10.列方程解应用题──有趣的行程问题知识纵横数学是一门具有广泛应用性的科学,我国著名数学家华罗庚先生曾说过:“宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之变、生物之谜、日用之繁，无处不用数学”. 数学应用题的类型很多,比较简单的是方程应用题,又以一元一次方程应用题最为基础,方程应用题种类繁多,以行程问题最为有趣而又多变.行程问题的三要素是:距离(s)、速度(v)、时间(t),•行程问题按运动方向可分为相遇问题、追及问题;按运动路线可分为直线形问题、环形问题等.熟悉相遇问题、追及问题等基本类型的等量关系是解行程问题的基础；而恰当设元、恰当借助直线图辅助分析是解行程问题的技巧.例题求解【例1】某人乘船由A 地顺流而下到B 地,然后又逆流而上到C 地,共乘船4小时,已知船在静水中的速度为每小时7.5千米,水流速度为每小时2.5千米,若A 、C 两地的距离为10千米,则A 、B 两地的距离为_____千米. (重庆市竞赛题) 思路点拨 等量关系明显,关键是考虑C 地所处的位置. 解:20或203提示:C 可在AB 之间或AB 之外 【例2】如图,某人沿着边长为90米的正方形,按A →B →C →D →A ……方向,•甲以A 以64米/分的速度,乙从B 以72米/分的速度行走,当乙第一次追上甲时在正方形的(• ). A.AB 边上 B.DA 边上C.BC 边上D.CD 边上 (安徽省竞赛题)思路点拨 本例是一个特殊的环形的追及问题,注意甲实际在乙的前面 3×90=270(米)处.乙甲DCBA解:选B 提示:乙第一次追上甲用了2707分钟,72×2707=7×360+267×90【例3】父亲和儿子在100米的跑道上进行赛跑,已知儿子跑5步的时间父亲能跑6步,儿子跑7步的距离与父亲跑4步的距离相等.现在儿子站在100米的中点处,•父亲站在100米跑道的起点处同时开始跑,问父亲能否在100米的终点处超过儿子?并说明理由. (2002年重庆市竞赛题)思路点拨:把问题转化为追及问题,即比较父亲追上儿子时,•儿子跑的路程与50的大小,为了理顺步长、路程的关系,需增设未知数,这是解题的关键.解:设儿子每步跑x 米,父亲每步跑y 米,单位时间内儿子跑5步,父亲跑6步,设t 个单位时间父亲追上儿子,则有5tx+50=6ty,把4y=7x 代入得5tx+50=6t ·74x,解得tx=505.5,•则赶上时,儿子跑了5tx=505.5×5 =501.1<50,故父亲能够在100米的终点前赶上儿子. 【例4】钟表在12点钟时三针重合,经过多少分钟秒针第一次将分针和时针所夹的锐角平分? (2000年湖北省数学竞赛选拨赛试题)思路点拨 先画钟表示意图,运用秒针分别与时针、•分针所成的角相等建立等量关系,关键是要熟悉与钟表相关的知识.解:14401427分 提示:设经过x 分钟秒针第一次将分针和时针所夹的锐角平分,因为秒针、分针、时针的速度分别为360度/分、6度/分、0.5度/分,显然x 的值大于1•小于2,所以有6x-360(x-1)=360(x-1)-0.5x,解得x=14401427. 【例5】七年级93年同学在4位老师的带领下准备到离学校33千米处的某地进行社会调查,可是只有一辆能坐25人的汽车.为了让大家尽快地到达目的地,•决定采用步行与乘车相结合的办法.如果你是这次行动的总指挥,你将怎样安排他们乘车,•才能使全体师生花最短的时间到达目的地?最短的时间是多少?(师生步行的速度是5千米/时,汽车的速度是55千米/时,上、下车时间不计).思路点拨 人和车同时出发,由车往返接运,如能做到人车同时到达目的地,•则时间最短,而实现同时到达目的地的关键在于平等地享用交通工具,这样,•各组乘车的路程一BA样,步行的路程也就一样.解:要使全体师生到达目的地花的时间最短,就应让每一个学生或老师都乘到汽车,并且使他们乘车的时间尽可能地长.97人分成四组①、②、③、④.实线表示汽车行驶路线,虚线表示步行路线.设允许每组乘车的最长时间为t•小时.图中AC=55t,CB=33-55t.汽车从C 到D(E 到F,G 到H 也一样) 用去的时间为555555t t -+=56t(小时)汽车到达C 处后,三次回头,又三次向B 处开.共用去时间3×56t+36t=112t. 这也是第一组从C 到B 步行所用的时间,所以有33-5t=112t ×5 解得t=25小时.所以全体师生从学校到目的地去的最短时间为25+2335515555-⨯=(小时).学力训练一、基础夯实1.甲、乙两人骑自行车,同时从相距65千米的两地相向而行,甲的速度为每小时17.5千米,乙的速度为每小时15千米,则经过________小时,甲、乙两人相距32.5•千米. 2.某人以4千米/小时的速度步行由甲地到乙地,然后又以6千米/•小时的速度从乙地返回甲地,那么此人往返一次的平均速度是_____千米/小时.3.汽车以每小时72千米的速度笔直地开向寂静的山谷,驾驶员揿一声嗽叭,4•秒后听到回响,已知声音的速度是每秒340米,•听到回响时汽车离山谷的距离是______米. (第15届江苏省竞赛题)4.现在是4点5分,再过_____分钟,分针和时针第一次重合.5.甲、乙两人同时从A地到B地,如果乙的速度v保持不变,而甲先用2v•的速度到达中点,再用12v的速度到达B地,则下列结论中正确的是( ).A.甲、乙两人同时到达B地B.甲先到B地C.乙先到B地D.无法确定谁先到6.甲与乙比赛登楼,他俩从36层的长江大厦底层出发,当甲到达6楼时,乙刚到达5楼,按此速度,当甲到达顶层时,乙可到达( ).A.31层B.30层C.29层D.28层7.小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶,下图是小明每隔1小时看到的里程情况,你能确定小明在12:00时看到的里程表上的数吗?8.如图,是某风景区的旅游路线示意图,其中B、C、D为风景点,E•为两条路的交叉点,图中数据为两相应点间的距离(单位:千米),一学生从A处出发,以2千米/•时的速度步行游览,每个景点的逗留时间均为0.5小时.(1)当他沿着路线A→D→C→E→A游览回到A处时,共用了3小时,求CE的长.(2)若此学生打算从A处出发后,步行速度与在景点的逗留时间保持不变,且在最短时间内看完三个景点返回到A处,请你为他设计一条步行路线,•并说明这样设计的理由.(不考虑其他因素). (2001年江西省中考题)9.某人从家里骑摩托车到火车站,如果每小时行30千米,那么比火车开车时间早到15分钟,若每小时行18千米,则比火车开车时间迟到15分钟,•现在此人打算在火车开车前10分钟到达火车站,求此人此时骑摩托车的速度应该是多少?(湖北省孝感市竞赛题)二、能力拓展10.甲、乙两列客车的长分别为150米和200米,它们相向行驶在平行的轨道上,•已知甲车上某乘客测得乙车在他窗口外经过的时间是10秒,•那么乙车上的乘客看见甲车在他窗口外经过的时间是______秒. (“希望杯”邀请赛试题)11.甲、乙两地相距70千米,有两辆汽车同时从两地相向出发,•并连续往返于甲、乙两地,从甲地开出的为第一辆汽车,每小时行30千米,•从乙地开出的汽车为第二辆汽车,每小时行40千米,当从甲地开出的第一辆汽车第二次从甲地出发后与第二辆汽车相遇,这两辆汽车分别行驶了______千米和______千米. (武汉市选拨赛试题)12.某商场有一部自动扶梯匀速由下而上运动,甲、乙两人都急于上楼办事,•因此在乘扶梯的同时匀速登梯,甲登了55级后到达楼上,乙登梯速度是甲的2倍(单位时间内乙登楼级数是甲的2倍),他登了60级后到达楼上,那么,•由楼下到楼上自动扶梯级数为________.(北京市竞赛题)13.•博文中学学生郊游,•沿着与笔直的铁路线并列的公路匀速前进,•每小时走4500米,一列火车以每小时120千米的速度迎面开来,测得从车头与队首学生相遇,到车尾与队末学生相遇,共经过60秒,如果队伍长500米,那么火车长为( )米.A.2075B.1575C.2000D.1500 (“五羊杯”邀请赛试题)14.上午九点钟的时候,时针与分针成直角,•那么下一次时针与分针成直角的时间是( ).(第13届“希望杯”邀请赛试题)A.9时30分B.10时5分C.10时5511分 D.9时32811分15.铁路旁的一条平行小路上有一行人与一骑车人同时向东行进,行人速度为3.6千米/小时,骑车人速度为10.8千米/小时,如果有一列火车从他们背后开过来,•它通过行了用了22秒,通过骑车人用26秒,问这列火车的车身长为多少米? (河北省竞赛题)16.2001年亚洲铁人三项赛在徐州市风光秀丽的云龙湖畔举行.比赛程序是:•运动员先同时下水游泳1.5千米到第一换项点,在第一换项点整理服装后,•接着骑自行车40千米到第二项换点,再跑步10千米到终点.下表是2001年亚洲铁人三项赛女子组(19岁以下)三名运动员在比赛中的成绩(游泳成绩即游泳所用时间,其他类推,•表内时间单位为秒).(1)填空(精确到0.01):第191号运动员骑自行车的平均速度是_______米/秒;第194号运动员骑自行车的平均速度是_______米/秒;第195号运动员骑自行车的平均速度是_______米/秒.(2)如果运动员骑自行车都是匀速的,那么在骑自行车的途中,191号运动员会追上195号或194号吗?如果会,那么追上时离第一换项点有多少米(精确到0.01)?•如果不会,为什么?(3)如果运动员长跑也都是匀速的,那么在长跑途中这三名运动员有可能某人追上某人吗?为什么? (2001年徐州市中考题)三、综合创新17.某出租汽车停车站已停有6辆出租汽车,第一辆出租车出发后,每隔4•分钟就有一辆出租汽车开出,在第一辆汽车开出2分钟后,有一辆出租汽车进站,•以后每隔6分钟就有一辆出租汽车回站,回站的出租汽车,在原有的出租汽车依次开出之后又依次每隔4分钟开出一辆.问:第一辆出租汽车开出后,经过最少多少时间,•车站不能正点发车?(2002年重庆市竞赛题)18.今有12名旅客要赶往40千米远的汉口新火车站去乘火车,•离开车时间只有3小时,他们步行的速度为每小时4千米,靠走路是来不及了,惟一可以利用的交通工具只有一辆小汽车,但这辆汽车连司机在内最多只能乘5人,汽车的速度为每小时60•千米,若这12名旅客必须要赶上这趟火车,请你设计一种方案,帮助司机把这12•名旅客及时送到汉口火车站(不考虑借助其他交通工具).答案【学力训练】1.1或32.4.83.6404.169 11提示:设再过x分钟,分针与时针第一次重合,分针每分钟走6°,时针每分钟走0.5°,则6x=0.5x+90+0.5×5,解得x=169 11.5.C6.C 提示:54S VS V==甲甲乙乙7.168.(1)设CE长为x千米,则1.6+1+x+1=2×(3-2×0.5),解得x=0.4(千米)(2)若步行路线为A→D→C→B→E→A(或A→E→B→C→D→A)则所用时间为:12(1.6+1+1.2+0.4+1)+3×0.5=4.1(小时);若步行路线为A→D→C→E→B→E→A(•或A→E→B→E→C→D→A),则所用时间为:12(1.6+1+0.4+0.4×2+1)+3×0.5=3.9(小时),因为4.1>4,4>3.9,所以,步行路线应为A→D→C→E→B→E→A(或A→E→B→E→C→D→A).9.提示:设此人从家里出发到火车开车的时间为x小时,由题意得:30(x-1560)=18(x+1560),解得x=1,此人打算在火车开车前10分钟到达火车站,骑摩托车的速度应为:151530()30(1)6060101016060xx⨯-⨯-=--=27(千米/小时)10.7.5 提示:先求出甲、乙两车速度和为20010=20(米/秒)11.150、200提示:设第一辆车行驶了(140+x)千米,则第二辆行驶了(140+x)•×43=140+(4623+43x)千米,由题意得:x+(4623+43x)=70.12.66 13.B14.D 提示:设经过x分钟后时针与分针成直角,则6x-12x=180,解得x=3281115.提示:设火车的速度为x米/秒,由题意得:(x-1)×22=(x-3)×26,解得x=14,•从而火车的车身长为(14-1)×22=286(米).16.(1)8.12;7.03;7.48.(2)191号能追上194号,这时离第一换项点有24037.96米,191号不会追上195号.(3)从第二换项点出发时,195号比191号提前216秒,且长跑速度比191号快,所以195号在长跑时始终在191号前面,而191号在长跑时始终在194号前面,故在长跑时,•谁也追不上谁.17.设回车数是x辆,则发车数是(x+6)辆,当两车用时相同时,则车站内无车,•由题意得4(x+6)=6x+2,解得x=11,故4(x+6)=68.即第一辆出租车开出,最少经过68分钟时,车站不能正点发车.18.设计方案一:如果在汽车送前一趟旅客的同时,让其他旅客步行,第一趟设汽车来回共用了xh,这时汽车和其他旅客的总路程为一个来回,所以4x+60x=40×2.解得x= 5 4此时,剩下8名旅客与车站的距离为40-54·4=35(km),同理,•第二趟汽车来回用时间约为1.09h,第三趟汽车来回用的时间为0.51h,共用时- 11 - 间为1.25+1.09+•0.•51=•2.85h,这批旅客能赶上火车.设计方案二:先让汽车把4名旅客送到途中某处,再让这4名旅客步行(•此时其他8名旅客也在步行);接着汽车回来再送4名旅客(剩下4名旅客继续步行),•追上前面4名旅客后也让他们下车一起步行;最后回来接剩下的4名旅客到火车站,•适当选取第一批旅客的下车地点,使送最后一批旅客的汽车与前面8名旅客同时到达火车站.设汽车送第一批旅客行驶xkm 后让他们下车步行,此时其他旅客步行了460x =15x km,•他们之间相差1415xkm,在以后的时间里,由于步行的速度相同,• 所以两批步行旅客之间始终相差1415x 千米, 而汽车要在这段距离间来回行驶两趟,每来回一趟的所用时间为14141151560460432x x x +=+- 而汽车来回两趟所用时间恰好是第一批旅客步行(40-x)km 的时间,即2×132x=404x - 解得x=32. 因此所需的总时间为3260+40324-≈2.53(h). 这样就用最省的时间把旅客送到火车站.。