中山二中2011届空间向量解立体几何一、空间直角坐标系的建立及点的坐标表示（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底 叫单位正交基底，用{,,}i j k 表示；（2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底{,,}i j k ，以点O 为原点，分别以,,i j k 的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系O xyz -，点O 叫原点，向量,,i j k 都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面。

（3）作空间直角坐标系O xyz -时，一般使135xOy ∠=（或45），90yOz ∠=； （4）在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，称这个坐标系为右手直角坐标系规定立几中建立的坐标系为右手直角坐标系（5）空间直角坐标系中的坐标：如图给定空间直角坐标系和向量a ，设,,i j k 123(,,)a a a ，使123a a i a j a k =++，有序实数组123(,,)a a a 作向量a 在空间直角坐标系O xyz -123(,,)a a a a =．在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使OA xi yj zk =++，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标．二、空间向量的直角坐标运算律 （1）若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =， 则112233(,,)a b a b a b a b +=+++，112233(,,)a b a b a b a b -=---，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈，112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈，（2）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。

（3）//a b b a λ⇔=112233()b a b a R b aλλλλ=⎧⎪⇔=∈⎨⎪=⎩三、空间向量直角坐标的数量积1、设,是空间两个非零向量，我们把数量><b a b a ,cos ||||叫作向量,的数量积，记作⋅，即⋅＝><,cos |||| 规定：零向量与任一向量的数量积为0。

2、模长公式2||a a a x =⋅=+3、两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ， 则2||(AB AB ==，或,A B d = 4、夹角：cos ||||a ba b a b ⋅⋅=⋅． 注：①0(,a b a b a b ⊥⇔⋅=是两个非零向量）； ②22||a a a a =⋅=。

5、 空间向量数量积的性质：①||cos ,a e a a e ⋅=<>．②0a b a b ⊥⇔⋅=．③2||a a a =⋅．AB6、运算律①⋅=⋅； ②)()(⋅=⋅λλ； ③⋅+⋅=+⋅)( 四、直线的方向向量及平面的法向量1、直线的方向向量：我们把直线l 上的向量以及与共线的向量叫做直线l 的方向向量2、平面的法向量：如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作α⊥n ，如果α⊥n ，那么向量n 叫做平面α的法向量。

注：①若l α⊥，则称直线l 为平面α的法线； ②平面的法向量就是法线的方向向量。

③给定平面的法向量及平面上一点的坐标，可以确定一个平面。

3、在空间求平面的法向量的方法：（1）直接法：找一条与平面垂直的直线，求该直线的方向向量。

（2）待定系数法：建立空间直接坐标系 ①设平面的法向量为(,,)n x y z =②在平面内找两个不共线的向量111(,,)a x y z =和222(,,)b x y z =③建立方程组：0n a n b ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩④解方程组，取其中的一组解即可。

五、证明1、证明两直线平行已知两直线a 和b , b D C a B A ∈∈,,,,则⇔b a //存在唯一的实数λ使AB CD λ=2、证明直线和平面平行（1）已知直线αα∈∈⊄E D C a B A a ,,,,,且三点不共线，则a ∥⇔α存在有序实数对μλ,使AB CD CE λμ=+（2）已知直线,,,a B A a ∈⊄α和平面α的法向量n ,则a ∥n AB ⊥⇔α 3、证明两个平面平行已知两个不重合平面βα,,法向量分别为n m ,, 则α∥//⇔β 4、证明两直线垂直已知直线b a ,。

b D C a B A ∈∈,,,，则0=∙⇔⊥b a 5、证明直线和平面垂直已知直线α和平面a ，且A 、B a ∈,面α的法向量为m ,则//a AB m α⊥⇔6、证明两个平面垂直已知两个平面βα,,两个平面的法向量分别为,m n ,则m n αβ⊥⇔⊥六、计算角与距离 1、求两异面直线所成的角 已知两异面直线b a ,，,,,A B a C D b∈∈，则异面直线所成的角θ为：cos AB CD AB CDθ∙=2、求直线和平面所成的角已知A,B 为直线a 上任意两点，为平面α的法向量，则a和平面α所成的角θ为:（1）当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0π时2ABnπθ=-∙（2）当⎪⎭⎫⎝⎛∙ππ,2时2AB n πθ=∙- 3、求二面角（1）已知二面角βα--l ，且l CD l AB D C B A ⊥⊥∈∈,,,,且βα，则二面角的平面角θ的大小为：,AB CDθ=y x（2）已知二面角,βα--l n m ,分别为面βα,的法向量，则二面角的平面角θ的大小与两个法向量所成的角相等或互补。

即,,m n m n θπ=-或注:如何判断二面角的平面角和法向量所成的角的关系。

(1)通过观察二面角锐角还是钝角,再由法向量的成的角求之。

(2)通过观察法向量的方向,判断法向量所成的角与二面角的平面角相等还是互补。

4、求两条异面直线的距离已知两条异面直线b a ,,m 是与两直线都垂直的向量,b B a A ∈∈,则两条异面直线的距离AB m d m∙=5、求点到面的距离已知平面α和点A,B 且αα∈∉B A ,,m 为平面α的法向量,则点A 到平面α的距离AB m d m∙=七、训练题1、在正棱锥P ABC -中，三条侧棱两两互相垂直，G 是∆的重心，E 、F 分别为BC 、PB 上的点，且BE ：EC=PF FB=1：2。

求证：平面GEF ⊥平面PBC证明：PBC PA ⊥面，所以PA 是面PBC 的一个法向量，不妨设PA=3，则300PA =（，，）设面EFG 的一个法向量,,)n a b c =（， 且010F （，，），110G （，，）则向量 100FG =（，，）则向量FG 与PA 是共线向量那么 GF PBC ⊥面，则GEF PBC ⊥面面2、如图，已知直三棱柱111ABC A B C -中，90,30,ACB BAC ︒︒∠=∠=BC=1，1AA ，M 是1CC 的中点。

求证：11AB A M ⊥证明：说明上图中，上底面字母为11A C 1，，B 。

建立以C 为坐标原点的空间直角坐标系以CA 为Y 轴，CB 为X 轴，1CC 为Z 轴，则00M （，，）210A （0A （） 110B ，则11AB =，1AM =（0，则1AB 1A M ∙=0，命题得证。

3、在正方体1111D C B A ABCD -中,E 1，F 1分A 1B 1,,C 1D 1上，且E 1B 1=41A 1B 1，D 1F 1=41D 1C 1求BE 1与DF 1所成的角的大小。

解：设正方体棱长为4，以1,,DD DC DA 建立如图所示空间坐标系xyz D -)4,1,0(1-=,)4,1,0(1=DF ，⋅1BE 1DF ＝151715||||,1111=>=<DF BE DF BE4、在正方体1111D C B A ABCD -中, F 分别是BC 的中点，点E 在D 1C 1上,且=1E 41D 1C 1,试求直线E 1F 与平面D 1AC 解：设正方体棱长为1，以1,,DD ，建立如图所示坐标系D -xyz1DB 为D 1AC 平面的法向量，)1,1,1(1=DB)1,43,21(1-=E 8787,cos 11>=<E DB所以直线E 1F 与平面D 1AC 所成角的正弦值为87875 、在正方体1111D C B A ABCD -中,求二面角1A 解：设正方体棱长为1，以1,,DD 正交基底，A建立如图所示坐标系D-xyz（法一）)1,21,21(1-=EA,)1,21,21(1-=EC31,cos11>=<ECEA（法二）求出平面BDA1与平面BDC1的法向量)1,1,1(,)1,1,1(21-=-=nn31||||,cos2121=>=<nnnn6 、已知E,F分别是正方体1111DCBAABCD-的棱BC和CD的中点，求：（1）A1D与EF所成角的大小；（2）A1F与平面B1EB所成角的大小；（3）二面角BBDC--11的大小。

解：设正方体棱长为1，以1,,DD为单位正交基底，建立如图所示坐标系D-xyz（1）)1,0,1(1--=DA)0,21,21(--=EF21,cos11=>=<A A1D与EF所成角是060（2）)1,21,1(1--=A,)0,1,0(=31,cos111=<A（3）)1,1,1(1-=AC,)0,1,1(-=AC，36,cos11=<AC二面角BBDC--11的正弦值为367、如图，正四棱柱1111ABCD A B C D-中，124AA AB==，点E在1CC上且ECEC31=．（Ⅰ）证明：1A C⊥平面BED；（Ⅱ）求二面角1A DE B--的大小．解：以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系D xyz-．依题设，1(220)(020)(021)(204)B C E A，，，，，，，，，，，．(021)(220)DE DB==，，，，，，11(224)(204)AC DA=--=，，，，，．（Ⅰ）因为1AC DB=，1AC DE=，故1A C BD⊥，1A C DE⊥．又DB DE D=，所以1A C⊥平面（Ⅱ）设向量()x y z=，，n是平面1DA E的法向量，则⊥n1DA⊥n．故20y z+=，240x z+=．令1y=，则2z=-，x(412)=-，，n．1AC，n等于二面角1A DE B--的平面角，4214==．所以二面角1A DE B--的大小为arccos42．8、如，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，090,BAD FAB BC∠=∠=//=12AD，BE//=12AF（Ⅰ）证明：,,,C D F E四点共面；（Ⅱ）设AB BC BE==，求二面角A ED B--的大小；解：由平面ABEF⊥平面ABCD，AF AB⊥，得AF⊥平面ABCD，以A为坐标原点，射线AB为x轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系A xyz-（Ⅰ）设,AB a BC b BE c===,，则()()()()(),0,0,,0,,0,,0,2,0,0,0,2B aC a b E a cD b F c,()()0,,,0,2,2EC b c FD b c=-=-故12EC FD=，从而由点E FD∉，得//EC FD故,,,C D F E四点共面（Ⅱ）设1AB=，则1BC BE==，EA1 B1C1D1()()()()1,0,0,1,1,0,0,2,0,1,0,1B C D E在DE 上取点M ，使5DM ME =，则515,,636M ⎛⎫ ⎪⎝⎭从而115,,636MB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭又()1,2,1,0,DE MB DE MB DE =-⋅=⊥ 在DE 上取点N ，使2DN NE =，则222,,333N ⎛⎫ ⎪⎝⎭从而222,,,0,333NA NA DE NA DE ⎛⎫=---⋅=⊥⎪⎝⎭故MB 与NA 的夹角等于二面角A DE B --的平面角，10cos MB NA MB NA MBNA⋅⋅==⋅所以二面角A DE B --的大小 9、如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 四边长为1的菱形，4ABC π∠=,OA ABCD ⊥底面, 2OA =,M 为OA 的中点，N 为BC （Ⅰ）证明：直线MN OCD 平面‖；（Ⅱ）求异面直线AB 与MD 所成角的大小； （Ⅲ）求点B 到平面OCD 的距离。