立体几何中的向量方法(一)
A
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作业讲评、正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，且AC与BD交 于点O，E为棱DD1的中点。求证：B1O⊥平面EAC。
解：如图所示，以A为原点建立空间直角坐标系 z
A-xyz，则A（0，0，0）,B（2，0，0）， C（2，2，0），D（0，2，0）E（0，2，1），
A A
方向确定.
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⑵直线
空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一
个定点 A 以及一个定方向确定.
P
对于直线 l 上的任一点 P ,
a
存在实数 t 使得 APtAB
B
此方程称为直线的向量参数方程
O P O A t a 或 O P x O A y O B ( x y 1 ）
A
⑶平面
P
A
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(课本第 111 页)思考 1：
怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？
⑴点 在空间中，我们取一定点 O 作为基点，
那么空间中任意一点 P 的位置就可以用向量
OP 来表示，我们把向量 OP 称为点 P 的位置向
量.
P ⑵直线
P
空间中任
பைடு நூலகம்
意一条直线 l
a
的位置可以由
O
l 上一个定点
B A 以及一个定
A1
B1（2，0，2）
B1
D1 C1
E
O是正方形ABCD的中心， O（1，1，0）
A
D
B 1O(1,1,2) AE(0,2,1) B
AC(2,2,0)
y OC
x
B 1 O A C ( 1 , 1 , 2 ) ( 2 , 2 , 0 ) 1 2 1 2 2 0 0
B 1 O A E ( 1 , 1 , 2 ) ( 0 , 2 , 1 ) 1 0 1 2 2 1 0
角的度数是___6_0____.
A
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练习: 1. 已 知 AB (2, 2,1), AC (4, 5, 3), 求 平 面 ABC 的单位法向量.
解:设平面 ABC 的一个法向量为 n ( x, y, z)
则 n AB ，n AC .
∴
( (
x, x,
y, y,
z) z)
(2, 2,1) (4,5, 3)
以 DA, DC, DD1 为单位正交基底， 建立如图所示空间坐标系 D xyz
DB1 (1,1,1) ， AC (1,1, 0) ，
AD1 (1,0,1) DB1 AC 0，所以 DB1 AC , 同理 DB1 AD1 又因为 AD1 AC A
所 以 DB1 平 面 ACD , 从 而 DB1 是平面 ACD1 的一个法向量.
画出图形意会
A
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设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，平面 ,
的法向量分别为 u, v ，则
两直线 l , m 所成的角为 ( 0 ≤ ≤ ), cos a b ；
2
ab
直线 l 与平面 所成的角为 ( 0 ≤ ≤ ), sin a u ；
2
au
uv
二面角 ─l ─ 的大小为 ( 0≤ ≤ ), cos
直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平
面 ,记作 n ⊥ ，如果 n ⊥ ，那 么 向 量 n
叫做平面 的法向量.
l
给定一点A和一个向量 n ,那么 过点A,以向量 n 为法向量的平面是
完全确定的.
n
几点注意：
1.法向量一定是非零向量;
A
2.一个平面的所有法向量都互
相平行;
3.向量n 是平面的法向量，向
注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行 包括线在面内，面面平行包括面面重合.
画出图形意会
A
9
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，平面 ,
的法向量分别为 u, v ，则
线线垂直 l ⊥ m a ⊥ b a b 0 ； 线面垂直 l ⊥ a ∥ u a ku ； 面面垂直 ⊥ u ⊥ v u v 0.
A
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练习:
1.已知 AB (2, 2,1), AC (4, 5, 3), 求平面 ABC 的单位
法向量.
(1， 2，2）或 ( 1，2， 2）.
3 33
33 3
2. 若 两 个 平 面 , 的 法 向 量 分 别 是
u (1, 0,1), v (1, 1, 0) ,则这两个平面所成的锐二面
b
O aA
5
⑶平面
空间中平面 的位置可以由 内两条相 交直线来确定.
n
b
O a
P
对于平面 上的任一点 P ,
存在有序实数对 ( x, y) ,使得
OPxayb
除 此之外, 还可以用垂直于平面的直线的 方向向量(这个平面的法向量)表示空间中平面 的位置.
A
6
平面的法向量：如果表示向量 n 的有向线段所在
方法小结
A
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问题:如何求平面的法向量? ⑴设平面的法向量为 n ( x, y, z)
⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的 坐标 a (a1,b1,c1),b (a2,b2,c2 ) ⑶根据法向量的定义建立关于 x, y, z 的方程
组
n
a
0
n b 0
⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
量m 是与平面平行或在平面
内，则A 有 nm0
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因为方向向量与法向量可以确定直线和平 面的位置，所以我们应该可以利用直线的方向 向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的 平行、垂直、夹角等位置关系.你能用直线的 方向向量表示空间两直线平行、垂直的位置关 系以及它们之间的夹角吗？你能用平面的法向 量表示空间两平面平行、垂直的位置关系以及 它们二面角的大小吗？
B1OAC B1OAE
即B1O⊥AC，B1O⊥AE，又AC
B1O⊥平面EAC
A
AE=A
2
立体几何中的向量方法(一)
前面,我们把 平面向量
推广到
空间向量
向量 渐渐成为重要工具
立体几何问题
(研究的基本对象是点、直线、平面 以及由它们组成的空间图形)
从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工
具在立体几何中的应用.
A
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学习小结: 本节课主要是认识了直线的方向向量及
平面的法向量的概念,这两个向量是运用向 量工具解决平行、垂直、夹角等立体几何问 题必要的条件.
A
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0 0
即
2x 4 x
2 5
y y
z0 3z 0
∴
y z
2 2x
x
①
∵ x2 y2 z2 1 ②∴由①②得 x 1 3
∴平面 ABC 的单位法向量为(1， 2，2）或( 1，2， 2）.
3 33
33 3
A
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练习 3:在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，
求证： DB1 是平面 ACD1 的法向量 证：设正方体棱长为 1，
则 n AB ，n AC .∵ AB (3, 4, 0) , AC (3, 0, 2)
∴
( (
x, x,
y, y,
z) z)
(3, (3,
4, 0,
0) 2)
0 0
即
3 x 3 x
4y 2z
0 0
取 x 4,则 n (4, 3, 6)
∴
y z
3 4 3 2
x x
∴ n (4, 3, 6) 是平面 ABC 的一个法向量.
.
画出图形意会
uv
以上思考在今后的解题中会经常用到,注意体会.
A
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问题:已知不共线的三点坐标,如何求经过这三点的
平面的一个法向量?
在空间直角坐标系中,已知 A(3,0,0), B(0,4,0) ,
C(0,0, 2) ,试求平面 ABC 的一个法向量. n (4, 3, 6)
解:设平面 ABC 的一个法向量为 n ( x, y, z)
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，平面 ,
的法向量分别为 u, v ，则
A
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设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，平面 ,
的法向量分别为 u, v ，则 线线平行 l ∥ m a ∥ b a kb ；
线面平行 l ∥ a u a u 0 ；
面面平行 ∥ u ∥ v u kv.