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(完整版)用空间向量解立体几何问题方法归纳

用空间向量解立体几何题型与方法平行垂直问题基础知识(1) 线面平行: l ∥α? a ⊥u? a ·u =0? a 1a 3+ b 1b 3+c 1c 3= 0 (2) 线面垂直: l ⊥α? a ∥u? a =ku? a 1=ka 3,b 1= kb 3,c 1=kc 3 (3) 面面平行: α∥β? u ∥v? u =kv? a 3=ka 4,b 3=kb 4,c 3=kc 4 (4) 面面垂直: α⊥β? u ⊥v? u ·v = 0? a 3a 4+b 3b 4+c 3c 4=0例 1、如图所示,在底面是矩形的四棱锥 P-ABCD 中, PA ⊥底面ABCD , 的中点, PA =AB =1, BC =2.(1) 求证: EF ∥平面 PAB ; (2) 求证:平面 PAD ⊥平面 PDC.[证明] 以 A 为原点, AB ,AD ,AP 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0), D(0,2,0),P(0,0,1),所以 E 12,1,12 ,uuur uuur uuur1),PD =(0,2,-1),AP =(0,0,1),AD =(0,2,0),uuur∥AB ,即 EF ∥AB.又 AB? 平面 PAB , EF? 平面 PAB ,所以 EF ∥平面 PAB.uuur uuur uuur uuur(2)因为 AP ·DC =(0,0,1) (1,0·,0)= 0, AD ·DC =(0,2,0) (1,0·,0)=0, uuur uuur uuur uuur 所以 AP ⊥ DC , AD ⊥ DC ,即 AP ⊥DC ,AD ⊥DC.又 AP ∩ AD = A ,AP? 平面 PAD ,AD? 平面 PAD ,所以 DC ⊥平面 PAD.因为 DC? 平面 PDC ,直线 l 的方向向量为 a =(a 1,b 1,c 1).平面 α, β的法向量 u = (a 3,b 3,c 3), v =(a 4,b 4,c 4)1 uuur 1uuur F 0 , 1,2 ,EF = -2, 0, 0 ,PB =(1,0, uuuruuurE ,F 分别是 PC ,PD间直角坐标系如图所示,则DC =(1,0,0), AB =(1,0,0).uuur 1uuur uuur(1)因为 EF =- 2AB ,所以 EF所以平面PAD⊥平面PDC.使用空间向量方法证明线面平行时, 既可以证明直线的方向向量和平面内一条直线的方向向 量平行,然后根据线面平行的判定定理得到线面平行, 也可以证明直线的方向向量与平面的法向 量垂直;证明面面垂直既可以证明线线垂直, 然后使用判定定理进行判定, 也可以证明两个平面 的法向量垂直 .例 2、在直三棱柱 ABC-A 1B 1C 1中,∠ABC =90°,BC =2,CC 1=4,点 E 在线段 BB 1上,且 EB 1=1,D ,F ,G 分别为 CC 1,C 1B 1,C 1A 1的中点. 求证: (1)B 1D ⊥平面 ABD ;(2)平面 EGF ∥平面 ABD.证明: (1)以B 为坐标原点, BA 、BC 、BB 1所在的直线分别为 x 轴、 y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,如图所示,则 B(0,0,0), D(0,2,2),B 1(0,0,4),设 BA =a ,则 A(a,0,0),uuur uuur uuuur 所以BA =(a,0,0),BD =(0,2,2), B 1D =(0,2,-2),uuuur uuur uuuur uuurB 1D ·BA =0, B 1D ·BD =0+4-4=0,即 B 1D ⊥BA ,B 1D ⊥BD.又 BA ∩BD =B ,因此 B 1D ⊥平面 ABD.a uuur a(2)由(1)知, E(0,0,3),G 2,1,4 ,F(0,1,4),则 EG = 2,1,1 , uuuur uuur uuuur uuurB 1D ·EG =0+2-2=0, B 1D ·EF =0+2-2=0,即 B 1D ⊥EG ,B 1D ⊥EF.又 EG ∩EF =E ,因此 B 1D ⊥平面 EGF. 结合 (1)可知平面 EGF ∥平面 ABD. 利用空间向量求空间角基础知识(1) 向量法求异面直线所成的角:若异面直线 a ,b 的方向向量分别为 a ,b ,异面直线所成的角为uuurEF =(0,1,1),|a ·b|. |a||b|.θ,则cos θ=|cos〈a,b〉|=(2) 向量法求线面所成的角:求出平面的法向量 n ,直线的方向向量 a ,设线面所成的角为 θ,则|n ·a|sin θ=|cos 〈n ,a 〉|=|n||a|. (3) 向量法求二面角:求出二面角θ为锐角,则 cos θ=|cos 〈n 1,n 2〉|=||n n 11|·|n n 22||; θ为钝角,则 cos θ=-|cos 〈 n 1,n 2〉|=- ||n n 11|·|n n 22||. 例 1、如图,在直三棱柱 A 1B 1C 1-ABC 中, AB ⊥AC ,AB =AC =2,A 1A = 4, 点D 是BC 的中点.(1) 求异面直线 A 1B 与 C 1D 所成角的余弦值; (2) 求平面 ADC 1与平面 ABA 1 所成二面角的正弦值. uuur(2)设平面 ADC 1 的法向量为 n 1=(x ,y ,z),因为 AD =(1,1,0), uuuurn 1·AC 1 =0,即 x +y = 0 且 y +2z =0,取 z =1,得 x = 2,y =- 2,所以, n 1= (2,-2,1)是平面 ADC 1 的一个法向量.取平面 ABA 1 的一个法向量为 n 2=(0,1,0).设平面 ADC 1 与平面 ABA 1 所成面角的大小为 θ.n 1·n 22 2 5由|cos θ|=|n 1||n 2| =9×1=3,得 sin θ=3 .5因此,平面 ADC 1 与平面 ABA 1所成二面角的正弦值为 3 .α-l -β的两个半平面 α与 β的法向量 n 1, n 2,若二面角 α-l - β所成的角若二面角 α-l - β所成的角[解] (1)以 A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 uuuur C(0,2,0), D (1,1,0),A 1(0,0,4), A-xyz ,则 A(0,0,0),B(2,0,0), uuuurC1(0,2,4),所以 A 1B =(2,0,-4),C 1D (1,-1, -4).uuuur uuuur 因为 cos〈 A 1B , C 1D 〉uuuur uuuur A 1B ·C 1D uuuur uuuur = =| A 1B ||C 1D | 20× 18183 10 10 所以异面直线 A 1B 与 C 1D 所成角的余弦值为31010.uuuur ACuuur = (0,2,4),所以 n 1·AD =例2、如图,三棱柱ABC-A1B1C1 中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.(1) 证明:AB⊥A1C;(2) 若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB,求直线A1C 与平面BB1C1C 所成角的正弦值.[解] (1)证明:取 AB 的中点 O ,连接 OC ,OA 1,A 1B.因为 CA =CB ,所以 OC ⊥AB.由于 AB =AA 1,∠BAA 1=60°,故 △AA 1B 为等边三角形,所以 OA 1⊥AB. 因为 OC ∩OA 1=O ,所以 AB ⊥平面 OA 1C. 又 A 1C? 平面 OA 1C ,故 AB ⊥A 1C.(2)由(1)知 OC ⊥AB ,OA 1⊥AB.又平面 ABC ⊥平面 AA 1B 1B ,交线为 AB , 所以 OC ⊥平面 AA 1B 1B ,故 OA ,OA 1,OC 两两相互垂直.uuur uuur以 O 为坐标原点, OA 的方向为 x 轴的正方向, |OA |为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系 O-xyz. 由题设知 A (1,0,0),A 1(0, 3, 0),C (0,0, 3),B (-1,0,0). uuur uuuur uuuur则BC =(1,0, 3), BB 1 = AA 1 =(-1, 3,0),设 n =(x ,y , z)是平面 BB 1C 1C 的法向量,uuurn ·BC =0,x + 3z = 0, 则 uuuur 即可取 n =( 3,1,- 1).n ·BB 1 =0.- x + 3y =0.uuuuruuuur A 1C =- 3 , 3) .uuuur故 cos n , A 1Cn ·A 1C uuuur =|n|| A 1C |10 5所以 A 1C 与平面 BB 1C 1C 所成角的正弦值为 105(1) 运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤:①建立恰当的空间直角坐标系;②求出相关点的坐标;③写出向量坐标;④结合公式进行论证、计算;⑤转化为几何结论.(2) 求空间角应注意:①两条异面直线所成的角α不一定是直线的方向向量的夹角β,即cos α=|cos β|.②两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角,有可能两法向量夹角的补角为所求.例3、如图,在四棱锥S-ABCD 中,AB⊥AD,AB∥CD,CD=3AB=3,平面SAD⊥平面ABCD,E是线段AD 上一点,AE=ED=3,SE⊥AD. (1)证明:平面SBE⊥平面SEC;(2)若SE=1,求直线CE 与平面SBC所成角的正弦值.解:(1)证明:∵平面SAD⊥平面ABCD,平面SAD∩平面ABCD=AD,SE? 平面SAD,SE⊥ AD,∴SE⊥平面ABCD. ∵BE? 平面ABCD,∴SE⊥BE. ∵AB⊥ AD,AB∥CD,CD=3AB=3,AE=ED=3,∴∠AEB=30°,∠CED=60°. ∴∠BEC=90°,即BE⊥ CE. 又SE∩ CE=E,∴BE⊥平面SEC. ∵BE? 平面SBE,∴平面SBE⊥平面SEC.(2)由(1)知,直线ES,EB,EC两两垂直.如图,以E为原点,EB为x轴,EC为y轴,ES uuur为z 轴,建立空间直角坐标系.则E(0,0,0),C(0,2 3,0),S(0,0,1),B(2,0,0),所以CE =(0,-uuur uur2 3,0),CB =(2,- 2 3,0),CS=(0,-2 3,1).设平面SBC 的法向量为n =(x,y,z),uuurn·CB =0,2x-2 3y=0,则uur 即令y=1,得x=3,z=2 3,n·CS =0. -2 3y+z=0.则平面SBC的一个法向量为n =( 3,1,2 3).uuur设直线CE与平面SBC所成角的大小为θ,则sin θ=| n··C uu E ur |=14,|n| |·CE |1故直线CE与平面SBC所成角的正弦值为4.例4、如图是多面体ABC-A1B1C1 和它的三视图.=0,(1)线段 CC 1 上是否存在一点 E ,使 BE ⊥平面 A 1CC 1?若不存在,请说明理由,若存在,请 找出并证明;(2)求平面 C 1A 1C 与平面 A 1CA 夹角的余弦值.解: (1)由题意知 AA 1,AB ,AC 两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系,则 A(0,0,0),uuuur A 1(0,0,2),B (-2,0,0),C (0,-2,0),C 1(-1,-1,2),则 CC 1 =(-1,1,2),uuuur uuurA 1C =(0,-2,-2).设 E(x ,y ,z),则CE =(x ,y +2,z),uuuur uuur uuuurEC 1 =(-1-x ,- 1-y,2-z ).设 CE =λEC 1 (λ>0),uuuurA 1C 1 =(-1,- 1,0), x =- λ- λ,x则 y + 2=- λ- λ,y - λ -2-λ 则E 1+λ, 12+λ,2λ,1+λ,z =2λ-λ,z uuur 2+λBE = 1+λ, -2-λ 1+λ, 2λ 1+λuuu rBE 由 uuur uuuur A 1C1uuuur ·A 1C=0, 2+λ 2+λ 1+λ+1+λ=0,- 2-λ 2λ1+λ+12+λλ=0, 解得 λ=2,uuur uuuur所以线段CC1 上存在一点E,CE =2EC1 ,使BE⊥平面A1CC1.=0,uuuur m ·A 1C 1 = 0, (2)设平面 C 1A 1C 的法向量为 m =(x ,y ,z),则由 uuuurm ·A 1C = 0, 取 x =1,则 y =- 1, z =1.故 m =(1,-1,1),而平面 A 1CA 的一个法向量为 n =(1,0,0),则 cos 〈m ,n 〉=|m m ||n n |= 13= 33,故平面 C 1A 1C 与平面 A 1CA 夹角的余弦值为 33. 利用空间向量解决探索性问题例 1、如图 1,正△ ABC 的边长为 4,CD 是 AB 边上的高, E ,F 分别是 AC 和 BC 边的中点, 现将△ ABC 沿 CD 翻折成直二面角 A-DC-B(如图 2).(1)试判断直线 AB 与平面 DEF 的位置关系,并说明理由; (2)求二面角 E-DF-C 的余弦值;(3) 在线段 BC 上是否存在一点 P ,使AP ⊥DE ?如果存在,求出 B B C P 的值;如果不存在,请说 明理由.[解] (1)在△ABC 中,由 E ,F 分别是 AC ,BC 中点,得 EF ∥AB.又 AB?平面 DEF ,EF?平 面 DEF ,∴AB ∥平面 DEF.(2)以点 D 为坐标原点,以直线 DB ,DC ,DA 分别为 x 轴、y 轴、 z 轴,建立空间直角坐标系,则 A(0,0,2), B(2,0,0),C(0,2 3,0),E(0, 3,1),F(1,uuur uuur uuur3,0), DF =(1, 3,0), DE =(0, 3,1), DA =(0,0,2).uuur平面 CDF 的法向量为 DA =(0,0,2).设平面 EDF 的法向量为 n =(x , y ,z),-x -y =0, 得- 2y - 2z =uuurDF ·n =0,则 uuurDE ·n =0, x + 3y = 0, 即 取 n =(3,- 3, 3), 3y +z =0,uuur cos 〈 DA , n 〉uuur·=| D u D u AA ur ·||n n|= 721,所以二面角 E-DF-C 的余弦值为721.uuur uuur uuur 2 3(3)存在.设 P(s ,t,0),有 AP =(s ,t ,- 2),则 AP ·DE = 3t -2=0,∴t = 3 , uuur uuur uuur uuur又 BP =(s - 2,t,0), PC =(-s,2 3-t,0),∵BP ∥PC ,∴(s -2)(2 3-t)=-st ,2 3 4 uuur 1uuur ∴ 3s +t =2 3. 把 t = 23 3代入上式得 s = 34,∴BP =13BC,∴在线段BC 上存在点 P ,使 AP ⊥DE. 此时, B B C P =31.1 空间向量法最适合于解决立体几何中的探索性问题,它无需进行复杂的作图、论证、推 理,只需通过坐标运算进行判断 .2 解题时,把要成立的结论当作条件,据此列方程或方程组,把“是否存在”问题转化为 点的坐标是否有解,是否有规定范围内的解”等,所以为使问题的解决更简单、有效,应善于 运用这一方法 . 例 2、.如图所示,在直三棱柱 ABC-A 1B1C 1中,∠ACB =90°,AA 1=BC =2AC =2.(1)若 D 为 AA 1 中点,求证:平面 B 1CD ⊥平面 B 1C 1D ; (2)在 AA 1 上是否存在一点 D ,使得二面角 B 1-CD-C 1 的大小为 60°? 解: (1)证明:如图所示,以点 C 为原点,CA ,CB ,CC 1所在直线分别为 x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系.则 C(0,0,0),A(1,0,0), B 1(0,2,2),C 1(0,0,2),D(1,0,1),空间向量在处理空间问题时具有很大的优越性, 能把“非运算”问题“运算”化, 即通过直线的方向向量和平面的法向量解决立体几何问题.解决的关键环节之一就是建立空间直角坐标系, 因而建立空间直角坐标系问题成为近几年试题新的命题点.、经典例题领悟好例 1、如图,四棱锥 P-ABCD 中, PA ⊥底面 ABCD ,BC =CD =2,AC =4,π∠ACB =∠ACD =3,F 为 PC 的中点, AF ⊥PB.(1)求 PA 的长;(2)求二面角 B-AF-D 的正弦值. (1)学审题 ——审条件之审视图形由条件知 AC ⊥BD ―建―系→DB ,AC 分别为 x ,y 轴―→写出 A ,B ,C ,D 坐标―P ―A ―⊥―面―A ―B ―C ―D →uuur uuur 设P 坐标P―F―=→CF 可得 F 坐标A ―F―⊥→PBAF ·PB =uuuur 即C 1B 1 uuuur uuur =(0,2,0), DC 1 =(-1,0,1),CD =(1,0,1). uuuur 由 C 1B 1 uuur uuuur uuurCD =(0,2,0) (1,0·,1)=0+0+0=0,得C 1B 1 ⊥CD ,即C 1B 1⊥CD. uuuur 由 DC 1 uuur uuuur uuurCD =(-1,0,1)(1,0·,1)=-1+0+1=0,得 DC 1 ⊥CD ,即 DC 1⊥CD. 又 DC 1∩C 1B 1=C 1,∴CD ⊥平面 B 1C 1D.又 CD? 平面 B 1CD ,∴平面 B 1CD ⊥平面 B 1C 1D.(2)存在.当 AD = 时,二面角 B 1-CD-C 1 的大小为 60°.理由如下: uuur uuur 设 AD =a ,则 D 点坐标为 (1,0,a), CD =(1,0,a),CB 1 =(0,2,2), 设平面 B 1CD 的法向量为 m =(x ,y , z),uuur m ·CB 1 = 02y +2z =0,则 uuur ?令 z =-1,得 m =(a,1,- 1).m ·CD =0 x +az = 0, uuur uuur|m ·CB |又∵CB =(0,2,0)为平面 C 1CD 的一个法向量,则 cos 60 =° uuur |m| |·CB |=a 2+ 21=2,2解得 a = 2(负值舍去 ),故 AD = 2= 2 AA 1.∴在AA 1 上存在一点 D 满足题意.空间直角坐标系建立的创新问题 (2) 学审题uuur由 (1) ―→ ADuuur AFuuur AB 的0―→得 P 坐标并求 PA 长.向量n―1,――n2―分―别―为―平―面――F ―A ―D 、――平―面―F ―A ―B―的→法向量n 1·u A u D ur =0且n 1·u A u F ur=0―→求得n 1·n 2―→求得夹 角余弦.[解] (1)如图,连接 BD 交AC 于O ,因为 BC =CD ,即△BCD 为等腰三角形,又 AC 平分∠ uuur uuur uuurBCD ,故 AC ⊥BD.以O 为坐标原点, OB ,OC , AP 的方向分别为 x 轴,y 轴, z 轴的正方向,ππ建立空间直角坐标系 O-xyz ,则 OC =CDcos 3= 1.而 AC =4,得 AO =AC -OC =3.又 OD =CDsin 3= 3,故 A (0,- 3,0),B ( 3,0,0),C (0,1,0),D (- 3,0,0).z uuur z因PA ⊥底面ABCD ,可设P (0,-3,z ).由F 为PC 边中点,知F0,-1,2.又AF = 0,2,2,uuurz 2PB =0,即 6-2=0,z =2 3(舍去- 2 3), uuur所以 |PA |=2 3.uuur uuur (2)由(1)知AD =(- 3,3,0), ABuuur uuurPB =( 3,3,- z ),AF ⊥PB ,故 uuur=( 3, 3,0), AF =(0,2, 3).设平面 FAD 的法n 1=(x 1,y 1,z 1),平面 FAB 的法向量为 n 2=(x 2,y 2,z 2), uuur由 n 1·AD = 0, uuur - 3x 1+ 3y 1= 0, AF = 0,得2y 1+ 3z 1= 0,因此可取 n 1=(3, 3,- 2).uuur由 n 2·AB = 0, uuur 3x 2+3y 2= 0,AF =0,得故可取 n 2=(3,- 3,2).从而法向量 n 1,n 2 的夹角的余弦值为 cos 〈n 1, n 2〉= n 1·n 2 1|n 1||·n 2|=8.故二面角B-AF-D 的正弦值为387.建立空间直角坐标系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系 本题利用 AC ⊥BD ,若图中存 在交于一点的三条直线两两垂直,则以该点为原点建立空间直角坐标系 .在没有明显的垂直关系 时,要通过其他已知条件得到垂直关系,在此基础上选择一个合理的位置建立空间直角坐标系, 注意建立的空间直角坐标系是右手系,正确确定坐标轴的名称 .例 2、如图,在空间几何体中,平面 ACD ⊥平面 ABC ,AB =BC = CA =DA = DC =BE =2.BE 与平面 ABC 所成的角为 60°,且点 E 在平面 ABC 内的射影落在∠ ABC 的平分线上.(1)求证: DE ∥平面 ABC ; (2)求二面角 E-BC-A 的余弦值.解:证明: (1)易知△ABC ,△ACD 都是边长为 2的等边三角形,取 AC 的中点 O ,连接 BO ,DO ,则 BO ⊥AC ,DO ⊥AC. ∵平面 ACD ⊥平面 ABC , ∴DO ⊥平面 ABC.作 EF ⊥平面 ABC ,则 EF ∥DO. 根据题意,点 F 落在 BO 上,∴∠EBF =60 °, 易求得 EF =DO = 3,∴四边形DEFO 是平行四边形, DE ∥OF. ∵DE?平面 ABC ,OF? 平面 ABC ,∴DE ∥平面 ABC.(2)建立如图所示的空间直角坐标系 O-xyz ,可求得平面 ABC 的一个法向量为 n 1=(0,0,1). uuur uuur可得C (-1,0,0),B (0, 3,0),E (0, 3-1, 3),则CB =(1, 3,0), BE =(0,-1, 3)y ,z ) ·(0,- 1, 3)=0,可取 n 2=(-3, 3,1).设平面 BCE 的法向量为 n 2=(x , uuur y ,z ),则可得 n 2·CB =0, uuurn 2·BE =0,故 cos 〈n 1,n 2 〉n 1·n 1 13|n 1||·n 2|= 13 .又由图知, 所求二面角的平面角是锐角,即(x ,y ,z ) ·(1, 3,0)=0,(x ,故二面角 E-BC-A 的余弦值为 1133.专题训练1.如图所示,在多面体 ABCD -A 1B 1C 1D 1中,上、下两个底面 A 1B 1C 1D 1和 ABCD 互相平行, 且都是正方形, DD 1⊥底面 ABCD ,AB ∥A 1B 1,AB = 2A 1B 1=2DD 1=2a. (1)求异面直线 AB 1 与 DD 1所成角的余弦值; (2)已知 F 是 AD 的中点,求证: FB 1⊥平面 BCC 1B 1. 解:以 D 为原点, DA , DC ,DD 1所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角 坐标系,则 A (2a,0,0),B (2a,2a,0), C (0,2a,0),D 1(0,0,a ),F (a,0,0), uuuur uuuur uuuur uuuur (1)∵AB 1=(-a ,a ,a ),DD 1=(0,0,a ),∴cos 〈 AB 1 , DD 1 〉 B 1(a ,a ,a ),C 1(0,a ,a ). uuuur uuuur AB 1 ·DD 1 3 = uuuur uuuur = ,|AB 1 | ·|DD 1 | 33 所以异面直线 AB 1 与 DD 1 所成角的余弦值为3 .uuuur uuur uuur(2)证明:∵BB 1=(-a ,-a ,a ),BC =(-2a,0,0),FB 1=(0, uuurFB 1 uuur FB 1 uuuur BB 1 =0, uuur ∴FB 1⊥BB 1, FB 1⊥BC. ·BC = 0.a ,a), ∵BB 1∩ BC = B ,∴FB 1⊥平面BCC 1B 1.2.如图,在三棱柱 ABC-A 1B 1C 1中,AA 1C 1C 是边长为 4的正方形,平面ABC ⊥平面 AA 1C 1C ,AB = 3, BC =5.(1)求证: AA 1⊥平面 ABC ; (2)求二面角 A 1-BC 1-B 1 的余弦值;BD(3)证明:在线段 BC 1上存在点 D ,使得 AD ⊥A 1B ,并求 BC1的值.解: (1)证明:因为四边形 AA 1C 1C 为正方形,所以 AA 1⊥AC.因为平面 ABC ⊥平面 AA 1C 1C ,且 AA 1 垂直于这两个平面的交线 AC ,所以 AA 1⊥平面ABC.(2)由(1)知 AA 1⊥AC , AA 1⊥AB. 由题知 AB =3,BC =5,AC =4,所以 AB ⊥AC.如图,以 A 为原点建立空间直角坐标系 A-xyz ,则 B(0,3,0),A 1(0,0,4),B 1(0,3,4),C 1(4,0,4),uuuur A 1B =uuuur- 4), A 1C 1 =(4,0,0).设平面 A 1BC 1 的法向量为 n =(x ,y ,z),uuuurn ·A 1B =0, 3y -4z = 0,则 uuuur 即 令 z =3,则 x = 0,y =4,所以 n =(0,4,3).n ·A 1C 1 =0.4x = 0.由题知二面角 A 1-BC 1-B 1 为锐角,所以二面角 A 1-BC 1-B 1 的余弦值为 25uuur uuuur(3) 证明:设 D(x ,y ,z)是直线 BC 1 上一点,且 BD =λBC 1 .所以 (x ,y -3,z)=λ(4,- 3,4).解得 x =4λ,y =3-3λ,z =4λ.uuur uuur uuuur所以 AD =(4λ,3-3λ,4λ).由 AD ·A 1B =0,即 9-25λ=0,解得9因为25∈[0,1],所以在线段 BC 1 上存在点 D ,使得 AD ⊥A 1B.BD 9 此时,BC1=λ=25.3.如图(1),四边形 ABCD 中,E 是BC 的中点, DB =2,DC =1,BC = 5,AB =AD = 2.将图(1)沿直线 BD 折起,使得二面角 A-BD-C 为 60°,如图(2).(1)求证: AE ⊥平面 BDC ;(2)求直线 AC 与平面 ABD 所成角的余弦值.1解: (1)证明:取 BD 的中点F ,连接 EF ,AF ,则AF =1,EF =2,∠AFE =60°. 3. 2.同理可得,平面 B 1BC 1 的一个法向量为 m =(3,4,0).所以 cos 〈 n , m 〉 =n ·m=16. =|n||m|=25.169 λ=25.由余弦定理知 AE =21 2-2×1×12cos 60∵AE2+EF2=AF2,∴AE⊥EF.∵AB=AD,F 为BD 中点.∴BD⊥AF. 又BD=2,DC=1,BC=5,∴BD2+DC2=BC2,即BD⊥CD.又E为BC中点,EF∥CD,∴BD⊥EF.又EF∩AF=F,∴BD⊥平面AEF.又BD⊥ AE,∵BD∩ EF=F,∴AE⊥平面BDC.(2)以E 为原点建立如图所示的空间直角坐标系,则 A 0,0,23,11C -1,2,0 ,B 1,-2,0 ,D -1,-21,0 ,uuurDB =(2,0,0),uuur uuurDA =1,AC =-1,12,设平面ABD 的法向量为n=(x,y,z),uuurn·DB =0 由uuurn·DA =02x=0,得13x+2y+2 z=0,取z= 3 ,则y=-3,又∵n=(0,-3,3).uuuruuur n·AC 6∴cos〈n ,AC 〉=uuur=-.|n||AC | 4故直线AC 与平面ABD 所成角的余弦值为410.4.如图所示,在矩形ABCD 中,AB=3 5,AD=6,B D 是对角线,过点A 作AE⊥BD,垂足为O,交CD于E,以AE为折痕将△ ADE向上折起,使点D到点P的位置,且PB=41.(1)求证:PO⊥平面ABCE;(2)求二面角 E-AP-B 的余弦值.解: (1)证明:由已知得 AB =3 5,AD =6,∴BD =9. 在矩形 ABCD 中,∵AE ⊥BD ,DO AD∴Rt △AOD ∽Rt △BAD ,∴AD = BD ,∴DO = 4,∴BO = 5. 在△POB 中,PB = 41,PO =4,BO =5,∴PO 2+BO 2=PB 2, ∴PO ⊥OB.又 PO ⊥AE ,AE ∩OB =O ,∴PO ⊥平面 ABCE.(2)∵BO =5,∴AO = AB 2- OB 2=2 5.以 O 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则 P(0,0,4),A(2 5,0,0), B(0,5,0), uuuruuurPA =(2 5, 0,- 4), PB =(0,5,- 4).取 x =2 5得 n 1=(2 5,4,5).又 n 2=(0,1,0)为平面 AEP 的一个法向量, n 〉= n 1·n 2 4 4 61n2〉=|n 1| |·n 2|= 61×1= 61 ,5.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,侧面 PAD ⊥底面 ABCD ,侧棱 PA =PD = 2,PA ⊥ PD ,底面 ABCD 为直角梯形,其中 BC ∥AD ,AB ⊥AD ,AB =BC =1,O 为 AD 中点.(1)求直线 PB 与平面 POC 所成角的余弦值; (2)求 B 点到平面 PCD 的距离;(3) 线段 PD 上是否存在一点 Q ,使得二面角 Q-AC-D 的余弦值为 36?若存在,求出 Q PQ D 的值; 若不存在,请说明理由.解: (1)在△PAD 中,PA =PD ,O 为 AD 中点,所以 PO ⊥AD.又侧面 PAD ⊥底面 ABCD ,平面 PAD ∩平面 ABCD = AD ,PO? 平面 PAD ,所以 PO ⊥平面 ABCD.又在直角梯形 ABCD 中,连接 OC ,易得 OC ⊥AD ,所以以 O 为坐标原点, OC ,OD ,OP 所在直线分别为 x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系, 则 P(0,0,1),A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),设 n 1=(x ,y ,z)为平面 APB 的法向量.则 uuurn 1·PA =0,uuurn 1·PB = 0,2 5x - 4z =0, 即 5y -4z =0. ∴cos 〈n 1,故二面角 E-AP-B 的余弦值为 4 6161D(0,1,0),uuur∴PB =(1,-1, uuur- 1),易证 OA ⊥平面 POC ,∴OA =(0,- 1,0)是平面 POC 的法向量, uuur uuur cos〈 PB ,OA 〉 uuur uuur Puu B ur ·O uu A ur = 33. ∴直线PB 与平面 POC 所成角的余弦值为 36. | PB ||OA | 3 3uuuruuur (2) PD =(0,1,- 1), CP =(-1,0,1).设平面 PDC 的一个法向量为 u =(x ,y ,z ), uuur CP =- x + z=0,uuurPD =y -z =0,取 z =1,得 u = (1,1,1).∴B 点到平面 PCD 的距离为 d = (3)假设存在一点 Q ,则设 uuur PQ = uuur uuur λPD (0<λ<1).∵PD =(0,1,-1),uuur uuur ∴PQ =(0,λ,- λ)= OQ -OP ,∴OQ =(0,λ,1-λ),∴Q(0,λ,1-λ). uuu r uuu r uuur设平面 CAQ 的一个法向量为 m =(x ,y ,z ),又 AC =(1,1,0),AQ =(0,λ+1,1-λ) uuur m ·AC =x +y = 0,则 uuur 取 z = λ+ 1,得 m = (1- λ, λ-1, λ+ 1), m ·AQ = λ+1 y + 1- λz =0. 又平面 CAD 的一个法向量为 n =(0,0,1),二面角 Q-AC-D 的余弦值为 36, 所以 |cos 〈m , n 〉 |=||m m ||n n ||= 36,得 3λ2-10λ+3=0,解得 λ=13或λ=3(舍), PQ 1 所以存在点 Q ,且 QD =2. 6.如图,在四棱锥 S-ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形,侧棱 SA ⊥底面 ABCD , AB 垂直于 AD 和 BC ,SA =AB =BC =2,AD =1.M 是棱 SB 的中点. (1)求证: AM ∥平面 SCD ; (2)求平面 SCD 与平面 SAB 所成二面角的余弦值; (3)设点 N 是直线 CD 上的动点, MN 与平面 SAB 所成的角为 θ,求 sin θ的最大值.解:(1)以点 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系, 则A(0,0,0),B(0,2,0),C(2,2,0),D(1,0,0),uuuur uuur S(0,0,2),M(0,1,1).所以 AM =(0,1,1), SD = (1,0,uuur -2), CD=(-1,-2,0).设平面 SCD 的法向量是 n =(x ,y ,z ),uuurSD ·n =0, 则 uuurCD ·n =0, x -2z = 0, 即 令 z = 1,则 x =2,y =- 1, -x -2y =0. uuuur uuuur于是 n =(2,-1,1).∵AM ·n =0,∴AM ⊥n.又AM?平面 SCD ,∴AM∥平面SCD.(2)易知平面SAB的一个法向量为n1=(1,0,0).设平面SCD 与平面SAB所成的n1·n 1,0,0 ·2,-1,1 2 6 6 则|cos φ|=|n1| ·|n| =1·6=1·6=3 ,即cos φ=3 .∴平面SCD 与平面SAB所成二面角的余弦值为36.uuuur(3) 设N(x,2x-2,0)(x∈[1,2]) ,则MN =(x,2x-3,-1).又平面SAB 的一个法向量为n1=(1,0,0),7、如图,四边形ABEF 和四边形ABCD 均是直角梯形,∠ FAB=∠ DAB=90°,AF=AB=BC=2,AD=1,FA⊥CD.(1)证明:在平面BCE上,一定存在过点C的直线l与直线DF平行;(2)求二面角F-CD-A 的余弦值.解:(1)证明:由已知得,BE∥AF,BC∥AD,BE∩BC=B,AD∩AF=A,∴平面BCE∥平面ADF. 设平面DFC∩平面BCE=l,则l过点 C.∵平面BCE∥平面ADF,平面DFC∩平面BCE=l,平面DFC ∩平面ADF =DF.∴DF∥l,即在平面BCE上一定存在过点C的直线l,使得DF∥l.(2)∵FA⊥AB,FA⊥CD,AB与CD 相交,∴FA⊥平面ABCD.故以A为原点,AD,AB,AF分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图.由已知uuur uuur 得,D(1,0,0),C(2,2,0),F(0,0,2),∴DF =(-1,0,2),DC =(1,2,0).设平面DFC 的一个法向量为n =(x,y,z),面角为φ,∴sin θ=x,2x-3,-1 ·1,0,x2+2x-3 2+- 1 2·1x-12x+101·x357)max=110 x1 2-12 x1+5则 n =(2,-1,1),不妨设平面 ABCD 的一个法向量为 m =(0,0,1).m ·n 1 6∴cos 〈m , n 〉=|m||n|= 6= 6,由于二面角 F-CD-A 为锐角,∴二面角 F-CD-A 的余弦值为 66.8、.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PD ⊥平面 ABCD ,四边形 ABCD 是菱形,AC =2,BD =2 3, E 是 PB 上任意一点. (1)求证: AC ⊥DE ;(2)已知二面角 A-PB-D 的余弦值为 515,若E 为PB 的中点,求EC 与平面 PAB 所成角的正弦值. 解: (1)证明:∵PD ⊥平面 ABCD ,AC? 平面 ABCD ,∴PD ⊥AC , ∵四边形 ABCD 是菱形,∴BD ⊥AC ,又 BD ∩PD =D ,∴AC ⊥平面 PBD ,平面 PBD ,∴AC ⊥DE.(2)在△PDB 中,EO ∥PD ,∴EO ⊥平面 ABCD ,分别以 OA ,OB ,OE 所在直线为 x 轴,y 轴, z 轴建立空间直角坐标系,设 PD =t ,则 A (1,0,0),B (0, 3,0),C(-1,0,0),E 0,0,2t ,P (0, uuur uuur- 3,t ), AB = (-1, 3,0), AP =(-1,- 3,t ).由(1)知,平面 PBD 的一个法向量为 n 1=(1,0,0),设平面 PAB 的法向量为 n 2=(x ,y ,z ),则设 EC 与平面 PAB 所成的角为 θ,∵EC =(-1,0,- 3), n 2=( 3,1,1),15面角 A-PB-D 的余弦值为 5 ,则 |cos 〈n 1,n ·DF =0, 则 uuur n ·DC=0x =2z ,不妨设 z =1.x =-2y , 312= 515,解得 t =2 3或 t =- 2 3(舍去), 4+ 2m ·n uuur n 2·AB =令 y = 1,得 n 2= 3,1,2 3根据 uuurn 2·AP =则sin θ=|cos〈EC ,n2〉=,∴EC 与平面PAB 所成角的正弦值为2× 5 5 519、如图 1,A ,D 分别是矩形 A 1BCD 1上的点, AB =2AA 1=2AD =2,DC =2DD 1,把四边形 A 1ADD 1沿 AD 折叠,使其与平面 ABCD 垂直,如图 2所示,连接 A 1B ,D 1C 得几何体 ABA 1-DCD 1.(1)当点 E 在棱 AB 上移动时,证明: D 1E ⊥A 1D ;π(2)在棱 AB 上是否存在点 E ,使二面角 D 1-EC-D 的平面角为 6?若存在,求出 AE 的长;若不存在,请说明理由.解: (1)证明,如图,以点 D 为坐标原点, DA ,DC ,DD 1所在直线为x 轴,y 轴, z 轴建立空间直角坐标系 D-xyz ,则 D(0,0,0),A(1,0,0), C(0,2,0),A 1(1,0,1),D 1(0,0,1).设 E(1,t,0),uuuur uuuur uuuur A 1D =(- 1,0,- 1),∴D 1 E ·A 1D =1×(-1)+t ×0+(-1)×(-1)=0,∴D 1E ⊥A 1D. uuur(2)假设存在符合条件的点 E.设平面 D 1EC 的法向量为 n =(x ,y ,z),由(1)知EC =(-1,2-t,0),uuurn ·EC =0,- x + 2-t y = 0, 1 1则 uuuur 得令 y =21,则 x =1- 21t ,z =1,n ·D 1E = 0x +ty -z =0, 2 2uuuur 显然平面 ECD 的一个法向量为 DD 1 =(0,0,1), uuuur|n ·DD 1 | =uuuur =|n||DD 1 |uuuur则D 1E =(1, t ,- 11 n = 1-2t ,2,1是平面 D 1EC 的一个法向量,uuuur则 cos 〈n , π31 1=cos 6,解得 t = 2- 3 (0≤t ≤2). 1-21t2+41+1故存在点E,当AE=2-π面角D1-EC-D 的平面角为6.1。

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