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最新全国初中数学竞赛试题(含答案)

中国教育学会中学数学教学专业委员会2012年全国初中数学竞赛试题一、选择题(共5小题,每小题7分,共35分)1.如果实数a ,b ,c 在数轴上的位置如图所示,那么代数式22||()||a a b c a b c -++-++可以化简为( ). (A )2c a (B )2a 2b (C ) a (D )a2.如果正比例函数y = ax (a ≠ 0)与反比例函数y =xb(b ≠0 )的图象有两个交点,其中一个交点的坐标为(-3,-2),那么另一个交点的坐标为( ).(A )(2,3) (B )(3,-2) (C )(-2,3) (D )(3,2)3.如果a b ,为给定的实数,且1a b <<,那么1121a a b a b ++++,, ,这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是( ). (A )1 (B )214a - (C )12 (D )144.小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币.小倩对小玲说:“你若给我2元,我的钱数将是你的n 倍”;小玲对小倩说:“你若给我n 元,我的钱数将是你的2倍”,其中n 为正整数,则n 的可能值的个数是( ).(A )1 (B )2 (C )3 (D )45.一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,2,3,4,5,6.掷两次骰子,设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0,1,2,3的概率为0123p p p p ,,,,则0123p p p p ,,,中最大的是( ).(A )0p (B )1p (C )2p (D )3p (第1题图)二、填空题(共5小题,每小题7分,共35分)6.按如图的程序进行操作,规定:程序运行从“输入一个值x ”到“结果是否>487?”为一次操作. 如果操作进行四次才停止,那么x 的取值范围是 .7.如图,正方形ABCD 的边长为215,E ,F 分别是AB ,BC 的中点,AF 与DE ,DB 分别交于点M ,N ,则△DMN 的面积是 .8.如果关于x 的方程x 2+kx+43k 2-3k+92= 0的两个实数根分别为1x ,2x ,那么2012220111x x 的值为 .9.2位八年级同学和m 位九年级同学一起参加象棋比赛,比赛为单循环,即所有参赛者彼此恰好比赛一场.记分规则是:每场比赛胜者得3分,负者得0分;平局各得1分. 比赛结束后,所有同学的得分总和为130分,而且平局数不超过比赛局数的一半,则m 的值为 .10.如图,四边形ABCD 内接于⊙O ,AB 是直径,AD = DC. 分别延长BA ,CD ,交点为E. 作BF ⊥EC ,并与EC 的延长线交于点F. 若AE = AO ,BC = 6,则CF 的长为 .三、解答题(共4题,每题20分,共80分)11.已知二次函数232y x m x m =++++(),当13x -<<时,恒有0y <;关于x 的方程2320x m x m ++++=()的两个实数根的倒数和小于910-.求m 的取值范围.(第7题图)(第10题图)12.如图,⊙O 的直径为AB ,⊙O 1过点O ,且与⊙O 内切于点B .C 为⊙O 上的点,OC 与⊙O 1交于点D ,且OD CD >.点E 在OD 上,且DC DE =,BE 的延长线与⊙O 1交于点F ,求证:△BOC ∽△1DO F .13.已知整数a ,b 满足:a -b 是素数,且ab 是完全平方数. 当a ≥2012时,求a 的最小值.14.求所有正整数n ,使得存在正整数122012x x x ,, ,,满足122012x x x <<<,且122012122012n x x x +++=.(第12题图)中国教育学会中学数学教学专业委员会2012年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题 1.C解:由实数a ,b ,c 在数轴上的位置可知0b a c <<<,且b c >,所以||||()()()a b b c a a b c a b c ++=-+++--+a =-.2.D解:由题设知,2(3)a -=⋅-,(3)(2)b -⋅-=,所以263a b ==,.解方程组236y x y x⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,,得32x y =-⎧⎨=-⎩,; 32.x y =⎧⎨=⎩,所以另一个交点的坐标为(3,2).注:利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性,可知两个交点关于原点对称,因此另一个交点的坐标为(3,2).3.D解:由题设知,1112a a b a b <+<++<+,所以这四个数据的平均数为1(1)(1)(2)34244a ab a b a b+++++++++=, 中位数为 (1)(1)44224a a b a b++++++=, 于是 4423421444a b a b ++++-=.4.D解:设小倩所有的钱数为x 元、小玲所有的钱数为y 元,x y ,均为非负整数. 由题设可得2(2)2()x n y y n x n +=-⎧⎨+=-⎩,, 消去x 得 (2y -7)n = y+4,2n =721517215)72(-+=-+-y y y .因为1527y -为正整数,所以2y -7的值分别为1,3,5,15,所以y 的值只能为4,5,6,11.从而n 的值分别为8,3,2,1;x 的值分别为14,7,6,7.5.D解:掷两次骰子,其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个,其和除以4的余数分别是0,1,2,3的有序数对有9个,8个,9个,10个,所以01239891036363636p p p p ====,,,,因此3p 最大.二、填空题6.7<x ≤19解:前四次操作的结果分别为3x -2,3(3x -2)-2 = 9x -8,3(9x -8)-2 = 27x -26,3(27x -26)-2 = 81x -80.由已知得 27x -26≤487, 81x -80>487.解得 7<x ≤19.容易验证,当7<x ≤19时,32x -≤487 98x -≤487,故x 的取值范围是 7<x ≤19.7.8解:连接DF ,记正方形ABCD 的边长为2a . 由题设易知△BFN ∽△DAN ,所以21AD AN DN BF NF BN ===, 由此得2AN NF =,所以23AN AF =.在Rt △ABF 中,因为2AB a BF a ==,,所以225AF AB BF a =+=,于是 25cos AB BAF AF ∠==. 由题设可知△ADE ≌△BAF ,所以 AED AFB ∠=∠,0018018090AME BAF AED BAF AFB ∠=-∠-∠=-∠-∠=. (第7题)于是 25cos AM AE BAF =⋅∠=, 245315MN AN AM AF AM =-=-=,415MND AFD S MN S AF ∆∆==. 又21(2)(2)22AFD S a a a ∆=⋅⋅=,所以2481515MND AFD S S a ∆∆==. 因为15a =8MND S ∆=. 8.32-解:根据题意,关于x 的方程有∆=k 2-4239(3)42k k -+≥0,由此得 (k -3)2≤0.又(k -3)2≥0,所以(k -3)2=0,从而k=3. 此时方程为x 2+3x+49=0,解得x 1=x 2=32-.故2012220111x x =21x =23-. 9.8解:设平局数为a ,胜(负)局数为b ,由题设知23130a b +=,由此得0≤b ≤43. 又 (1)(2)2m m a b +++=,所以22(1)(2)a b m m +=++. 于是0≤130(1)(2)b m m =-++≤43,87≤(1)(2)m m ++≤130,由此得 8m =,或9m =.当8m =时,405b a ==,;当9m =时,2035b a ==,,5522a b a +>=,不合题设. 故8m =.(第10题)10.223 解:如图,连接AC ,BD ,OD.由AB 是⊙O 的直径知∠BCA =∠BDA = 90°. 依题设∠BFC = 90°,四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形,所以∠BCF =∠BAD,所以 Rt △BCF ∽Rt △BAD ,因此BC BACF AD=. 因为OD 是⊙O 的半径,AD = CD ,所以OD 垂直平分AC ,OD ∥BC , 于是2DE OEDC OB==. 因此 223DE CD AD CE AD ===,.由△AED ∽△CEB ,知DE EC AE BE ⋅=⋅.因为322BA AE BE BA ==,, 所以 32322BA AD AD BA ⋅=⋅,BA=22AD ,故AD CF BCBA =⋅=2=. 三、解答题11.解: 因为当13x -<<时,恒有0y <,所以23420m m ∆=+-+>()(),即210m +>(),所以1m ≠-. ………(5分) 当1x =-时,y ≤0;当3x =时,y ≤0,即2(1)(3)(1)2m m -++-++≤0,且 233(3)2m m ++++≤0,解得m ≤5-. ………(10分)设方程()()2320x m x m ++++=的两个实数根分别为12x x ,,由一元二次方程根与系数的关系得()121232x x m x x m +=-+=+,.因为1211910x x +<-,所以121239210x x m x x m ++=-<-+,解得12m <-,或2m >-.因此12m <-. …………(20分) 12. 证明:连接BD ,因为OB 为1O 的直径,所以90ODB ∠=︒.又因为DC DE =,所以△CBE 是等腰三角形.…………(5分)设BC 与1O 交于点M ,连接OM ,则90OMB ∠=︒.又因为OC OB =,所以22BOC DOM DBC ∠=∠=∠12DBF DO F =∠=∠.…………(15分)又因为1BOC DO F ∠∠,分别是等腰△BOC ,等腰△1DO F 的顶角,所以△BOC ∽△1DO F . …………(20分)13.解:设a -b = m (m 是素数),ab = n 2(n 是正整数).因为 (a+b)2-4ab = (a -b)2, 所以 (2a -m)2-4n 2= m 2,(2a -m+2n)(2a -m -2n) = m 2. ………(5分)因为2a -m+2n 与2a -m -2n 都是正整数,且2a -m+2n >2a -m -2n (m 为素数),所以 2a -m+2n =m 2,2a -m -2n =1.(第12题)解得 a =2(1)4m +,n =214m -.于是 b = a -m =214m -(). …………(10分)又a ≥2012,即2(1)4m +≥2012.又因为m 是素数,解得m ≥89. 此时,a ≥41)(892+=2025.当2025a =时,89m =,1936b =,1980n =.因此,a 的最小值为2025. …………(20分)14.解:由于122012x x x ,, ,都是正整数,且122012x x x <<<,所以1x ≥1,2x ≥2,…,2012x ≥2012.于是 122012122012n x x x =+++≤1220122012122012+++=.…………(10分)当1n =时,令12201220122201220122012x x x ==⨯=⨯,, ,,则1220121220121x x x +++=.…………(15分) 当1n k =+时,其中1≤k ≤2011,令 1212k x x x k ===,, ,,122012(2012)(1)(2012)(2)(2012)2012k k x k k x k k x k ++=-+=-+=-⨯,,,则1220121220121(2012)2012k k x x x k +++=+-⋅-1k n =+=.综上,满足条件的所有正整数n 为122012, , , . …………(20分)。

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