ij i j k k ij k i j k 3
k k ij i j ij k k i j 3
二阶张量与二阶张量的张量积：
AB Aij ii i j （Bmn imin） Aij Bmn）i j imin Φ （ ) （ ii ; Φ P 4
（3.1-10d） （3.1-10e）
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一阶张量（全）点乘：
m n
A B AB ( Ai1im B j1 jn )ii1 iim i j1 i jn B A BA ( Ai1im B j1 jn )i j1 i jn ii1 iim
（3.1-4）
定义。由定义可以看出AB和BA都是m + n阶张量。且一般 AB≠BA（两张量的张量积一般不满足交换律）。对任一 组给定的i1,…,im ; j1,…,jn值，A 、B 都是确定的实数。 A B 记C 。则：
m n
; C Ps
m n 2 r
; r min m, n 。则定义
A(r ) B ( Ai1im ii1 iim ) (r )( B j1 jn i j1 i jn ) ( Ai1imr imr 1im ii1 iimr iimr 1 iim )(r )( B j1 jr jr 1 jn i j1 i jr i jr 1 i jn ) Ai1im Bimr 1im jr 1 jn ii1 iimr i jr 1 i jn Ai1imr j1 jr B j1 jn ii1 iimr i jr 1 i jn C ; ( r min m, n )
张量都可以表示为：
A Ai1im ii1 iim ; A P m
在后文的书写中，矢量空间的张量积符号在不致混淆时将 略去不写。如：
r r2 rm r1r2 rm
A B AB
3.1 张量代数运算
在§1.5节中由多重线性映射给出了张量空间。且对任意同 阶张量 A ; B P ; F ，（1.5-7）、（1.5-8）式给出了张量 （同阶）的加法运算和张量的数乘运算。若按（1.5-9）、 （1.5-10）定义零张量和加法逆元素。则同阶张量的加减 运算按：
（3.1-4a）
张量间的张量积运算有如下性质： 1．
A( B C ) AB AC
( B C ) A BA CA
B, C Pn ; A Pm
n m
（3.1-5） （3.1-5a）
2． A( BC) ( AB)C ABC A P ; B P （证明由读者自行完成） r点乘（积）：设 A P ; B P ; C P A、B张量的r点乘：
（3.1-6）
A 当m = n = r时， (r )B 称为A全点乘B。且记为：
A(r ) B A ⊙ B
（3.1-7）
由定义（3.1-6）式可知：
A( r （B C） A( r ) B A( r )C ) （B C）( r ) A B(r ) A C ( r ) A
二阶张量与二阶张量的（双）点乘：
A : B ( Aij ii i j ) : ( Bmn imin ) ( Aij Bmn )(ii im )(i j in ) Aij Bij
四阶张量与二阶张量的（双）点乘：
Φ : A ijkl ii i j ik il） Amn im in） ijkl Amn ) ii i j (ik im )(il in ) ijkl Akl ii i j （ （ : （
二阶张量与一阶张量的（一）点乘：
A u ( Amn imin ) (ui ii ) (ui Amn )im (i n ii ) un Amn im
二阶张量与二阶张量的（一）点乘：
A B Aij ii i j） Bmn imin） Aij Bmn )ii (i j im )in Aij Bjn ii in （ （ （
i2 r o i1 i3 图3－1
J (r r I r r ) (r )dV
o



(r r ) I ω rr ω dV (r r I rr ) ω dV J ω

例2： 如图3－2所示受力物体。 若物体在确定的约束条件 下处于平衡状态。试分析 r 点处的应力状态。 解： 在物体 r 点处用三个与 坐标面平行的平面和一个斜平面截出四面体oabc如图3-2 ( b)所示。取出的四 面体与物体中剩余部分的作用通过四个 面上的作用力联系。设obc , oac , oab , abc面上的作用力的 平均分布集度为t1, t2, t3。四面体内每单位体积上受有f = fi ii的外力。记n是abc面上的单位外法线矢量； abc的面积为 ΔA。则三角形 obc , oac , oab的面积分别为：
∴
u 1 (u j i j ) u ui ui
2 2 u12 +u2 +u3 u u 1 (u j u j ) 2 1 2 2 | u | | u | uiui u1 +u2 +u3
u n u
2．
u I (ui ii ) i j i j ui i jij ui ii u
J : A (ii i j ii i j ) : ( Amn imin ) Amnim jn ii i j Amn imin A
四阶单位张量唯一性证明留作练习。
例1： 如图3－1所示刚体Ω 以角速度 ω(ω是对刚体整体运动的 述量。 ω与r无关。即对刚体上的任意点而言刚体的角速 度都是ω) 。物体点 r处的密度为ρ (r) ；速度矢量为 u (r) 。则处微分体积 dV所包含质量 ρ (r) dV对 o点动量矩为：
0 0
3． Φ0 Φ0 ii i j ii i j im jnii i j im in 且记 ; 为 J 。即 J ii i j ii i j im jn ii i j imin 。并称 张量。 证： u V ; u ui ui 1． 对任意
0 0
J
（3.1-13） 为单位二阶
（3.1-8） （3.1-9）
但必须注意一般情况下：
A( r ) B B( r ) A [ A( r ) B]( s )C A( r )[ B( s )C ]
由（3.1-4a）和（3.1-6）式给出的是任意阶张量间的张量 积和 r点乘定义。而在处理实际物理和数学问题时，更常 见的是一阶和二阶张量的张量积和r点乘的情况。 设u、v是一阶张量（矢量）。A、B、C是二阶张量。则： 一阶张量与一阶张量的张量积： uv (ui ii ) (u j i j ) uiu j ii i j Aij ii i j A ; A P 2 （3.1-10a） 二阶张量与一阶张量的张量积： Au A i i ）u i ） A u ）i i Φ （ （ （ i ; Φ P （3.1-10b） 一阶张量与二阶张量的张量积： uA u i ）A i i ） A u ） i i Ψ （ （ （ i ; Ψ P （3.1-10c）