1
解：
(1) 检测e个随机错误,则要求d0 ≥ e +1 (2) 纠t个随机错误,则要求d0 ≥ 2t +1 (2) 纠t个,同时检测e个(e > t)随机错误,则要求d0 ≥ t + e +1 由上述公式得 : (5,1)重复码d0 = 5,故能检4位错,纠2位错, 并同时能纠1位错和检3位错.
x11 + x10 + x9 + x6 + x +1
x11 + x10 + x9 + x7 + x3
x7 + x6 + x3 + x +1
得余多项式为x7 + x6 + x3 + x +1
由于余多项式不为0, 故码字在传输过程中有错, 故需要重发.
9-10 设（7,3）线性分组码的监督矩阵为
⎡1 0 1 1 0 0 0 ⎤
接收码字为T (x) = x14 + x5 + x +1
x8 + x7 + x6 + x4 +1 x14 + x5 + x +1
x6 + x5 + x3
x14 + x13 + x12 + x10 + x6
x13 + x12 + x10 + x6 + x5 + x +1
x13 + x12 + x11 + x9 + x5
H
=
⎢⎢1 ⎢1
1 1
1 0
0 0
1 0
0 1
0 ⎥⎥ 0⎥
⎢
⎥
⎣0 1 1 0 0 0 1⎦
试解答以下问题：
（1）监督码元与信息码元之间的关系表达式；
（2）列出所有的许用码字； （3）汉明距离 d0 = ? （4）画出编码器电路；
（5）校正子的数学表达式；
（6）列出错误码位、错误图样和校正子输出之间关系的表格；
⎯初⎯等⎯变⎯换→⎢⎢⎢10
0 0
1 1
1 0
1 1
0 0
1 0
0 1
0 ⎥⎥ 0⎥
⎢
⎥
⎣0 1 1 1 0 0 0 0 1⎦
3
9-7 有如下所示两个生成矩阵 G1和G2 ，试说明它们能否生成相同的码字？
⎡1 0 1 1 0 0 0 ⎤
G1
=
⎢⎢0 ⎢0
1 0
01 10
1 1
0 1
0
⎥ ⎥
0⎥
⎢⎣0
0
010
1
1
⎥ ⎦
⎡1 0 0 0 1 0 1 ⎤
G2
=
⎢⎢0 ⎢0
1 0
0 1
0 0
1 1
1 1
1
⎥ ⎥
0⎥
⎢⎣0
0
010
1
1
⎥ ⎦
解：
经初等变换后，它们的标准阵相同，故能生成相同码字。
⎡1 0 0 0 1 0 1⎤
G1
=
G2
=
⎢⎢0 ⎢0
1 0
0 1
0 0
1 1
1 1
1 ⎥⎥ 0⎥
⎢ ⎣0
0
01
9-3 已知八个码字分别为 000000、001110、010101、011011、100011、101101、110110、 111000，试求其最小码距 d0 。
解：
已知8个码组为 000000, 001110, 010101, 011011, 100011, 101101, 110110, 111000 方法一 : 两两比较,可得最小汉明距离,这种方法在 码组大时较麻烦. 方法二 : 利用码组是否具有封闭性来判断.所谓封 闭性是指, 码组中任意两组异或运算的结果,仍然 属于该码组中的一个码, 这和实数运算具有封闭性 是类似的.具体方法是 :除全0码外,找出1的个数为最 少的码,该码中1的个数为最小汉明距离,故得d0 = 3.
⊕ e2
⎪⎩s1 = e5 ⊕ e4 ⊕ e0
（6）列出错误码位、错误图样和校正子输出之间关系的表格如下：
S4S3S2S1
e6e5e4e3e2e1e0
哪位出错
对应 4-16 译码 器输出
0000
0000000
无错
Z0
0001
0000001
b0
Z1
0010
0000010
b1
Z2
0100
0000100
b2
Z1
或
出错 指示
门
6
9-11 已知（7,4）循环码的生成多项式为 g(x) = x3 + x + 1 ，试解答以下问题： （1）设计出该循环码的编码电路； （2）设计出该循环码的译码电路，分以下步骤进行： ① 已知发送端发送的正确码字为 T = a6a5a4a3a2a1a0 = 0100111 ，若 a6 有错，利用它设 计译码器中的校正电路（即反馈移位寄存器的哪些输出应接非门）； ② 写出译码电路中反馈移位寄存器的状态方程； ③ 画出状态转换表； ④ 画出状态转换图； ⑤ 分析当码字中的 a5 、 a4 、 a3 、 a2 、 a1 、 a0 分别出错时，译码器能否正确纠错？ 从而论证译码器的设计是否正确。 解 根据图 9-7 所示的规则，得除法电路为例 9-5 图所示。 1、编码电路的设计结果如下图所示。
和 R1 的输出端口串入一个非门。
7级缓存器(延时器)
异或器
译码
T (x) T0
T1
T2
T3
T4
T5
T6
输出
a0
a1
a2
a3
a4
a5
a6
除法运算器
R1
余数最低位
R2
余数
R3
K
余数最高位
S 校正 信号输出
R1
R2
R3
Q1n
Q2 n
反馈移位寄存器及输出和S校正信号产生器
Q3 n
&
7
（2）根据上图，得反馈移位寄存器的状态方程为
K2
D0
D1
D2
输入信息码
2
输出码字
1 K1
2、译码电路的设计结果下如图所示。
（1）其中反馈移位寄存器的哪些输出端要加非门可由码元 a6 发生错误来确定。a6 出错，
码字变成 1100111，对应的码多项式为 T (x) = x6 + x5 + x 2 + x + 1，余多项式为 x2 → 100 ，在 R2
0
1 1⎥⎦
9-8 已知（7,4）循环码的生成多项式为 g(x) = x3 + x +1 。 （1）求生成矩阵和监督矩阵； （2）写出循环码的全部码字。
解：
(7,4)循环码, k = 4, r = 3, g(x) = x3 + x +1
G(
x)

k
−2
g
(
⎥ x)⎥
⎢⎢LLL
⎢⎣1 1 0 1 0 0 1⎥⎦
9-9 已 知 （ 15,7 ） 循 环 码 由 g(x) = x8 + x7 + x6 + x4 + 1 生 成 ， 问 接 收 码 字 为 T (x) = x14 + x5 + x + 1 ，是否需要重发？ 解：
4
已知(15,7)循环码, g(x) = x8 + x7 + x6 + x4 +1
0 1
1 1
0 1
1 0
0 0
0 1 0 ⎥⎥ 0 0 1⎥
⎢⎣1 0 1 0 1 1 1 0 1⎥⎦
⎡1 0 1 0 1 1 1 0 1⎤
⎯将 初⎯第 等⎯变4行换⎯移至⎯第1⎯行→⎢⎢⎢11
0 0
0 1
1 0
0 1
0 0
1 0
1 1
0 ⎥⎥ 0⎥
⎢⎣0 1 1 1 0 0 0 0 1⎥⎦
⎡1 1 1 0 0 1 0 0 0⎤
⎡1 0 0 0 1 0 1⎤
G
=
⎢⎢0 ⎢0
1 0
0 1
11 0 0 11
0
⎥ ⎥
⎯初⎯等⎯变⎯换→⎢⎢0
0⎥
⎢0
1 0
0 1
0 0
1 1
1 1
1 ⎥⎥ 0⎥
⇒
⎢
⎥
⎣0 0 0 1 0 1 1⎦
⎢
⎥
⎣0 0 0 1 0 1 1⎦
⎡1 1 1 0 1 0 0 ⎤ H = ⎢⎢0 1 1 1 0 1 0⎥⎥
（7）画出译码器电路。
解：
⎡1 0 1 1 0 0 0 ⎤
⎧a3 = a4 ⊕ a6
（1）由：
H
=
⎢⎢1 ⎢1
1 1
⎢
⎣0 1
1 0 1
0 0 0
1 0 0
0 1 0
0 ⎥⎥ 0⎥
⎥ 1⎦
，得：
⎪⎪⎪⎨aa12 ⎪⎩a0
= = =
a4 a5 a4
⊕ a5 ⊕ a6 ⊕ a5
⊕
a6
（2）所有的许用码字如下： a6a5a4 000 001 010 011 100 101 110 111
x4 + x2 + x +1 x6
x2 +1
x6 + x4 + x3 + x2
x4 + x3 + x2
x4 + x2 + x +1
x3 + x +1