2019年黑龙江省绥化市中考数学试卷一、单项选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）请在答题卡上用2B 铅笔将你的选项所对应的大写字母涂黑1．（3分）我们的祖国地域辽阔，其中领水面积约为370000km 2．把370000这个数用科学记数法表示为（ ） A ．37×104B ．3.7×105C ．0.37×106D ．3.7×1062．（3分）下列图形中，属于中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．（3分）下列计算正确的是（ ） A ．√9=±3B ．（﹣1）0＝0C ．√2+√3=√5D ．√83=24．（3分）若一个几何体的主视图、俯视图、左视图都是半径相等的圆，则这个几何体是（ ） A ．球体B ．圆锥C ．圆柱D ．正方体5．（3分）下列因式分解正确的是（ ） A ．x 2﹣x ＝x （x +1） B ．a 2﹣3a ﹣4＝（a +4）（a ﹣1） C ．a 2+2ab ﹣b 2＝（a ﹣b ）2D ．x 2﹣y 2＝（x +y ）（x ﹣y ）6．（3分）不透明袋子中有2个红球和4个蓝球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球是红球的概率是（ ） A ．13B ．14C ．15D ．167．（3分）下列命题是假命题的是（ ） A ．三角形两边的和大于第三边 B ．正六边形的每个中心角都等于60°C ．半径为R 的圆内接正方形的边长等于√2RD ．只有正方形的外角和等于360°8．（3分）小明去商店购买A 、B 两种玩具，共用了10元钱，A 种玩具每件1元，B 种玩具每件2元．若每种玩具至少买一件，且A 种玩具的数量多于B 种玩具的数量．则小明的购买方案有（ ） A ．5种B ．4种C ．3种D ．2种9．（3分）不等式组{x −1≥0x +8＞4x +2的解集在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．（3分）如图，在正方形ABCD 中，E 、F 是对角线AC 上的两个动点，P 是正方形四边上的任意一点，且AB ＝4，EF ＝2，设AE ＝x ．当△PEF 是等腰三角形时，下列关于P 点个数的说法中，一定正确的是（ ） ①当x ＝0（即E 、A 两点重合）时，P 点有6个 ②当0＜x ＜4√2−2时，P 点最多有9个 ③当P 点有8个时，x ＝2√2−2④当△PEF 是等边三角形时，P 点有4个A ．①③B ．①④C ．②④D ．②③二、填空题（本题共11个小题，每小题3分，共33分）请在答题卡上把你的答案写在相对应的题号后的指定区域内11．（3分）某年一月份，哈尔滨市的平均气温约为﹣20℃，绥化市的平均气温约为﹣23℃，则两地的温差为 ℃． 12．（3分）若分式√3x−4有意义，则x 的取值范围是 ． 13．（3分）计算：（﹣m 3）2÷m 4＝ ．14．（3分）已知一组数据1，3，5，7，9，则这组数据的方差是 ．15．（3分）当a＝2018时，代数式（aa+1−1a+1）÷a−1(a+1)2的值是．16．（3分）用一个圆心角为120°的扇形作一个圆锥的侧面，若这个圆锥的底面半径恰好等于4，则这个圆锥的母线长为．17．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A＝度．18．（3分）一次函数y1＝﹣x+6与反比例函数y2=8x（x＞0）的图象如图所示，当y1＞y2时，自变量x的取值范围是．19．（3分）甲、乙两辆汽车同时从A地出发，开往相距200km的B地，甲、乙两车的速度之比是4：5，结果乙车比甲车早30分钟到达B地，则甲车的速度为km/h．20．（3分）半径为5的⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，AB＝AC，连接OB、OC，延长CO交弦AB于点D．若△OBD是直角三角形，则弦BC的长为．21．（3分）在平面直角坐标系中，若干个边长为1个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放．点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边“OA1→A1A2→A2A3→A3A4→A4A5…”的路线运动，设第n秒运动到点P n（n为正整数），则点P2019的坐标是．三、解答题（本题共8个小题，共57分）请在答题卡上把你的答案写在相对应的题号后的指定区域内22．（6分）如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，﹣4），B（0，﹣4），C（1，﹣1）（1）请在网格中，画出线段BC关于原点对称的线段B1C1；（2）请在网格中，过点C画一条直线CD，将△ABC分成面积相等的两部分，与线段AB相交于点D，写出点D的坐标；（3）若另有一点P（﹣3，﹣3），连接PC，则tan∠BCP＝．23．（6分）小明为了了解本校学生的假期活动方式，随机对本校的部分学生进行了调查．收集整理数据后，小明将假期活动方式分为五类：A．读书看报；B．健身活动；C．做家务；D．外出游玩；E．其他方式，并绘制了不完整的统计图如图．统计后发现“做家务”的学生人数占调查总人数的20%．请根据图中的信息解答下列问题：（1）本次调查的总人数是人；（2）补全条形统计图；（3）根据调查结果，估计本校2360名学生中“假期活动方式”是“读书看报”的有多少人？24．（6分）按要求解答下列各题：（1）如图①，求作一点P，使点P到∠ABC的两边的距离相等，且在△ABC的边AC 上．（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）；（2）如图②，B、C表示两个港口，港口C在港口B的正东方向上．海上有一小岛A在港口B的北偏东60°方向上，且在港口C的北偏西45°方向上．测得AB＝40海里，求小岛A与港口C之间的距离．（结果可保留根号）25．（6分）已知关于x的方程kx2﹣3x+1＝0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）若该方程有两个实数根，分别为x1和x2，当x1+x2+x1x2＝4时，求k的值．26．（7分）如图，AB为⊙O的直径，AC平分∠BAD，交弦BD于点G，连接半径OC交BD于点E，过点C的一条直线交AB的延长线于点F，∠AFC＝∠ACD．（1）求证：直线CF是⊙O的切线；（2）若DE＝2CE＝2．①求AD的长；②求△ACF的周长．（结果可保留根号）27．（7分）甲、乙两台机器共同加工一批零件，一共用了6小时．在加工过程中乙机器因故障停止工作，排除故障后，乙机器提高了工作效率且保持不变，继续加工．甲机器在加工过程中工作效率保持不变．甲、乙两台机器加工零件的总数y（个）与甲加工时间x （h）之间的函数图象为折线OA﹣AB﹣BC，如图所示．（1）这批零件一共有个，甲机器每小时加工个零件，乙机器排除故障后每小时加工个零件；（2）当3≤x≤6时，求y与x之间的函数解析式；（3）在整个加工过程中，甲加工多长时间时，甲与乙加工的零件个数相等？28．（9分）如图①，在正方形ABCD中，AB＝6，M为对角线BD上任意一点（不与B、D 重合），连接CM，过点M作MN⊥CM，交线段AB于点N（1）求证：MN＝MC；（2）若DM：DB＝2：5，求证：AN＝4BN；（3）如图②，连接NC交BD于点G．若BG：MG＝3：5，求NG•CG的值．29．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+3的对称轴为直线x=12，交x轴于点A、B，交y轴于点C，且点A坐标为A（﹣2，0）．直线y＝﹣mx﹣m（m＞0）与抛物线交于点P、Q（点P在点Q的右边），交y轴于点H．（1）求该抛物线的解析式；（2）若n＝﹣5，且△CPQ的面积为3，求m的值；（3）当m≠1时，若n＝﹣3m，直线AQ交y轴于点K．设△PQK的面积为S，求S与m 之间的函数解析式．2019年黑龙江省绥化市中考数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）请在答题卡上用2B铅笔将你的选项所对应的大写字母涂黑1．（3分）我们的祖国地域辽阔，其中领水面积约为370000km2．把370000这个数用科学记数法表示为（）A．37×104B．3.7×105C．0.37×106D．3.7×106【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：370000用科学记数法表示应为3.7×105，故选：B．2．（3分）下列图形中，属于中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是中心对称图形，故此选项错误；C、是中心对称图形，故此选项正确；D、不是中心对称图形，故此选项错误，故选：C．3．（3分）下列计算正确的是（）3=2 A．√9=±3B．（﹣1）0＝0C．√2+√3=√5D．√8【分析】直接利用二次根式的性质以及立方根的性质分别化简得出答案．【解答】解：A、√9=3，故此选项错误；B 、（﹣1）0＝1，故此选项错误；C 、√2+√3无法计算，故此选项错误；D 、√83=2，正确． 故选：D ．4．（3分）若一个几何体的主视图、俯视图、左视图都是半径相等的圆，则这个几何体是（ ） A ．球体B ．圆锥C ．圆柱D ．正方体【分析】利用三视图都是圆，则可得出几何体的形状． 【解答】解：主视图、俯视图和左视图都是圆的几何体是球体． 故选：A ．5．（3分）下列因式分解正确的是（ ） A ．x 2﹣x ＝x （x +1） B ．a 2﹣3a ﹣4＝（a +4）（a ﹣1） C ．a 2+2ab ﹣b 2＝（a ﹣b ）2D ．x 2﹣y 2＝（x +y ）（x ﹣y ）【分析】A 、原式提取公因式x 得到结果，即可做出判断； B 、原式利用十字相乘法分解得到结果，即可做出判断； C 、等式左边表示完全平方式，不能利用完全平方公式分解； D 、原式利用平方差公式分解得到结果，即可做出判断． 【解答】解：A 、原式＝x （x ﹣1），错误； B 、原式＝（a ﹣4）（a +1），错误； C 、a 2+2ab ﹣b 2，不能分解因式，错误； D 、原式＝（x +y ）（x ﹣y ），正确． 故选：D ．6．（3分）不透明袋子中有2个红球和4个蓝球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球是红球的概率是（ ） A ．13B ．14C ．15D ．16【分析】直接利用概率公式求解．【解答】解：从袋子中随机取出1个球是红球的概率=22+4=13． 故选：A ．7．（3分）下列命题是假命题的是（ ） A ．三角形两边的和大于第三边B ．正六边形的每个中心角都等于60°C ．半径为R 的圆内接正方形的边长等于√2RD ．只有正方形的外角和等于360°【分析】利用三角形的三边关系、正多边形的外角和、正多边形的计算及正多边形的外角和分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A 、三角形两边的和大于第三边，正确，是真命题； B 、正六边形的每个中心角都等于60°，正确，是真命题； C 、半径为R 的圆内接正方形的边长等于√2R ，正确，是真命题； D 、所有多边形的外角和均为360°，故错误，是假命题， 故选：D ．8．（3分）小明去商店购买A 、B 两种玩具，共用了10元钱，A 种玩具每件1元，B 种玩具每件2元．若每种玩具至少买一件，且A 种玩具的数量多于B 种玩具的数量．则小明的购买方案有（ ） A ．5种B ．4种C ．3种D ．2种【分析】设小明购买了A 种玩具x 件，则购买的B 种玩具为10−x 2件，根据题意列出不等式组进行解答便可．【解答】解：设小明购买了A 种玩具x 件，则购买的B 种玩具为10−x 2件，根据题意得，{ x ≥110−x2≥110−x 2＞x ， 解得，1≤x ＜313，∵x 为整数， ∴x ＝1或2或3， ∴有3种购买方案． 故选：C ．9．（3分）不等式组{x −1≥0x +8＞4x +2的解集在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】首先解每个不等式，然后把每个不等式用数轴表示即可． 【解答】解：{x −1≥0①x +8＞4x +2②，解①得x ≥1， 解②得x ＜2， 利用数轴表示为：．故选：B ．10．（3分）如图，在正方形ABCD 中，E 、F 是对角线AC 上的两个动点，P 是正方形四边上的任意一点，且AB ＝4，EF ＝2，设AE ＝x ．当△PEF 是等腰三角形时，下列关于P 点个数的说法中，一定正确的是（ ） ①当x ＝0（即E 、A 两点重合）时，P 点有6个 ②当0＜x ＜4√2−2时，P 点最多有9个 ③当P 点有8个时，x ＝2√2−2④当△PEF 是等边三角形时，P 点有4个A ．①③B ．①④C ．②④D ．②③【分析】利用图象法对各个说法进行分析判断，即可解决问题． 【解答】解：①如图1，当x ＝0（即E 、A 两点重合）时，P 点有6个； 故①正确；②当0＜x ＜4√2−2时，P 点最多有8个． 故②错误．③当P点有8个时，如图2所示：当0＜x＜√3−1或√3−1＜x＜4√2−4或2＜x＜4√2−√3−1或4√2−√3−1＜x＜4√2−2时，P点有8个；故③错误；④如图3，当△PMN是等边三角形时，P点有4个；故④正确；当△PEF是等腰三角形时，关于P点个数的说法中，不正确的是②③，一定正确的是①④；故选：B．二、填空题（本题共11个小题，每小题3分，共33分）请在答题卡上把你的答案写在相对应的题号后的指定区域内11．（3分）某年一月份，哈尔滨市的平均气温约为﹣20℃，绥化市的平均气温约为﹣23℃，则两地的温差为3℃．【分析】用哈尔滨市的平均气温减去绥化市的平均气温，然后根据有理数的减法运算法则，减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解．【解答】解：﹣20﹣（﹣23）＝﹣20+23＝3（℃）．故答案为3．12．（3分）若分式√3x−4有意义，则x的取值范围是x≠4．【分析】分式有意义，分母不等于零．【解答】解：依题意得：x﹣4≠0．解得x≠4．故答案是：x≠4．13．（3分）计算：（﹣m3）2÷m4＝m2．【分析】直接利用积的乘方运算法则化简，再利用整式的除法运算法则计算得出答案．【解答】解：（﹣m3）2÷m4＝：m6÷m4＝m2．故答案为：m2．14．（3分）已知一组数据1，3，5，7，9，则这组数据的方差是8．【分析】先计算出平均数，再根据方差公式计算即可．【解答】解：∵1、3、5、7、9的平均数是（1+3+5+7+9）÷5＝5，∴方差=15[（1﹣5）2+（3﹣5）2+（5﹣5）2+（7﹣5）2+（9﹣5）2]＝8；故答案为：8．15．（3分）当a ＝2018时，代数式（aa+1−1a+1）÷a−1(a+1)2的值是2019 ．【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将a 的值代入化简后的式子即可解答本题． 【解答】解：（aa+1−1a+1）÷a−1(a+1)2=a−1a+1⋅(a+1)2a−1＝a +1，当a ＝2018时，原式＝2018+1＝2019， 故答案为：2019．16．（3分）用一个圆心角为120°的扇形作一个圆锥的侧面，若这个圆锥的底面半径恰好等于4，则这个圆锥的母线长为 12 ．【分析】根据底面周长等于圆锥的侧面展开扇形的弧长列式计算即可． 【解答】解：设圆锥的母线长为l ， 根据题意得：120π⋅l 180=2π×4，解得：l ＝12， 故答案为：12．17．（3分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在AC 上，且BD ＝BC ＝AD ，则∠A ＝ 36 度．【分析】已知有许多线段相等，根据等边对等角及三角形外角的性质得到许多角相等，再利用三角形内角和列式求解即可． 【解答】解：设∠A ＝x ∵AD ＝BD ，∴∠ABD ＝∠A ＝x ，∠BDC ＝2x ∵BD ＝BC∴∠C ＝∠BDC ＝2x ，∠DBC ＝x∵在BDC 中x +2x +2x ＝180° ∴x ＝36° ∴∠A ＝36°． 故填36．18．（3分）一次函数y 1＝﹣x +6与反比例函数y 2=8x（x ＞0）的图象如图所示，当y 1＞y 2时，自变量x 的取值范围是 2＜x ＜4 ．【分析】利用两函数图象，写出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可．【解答】解：当2＜x ＜4时，y 1＞y 2． 故答案为2＜x ＜4．19．（3分）甲、乙两辆汽车同时从A 地出发，开往相距200km 的B 地，甲、乙两车的速度之比是4：5，结果乙车比甲车早30分钟到达B 地，则甲车的速度为 80 km /h ． 【分析】设甲车的速度为xkm /h ，则乙车的速度为54xkm /h ，根据时间＝路程÷速度结合乙车比甲车早30分钟到达B 地，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【解答】解：设甲车的速度为xkm /h ，则乙车的速度为54xkm /h ，依题意，得：200x−20054x =3060，解得：x ＝80，经检验，x ＝80是原方程的解，且符合题意． 故答案为：80．20．（3分）半径为5的⊙O 是锐角三角形ABC 的外接圆，AB ＝AC ，连接OB 、OC ，延长CO 交弦AB 于点D ．若△OBD 是直角三角形，则弦BC 的长为 5√3或5√2 ． 【分析】如图1，当∠ODB ＝90°时，推出△ABC 是等边三角形，解直角三角形得到BC ＝AB ＝5√3，如图2，当∠DOB ＝90°，推出△BOC 是等腰直角三角形，于是得到BC =√2OB＝5√2．【解答】解：如图1，当∠ODB＝90°时，即CD⊥AB，∴AD＝BD，∴AC＝BC，∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠DBO＝30°，∵OB＝5，∴BD=√32OB=5√32，∴BC＝AB＝5√3，如图2，当∠DOB＝90°，∴∠BOC＝90°，∴△BOC是等腰直角三角形，∴BC=√2OB＝5√2，综上所述：若△OBD是直角三角形，则弦BC的长为5√3或5√2，故答案为：5√3或5√2．21．（3分）在平面直角坐标系中，若干个边长为1个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放．点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边“OA1→A1A2→A2A3→A3A4→A4A5…”的路线运动，设第n秒运动到点P n（n为正整数），则点P 2019的坐标是 （20192，√32） ．【分析】通过观察可知，纵坐标每6个进行循环，先求出前面6个点的坐标，从中得出规律，再按规律写出结果便可． 【解答】解：由题意知，A 1（12，√32）A 2（1，0） A 3（32，√32） A 4（2，0） A 5（52，−√32）A 6（3，0） A 7（72，√32） …由上可知，每个点的横坐标为序号的一半，纵坐标每6个点依次为：√32，0，√32，0，−√32这样循环， ∴A 2019（20192，√32）， 故答案为：（20192，√32）． 三、解答题（本题共8个小题，共57分）请在答题卡上把你的答案写在相对应的题号后的指定区域内22．（6分）如图，已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A （﹣2，﹣4），B （0，﹣4），C （1，﹣1）（1）请在网格中，画出线段BC 关于原点对称的线段B 1C 1；（2）请在网格中，过点C 画一条直线CD ，将△ABC 分成面积相等的两部分，与线段AB相交于点D，写出点D的坐标；（3）若另有一点P（﹣3，﹣3），连接PC，则tan∠BCP＝1．【分析】（1）根据坐标画得到对应点B1、C1，连接即可；（2）取AB的中点D画出直线CD，（3）得出△PBC为等腰直角三角形，∠PCB＝45°，可求出tan∠BCP＝1【解答】解：如图：（1）作出线段B1、C1连接即可；（2）画出直线CD，点D坐标为（﹣1，﹣4），（3）连接PB，∵PB2＝BC2＝12+32＝10，PC2＝22+42＝20，∴PB2+BC2＝PC2，∴△PBC为等腰直角三角形，∴∠PCB＝45°，∴tan∠BCP＝1，故答案为1．23．（6分）小明为了了解本校学生的假期活动方式，随机对本校的部分学生进行了调查．收集整理数据后，小明将假期活动方式分为五类：A．读书看报；B．健身活动；C．做家务；D．外出游玩；E．其他方式，并绘制了不完整的统计图如图．统计后发现“做家务”的学生人数占调查总人数的20%．请根据图中的信息解答下列问题：（1）本次调查的总人数是40人；（2）补全条形统计图；（3）根据调查结果，估计本校2360名学生中“假期活动方式”是“读书看报”的有多少人？【分析】（1）由C方式的人数及其所占百分比可得总人数；（2）根据各方式的人数之和等于总人数可得D人数，从而补全图形；（3）利用样本估计总体思想求解可得．【解答】解：（1）本次调查的总人数是8÷20%＝40（人），故答案为：40；（2）D活动方式的人数为40﹣（6+12+8+4）＝10（人），补全图形如下：（3）估计本校2360名学生中“假期活动方式”是“读书看报”的有2360×640=354（人）．24．（6分）按要求解答下列各题：（1）如图①，求作一点P，使点P到∠ABC的两边的距离相等，且在△ABC的边AC上．（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）；（2）如图②，B、C表示两个港口，港口C在港口B的正东方向上．海上有一小岛A在港口B的北偏东60°方向上，且在港口C的北偏西45°方向上．测得AB＝40海里，求小岛A与港口C之间的距离．（结果可保留根号）【分析】（1）利用尺规作∠BAC的角平分线交AC于点P，点P即为所求．（2）作AD⊥BC于D．解直角三角形求出AD，再利用等腰直角三角形的性质即可解决问题．【解答】解：（1）如图，点P即为所求．（2）作AD⊥BC于D．在Rt△ABD中，∵AB＝40海里，∠ABD＝30°，∴AD=12AB＝20（海里），∵∠ACD＝45°，∴AC=√2AD＝20√2（海里）．答：小岛A与港口C之间的距离为20√2海里．25．（6分）已知关于x的方程kx2﹣3x+1＝0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）若该方程有两个实数根，分别为x1和x2，当x1+x2+x1x2＝4时，求k的值．【分析】（1）分k＝0及k≠0两种情况考虑：当k＝0时，原方程为一元一次方程，通过解方程可求出方程的解，进而可得出k＝0符合题意；当k≠0时，由根的判别式△≥0可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．综上，此问得解；（2）利用根与系数的关系可得出x1+x2=3k，x1x2=1k，结合x1+x2+x1x2＝4可得出关于k的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【解答】解：（1）当k＝0时，原方程为﹣3x+1＝0，解得：x=1 3，∴k＝0符合题意；当k≠0时，原方程为一元二次方程，∵该一元二次方程有实数根，∴△＝（﹣3）2﹣4×k×1≥0，解得：k≤9 4．综上所述，k的取值范围为k≤9 4．（2）∵x1和x2是方程kx2﹣3x+1＝0的两个根，∴x1+x2=3k，x1x2=1k．∵x1+x2+x1x2＝4，∴3k +1k=4，解得：k＝1，经检验，k＝1是分式方程的解，且符合题意．∴k的值为1．26．（7分）如图，AB为⊙O的直径，AC平分∠BAD，交弦BD于点G，连接半径OC交BD于点E，过点C的一条直线交AB的延长线于点F，∠AFC＝∠ACD．（1）求证：直线CF是⊙O的切线；（2）若DE＝2CE＝2．①求AD的长；②求△ACF的周长．（结果可保留根号）【分析】（1）根据圆周角定理，垂径定理，平行线的性质证得OC ⊥CF ，即可证得结论； （2）①利用勾股定理求得半径，进而求得OE ，根据三角形中位线定理即可求得； ②由平行线分线段成比例定理得到BE FC=OE OC=OBOF，求得CF =103，OF =256，即可求得AF ＝OF +OA =203，然后根据勾股定理求得AC ，即可求得三角形ACF 的周长． 【解答】（1）证明：∵AC 平分∠BAD ， ∴∠BAC ＝∠DAC ， ∴C 是弧BD 的中点 ∴OC ⊥BD ． ∴BE ＝DE ，∵∠AFC ＝∠ACD ，∠ACD ＝∠ABD ， ∴∠AFC ＝∠ABD ， ∴BD ∥CF ， ∴OC ⊥CF ， ∵OC 是半径， ∴CF 是圆O 切线； （2）解：①设OC ＝R ． ∵DE ＝2CE ＝2， ∴BE ＝DE ＝2，CE ＝1． ∴OE ＝R ﹣1，在Rt △OBE 中（R ﹣1）2+22＝R 2． 解得 R =52． ∴OE =52−1=32，由（1）得，OA ＝OB ，BE ＝DE ， ∴AD ＝2OE ＝3；②连接BC ． ∵BD ∥CF ， ∴BE FC=OE OC=OB OF ，∵BE ＝2，OE =32，R =52∴CF =103，OF =256， ∴AF ＝OF +OA =203，在Rt △BCE 中，CE ＝l ，BE ＝2， ∴BC =√CE 2+BE 2=√5． ∵AB 是直径，∴△ACB 为直角三角形． ∴AC =√AB 2−BC 2=2√5．∴△ACF 周长＝AC +FC +AF ＝10+2√5．27．（7分）甲、乙两台机器共同加工一批零件，一共用了6小时．在加工过程中乙机器因故障停止工作，排除故障后，乙机器提高了工作效率且保持不变，继续加工．甲机器在加工过程中工作效率保持不变．甲、乙两台机器加工零件的总数y （个）与甲加工时间x （h ）之间的函数图象为折线OA ﹣AB ﹣BC ，如图所示．（1）这批零件一共有 270 个，甲机器每小时加工 20 个零件，乙机器排除故障后每小时加工 40 个零件；（2）当3≤x ≤6时，求y 与x 之间的函数解析式；（3）在整个加工过程中，甲加工多长时间时，甲与乙加工的零件个数相等？【分析】（1）根据图象解答即可；（2）设当3≤x ≤6时，y 与x 之间的函数关系是为y ＝kx +b ，运用待定系数法求解即可； （3）设甲价格x 小时时，甲乙加工的零件个数相等，分两种情况列方程解答：①当0≤x ≤1时，20x ＝30；②当3≤x ≤6时，20x ＝30+40（x ﹣3）． 【解答】解：（1）这批零件一共有270个，甲机器每小时加工零件：（90﹣550）÷（3﹣1）＝20（个），乙机器排除故障后每小时加工零件：（270﹣90﹣20×3）÷3＝40（个）； 故答案为：270；20；40；（2）设当3≤x ≤6时，y 与x 之间的函数关系是为y ＝kx +b ， 把B （3，90），C （6，270）代入解析式，得 {3k +b =906k +b =270，解得{k =60b =−90， ∴y ＝60x ﹣90（3≤x ≤6）；（3）设甲价格x 小时时，甲乙加工的零件个数相等， ①20x ＝30，解得x ＝15； ②50﹣20＝30，20x ＝30+40（x ﹣3），解得x ＝4.5，答：甲加工1.5h 或4.5h 时，甲与乙加工的零件个数相等．28．（9分）如图①，在正方形ABCD 中，AB ＝6，M 为对角线BD 上任意一点（不与B 、D 重合），连接CM ，过点M 作MN ⊥CM ，交线段AB 于点N （1）求证：MN ＝MC ；（2）若DM ：DB ＝2：5，求证：AN ＝4BN ；（3）如图②，连接NC 交BD 于点G ．若BG ：MG ＝3：5，求NG •CG 的值．【分析】（1）作ME∥AB、MF∥BC，证四边形BEMF是正方形得ME＝MF，再证∠CME ＝∠FMN，从而得△MFN≌△MEC，据此可得证；（2）由FM∥AD，EM∥CD知AFAB =CEBC=DMBD=25，据此得AF＝2.4，CE＝2.4，由△MFN≌△MEC知FN＝EC＝2.4，AN＝4.8，BN＝6﹣4.8＝1.2，从而得出答案；（3）把△DMC绕点C逆时针旋转90°得到△BHC，连接GH，先证△MCG≌△HCG得MG＝HG，由BG：MG＝3：5可设BG＝3a，则MG＝GH＝5a，继而知BH＝4a，MD＝4a，由DM+MG+BG＝12a＝6√2得a=√22，知BG=3√22，MG=5√22，证△MGC∽△NGB得GCGB =MGNG，从而得出答案．【解答】解：（1）如图①，过M分别作ME∥AB交BC于E，MF∥BC交AB于F，则四边形BEMF是平行四边形，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，∠ABD＝∠CBD＝∠BME＝45°，∴ME＝BE，∴平行四边形BEMF是正方形，∴ME＝MF，∵CM⊥MN，∴∠CMN＝90°，∵∠FME＝90°，∴∠CME＝∠FMN，∴△MFN≌△MEC（ASA），∴MN＝MC；（2）由（1）得FM∥AD，EM∥CD，∴AFAB =CEBC=DMBD=25，∴AF＝2.4，CE＝2.4，∵△MFN≌△MEC，∴FN＝EC＝2.4，∴AN＝4.8，BN＝6﹣4.8＝1.2，∴AN＝4BN；（3）如图②，把△DMC绕点C逆时针旋转90°得到△BHC，连接GH，∵△DMC≌△BHC，∠BCD＝90°，∴MC＝HC，DM＝BH，∠CDM＝∠CBH，∠DCM＝∠BCH＝45°，∴∠MBH＝90°，∠MCH＝90°，∵MC＝MN，MC⊥MN，∴△MNC是等腰直角三角形，∴∠MNC＝45°，∴∠NCH＝45°，∴△MCG≌△HCG（SAS），∴MG＝HG，∵BG：MG＝3：5，设BG＝3a，则MG＝GH＝5a，在Rt△BGH中，BH＝4a，则MD＝4a，∵正方形ABCD的边长为6，∴BD＝6√2，∴DM+MG+BG＝12a＝6√2，∴a=√22，∴BG=3√22，MG=5√22，∵∠MGC＝∠NGB，∠MNG＝∠GBC＝45°，∴△MGC∽△NGB，∴GCGB =MGNG，∴CG•NG＝BG•MG=15 2．29．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+3的对称轴为直线x=12，交x轴于点A、B，交y轴于点C，且点A坐标为A（﹣2，0）．直线y＝﹣mx﹣m（m＞0）与抛物线交于点P、Q（点P在点Q的右边），交y轴于点H．（1）求该抛物线的解析式；（2）若n＝﹣5，且△CPQ的面积为3，求m的值；（3）当m≠1时，若n＝﹣3m，直线AQ交y轴于点K．设△PQK的面积为S，求S与m 之间的函数解析式．【分析】（1）将点A（﹣2，0）代入解析式，对称轴为x=−b2a=12，联立即可求a与b的值；（2）设点Q 横坐标x 1，点P 的横坐标x 2，则有x 1＜x 2，联立y ＝﹣mx +5，y =−12x 2+12x +3根据韦达定理可得x 1+x 2＝2m +1，x 1x 2＝4，由面积之间的关系：S △CPQ ＝S △CHP ﹣S △CHQ ，可求m 的值；（3）当n ＝﹣3m 时，PQ 解析式为y ＝﹣mx +3m ，联立有：﹣mx +3m =−12x 2+12x +3，解得x ＝3或x ＝2m ﹣2；由条件可得P （3，0），Q （2m ﹣2，﹣2m 2+5m ），K （0，5﹣2m ），所以有HK ＝|5m ﹣5|＝5|m ﹣1|；①当0＜m ＜1时，HK ＝5﹣5m ，S △PQK ＝S △PHK +S △QHK =12×HK （x P ﹣x Q ）=12×（5﹣5m ）（5﹣2m ）＝5m 2−352m +252，②当1＜m ＜52时，HK ＝5m ﹣5，S △PQK ＝﹣5m 2+352m −252，③当2m ﹣2＞3时，如图③，有m ＞52，S △PQK =12×KQ |y P |=32（2m 2﹣5m ）＝3m 2−152m ， 【解答】解：（1）将点A （﹣2，0）代入解析式，得4a ﹣2b +3＝0， ∵x =−b2a =12， ∴a =−12，b =12； ∴y =−12x 2+12x +3；（2）设点Q 横坐标x 1，点P 的横坐标x 2，则有x 1＜x 2， 把n ＝﹣5代入y ＝﹣mx ﹣n ， ∴y ＝﹣mx +5，联立y ＝﹣mx +5，y =−12x 2+12x +3得： ﹣mx +5=−12x 2+12x +3， ∴x 2﹣（2m +1）x +4＝0， ∴x 1+x 2＝2m +1，x 1x 2＝4， ∵△CPQ 的面积为3； ∴S △CPQ ＝S △CHP ﹣S △CHQ ， 即12HC （x 2﹣x 1）＝3，∴x 2﹣x 1＝3，∴(x 1+x 2)2−4x 1x 2＝9， ∴（2m +1）2＝25， ∴m ＝2或m ＝﹣3， ∵m ＞0， ∴m ＝2；（3）当n ＝﹣3m 时，PQ 解析式为y ＝﹣mx +3m ， ∴H （0，3m ），∵y ＝﹣mx +3m 与y =−12x 2+12x +3相交于点P 与Q ， ∴﹣mx +3m =−12x 2+12x +3， ∴x ＝3或x ＝2m ﹣2，当2m ﹣2＜3时，有0＜m ＜52， ∵点P 在点Q 的右边，∴P （3，0），Q （2m ﹣2，﹣2m 2+5m ）， ∴AQ 的直线解析式为y =5−2m2x +5﹣2m ， ∴K （0，5﹣2m ）， ∴HK ＝|5m ﹣5|＝5|m ﹣1|，①当0＜m ＜1时，如图①，HK ＝5﹣5m ， ∴S △PQK ＝S △PHK +S △QHK =12×HK （x P ﹣x Q ）=12×（5﹣5m ）（5﹣2m ）＝5m 2−352m +252， ②当1＜m ＜52时，如图②，HK ＝5m ﹣5， ∴S △PQK ＝﹣5m 2+352m −252，③当2m ﹣2＞3时，如图③，有m ＞52，∴P （2m ﹣2，﹣2m 2+5m ），Q （3，0），K （0，0）， ∴S △PQK =12×KQ |y P |=32（2m 2﹣5m ）＝3m 2−152m ，综上所述，S ={5m 2−352m +252(0＜m ＜1)−5m 2+352m −252(1＜m ＜52)3m 2−152m(m ＞52)；。