1—9尺度aij的含义
尺度aij
1 3 5 7 9 2,4,6,8 1,1/2,…,1/9
含
义
Ci与Cj的影响相同 Ci比Cj的影响稍强 Ci比Cj的影响强 Ci比Cj的影响明显的强 Ci比Cj的影响绝对的强 上述相邻判断的中间值
Cj与Ci的影响之比为aij的互反数
某人利用成对比较得到阵
1 1/ 2
金
银
含量。
C4 C5 铜
模型建立及求解
构相对尺度。
设要比较各准则C1,C2,… , Cn对目标O的重要性
Ci : C j aij
1
A (aij ) nn , aij
比较尺度
0, a ji
a ij
当比较Ci和Cj对上层因素O的影响时如何选取aij？ AHP(层次分析法)的创始人Saaty建议取aij的范围为 1—9，1—1/9。
更一般地，对于s个层次的决策问题，第k层对第1 层(设只有一个元素)的组合权向量为
w(k)=W(k)w(k-1), k=3,4,…s.
其中W(k)是以第 k 层对第 k-1层的权向量为列向量组成 的矩阵。
于是第s层对第1层的组合权向量为 w(s)=W(s) W(s-1) … W(3) w(2)。
组合一致性检验
2
1
A 1/ 4 1/ 7
1/ 3
1/ 5
1/ 3 1/ 5
A是正互反阵
4 3 3
7
5
5
1 1/ 2 1/ 3
2
1
1
3 1 1
同样方法构造第3层(方案层)对第2层的每个准则的 成对比较阵，例如
1
B
1/
2
1
1/5
2 1 1/2
1
3
B
1/
3
1
4
1/
4
1
5
2 ,
1
我们认为整体通过了一致性检验。
层次分析法的基本步骤
1）建立层次分析结构模型 深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层
（目标—准则或指标—方案或对象），上层受下层影 响，而层内各因素基本上相对独立。
2）构造成对比较阵 用成对比较法和1~9尺度，构造各层对上一层每
一因素的成对比较阵。
3）计算权向量并作一致性检验 对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，
3.009
0.166 0.166 0.668
3
CI k 0.003 0.001 0
0.005 0
RI=0.58 (n=3), CIk 均可通过一致性检验。
组合权向量
0.595 0.082
0.277
0.236
0.129 0.682
0.429 0.429 0.142
0.633 0.193 0.175
在旅游问题中，第2层对第1层的成对比较矩阵A及 第3层对第2层的成对比较矩阵B1,…, B5都通过了一致性 检验，但B1,…, B5是独立作出的，还需检验其组合一致 性。
记B1,…, B5的一致性指标分别为CI1(3),…, CI5(3),则
CI (3) (CI1(3),,CI5(3))w(2)
反映了B1,…, B5对第1层的整体不一致程度。
第八讲 层次分析法
8.1 层次分析模型
8.1 层次分析模型
问题: 选择旅游地 假期到了，现有桂林、黄山、北戴河三个旅游地
供你选择，如何在三个目的地中选择？
问题分析 影响决定的因素有景色、费用、居住、饮食，
和旅途条件,不同的人对这些因素的关注程度是不同 的，从而会选择不同的目的地。
用层次结构描述问题
目标层
O(选择旅游地)
准则层
C1 景色
C2 费用
C3 居住
C4 饮食
C5 旅途
方案层
P1 桂林
P2 黄山
P3 北戴河
引例：金银铜含量的确定
有一块含金银铜的 单位重量金属，分成5块。
金属块
（1）每块的重量未知，
5块重量两两之比已知； （2）每块中金、银、铜
C1 C2 C3
的含量未知，三种金属
含量两两之比已知。求 金属块中金、银、铜的
相应地构造
RI
(3)
(RI1(3),,
RI )w (3)
(2)
5
其中 RI1(3),,RI5(3) 为随机一致性指标(相等)。
第3层的组合一致性比率为
(3)
CR(3) CI 0.001760.0030.1 RI (3) 0.58
第3层通过组合一致性检验 第3层对第1层的组合一致性比率为
CR* CR(2)CR(3) 0.0160.0030.0190.1,
w(2)
(w1(
2)
,,
w(2) n
)T
第2层C1,…Cn
第3层对第2层各元素的权向量
第3层P1, …Pm
w(3) (w(3) ,, w(3) )T , k 1,2,, n
k
k1
km
构造矩阵 W (3) [w(3) ,, w(3) ]
1
n
则第3层对第1层的组合权向量
w W w (3)
(3) (2)
0.263
0.166 0.166 0.668
0.475 0.055 0.090
0.110
方案P1对目标的组合权重为0.5950.263+ …=0.300
方案层对目标的组合权向量为 (0.300, 0.246, 0.456)T
对于3个层次的组合权向量 第2层对第1层的权向量
第1层O
一致阵性质
特值近似算法
i, j, k 1,2,, n
则称A为一致阵。
• A的秩为1，A的唯一非零特征根为n。
• A的任一列向量是对应于n 的特征向量。
• A的归一化特征向量可作为权向量。
对于不一致(但在允许范围内)的成对比较阵A，建
议用对应于最大特征根的特征向量作为权向量w ，即
Aw w
一致性检验 所谓一致性检验就是对A确定不一致的允许范围。
已知：n 阶一致阵的唯一非零特征根为n
可证：n 阶正互反阵最大特征根 n, 且 =n时为一致
阵
定义一致性指标:
CI n
n 1
CI 越大，不一致越严重
为衡量CI 的大小，引入随机一致性指标 RI—随机模拟
得到aij , 形成A，计算CI 即得RI。
Saaty的结果如下
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 RI 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51
方案层对于准则Ck的权向量及一致性检验
求出相应的最大特征根、一致性指标和相应的归 一化特征向量。
第3层对第2层的计算结果
k1
2
3
4
5
0.595
w( 3 ) k
0.277
0.129
k
3.005
0.082 0.236 0.682
3.002
0.429 0.429 0.142
3
0.633 0.193 0.175
返回
0.1 0.077 0.091
0.587 0.324 w 0.089
1.769
Aw 0.974
1 n Awi
n i1 wi
1 (1.769 0.974 0.268) 3.009
3 0.587 0.324 0.089
0.286
精确结果:w=(0.588,0.322,0.090)T, =3.010
作一致性检验，若通过，则特征向量为权向量。
4）计算组合权向量（作组合一致性检验） 组合权向量可作为决策的定量依据。
正互反阵最大特征根和特征向量的简化计算
有三种常用方法：幂法、和法、根法。
和法——取列向量的算术平均
1 2 例 A 1/ 2 1
6 列向量
4
归一化
1/ 6 1/ 4 1
0.6 0.615 0.545 算术 0.3 0.308 0.364 平均
定义一致性比率 CR = CI/RI。当CR<0.1时，通过一
致性检验。
准则层对目标的权向量及一致性检验
最大特征根=5.073
权向量(特征向量)w =(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T
一致性指标 CI 5.073 5 0.018 5 1
随机一致性指标 RI=1.12 (查表) 一致性比率CR=0.018/1.12=0.016<0.1 通过一致性检验。 因此，w =(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T 可以作为准 则层（ Ck ）对目标层（O）的相对权重。
4
1 ,
1
1
B 3 2 8
1
B 1 5 4
1/3 1 3
1/8
1/3,
1
1
1/ 4
1
1/
4 .
4 1
1
1 3
B
1
1
3 ,
3
1/3
1/3
1
要由A确定C1,… , C5对O的相对重要性的权数。
如果正互反阵A满足
aij a jk aik ,