=
1 μx
;V
= μx1
I
(x1, x2
)
=
Γ1
1 μx1 dx1
−
Γ2
1 μx1 dx1
= τ1
−τ2
=
Σ
−
∂ ∂x2
(
1 μx1
)dx1dx2
=
Σ
−∂ ∂S
∴τ1 −τ 2 =
Σ
1 ∂μ x1μ 2 ( ∂S )dx1dS
0
{
μ
1 (S)
x1
}dx1dS
目标函数：在指定最终生物量条件下，发酵时间最短
过程模型和模型参数
μ(P) = μm exp(−aP + b) v(P) = αμ(P) + β μm = 0.61h−1;α = 4.23; β = 0.08 if P < 22g / L, a = 0.0465;b = 0.0028 if P ≥ 22g / L, a = 0.202;b = 3.110
格林(Green)定理在乳酸菌培养最优化控制中的应用
优化控制的实际结果
不同总基质使用量下，优化控制和定值控制 性能（乳酸菌生产效率）的比较结果
K.Shimizu et al., Biotechol.Prog., 10, 258, 1994
遗传算法的操作和使用
1）在时间域上，将诱导开始到培养结束的时间分成N等份，并假定每一时间间隔的温 度和pH为定值。
求解，计算出最终时刻（指定）遗传产物的浓度（即活性），再按下式计算各染色体的
适合度(Fitness) 。这里 P*i(τ)为最终产物的
浓度的期望值，一般选P*i(τ)> Pi(τ)。
fi = 1− ABS[Pi*(τ ) − Pi (τ )] / Pi*(τ )
分批培养和定值乳酸浓度控制条件下的乳酸菌培养性能
2）初代染色体（基因）的生成 由计算机随机地产生如下由2进文字序列构成的初代染色体种群M个。
3）操作参数遗传基因化 T1 pH1 T2 pH2 … … Ti pHi … … TN
染色体共M个
00101101
0110
各段基因
4）遗传基因序列的解码化
= 1× 20 + 0× 21 +1× 22 +1× 23 45 + 0× 24 +1× 25 + 0× 26 + 0× 27
x20 发I 酵起始点P
菌体总量
沿CF轨道进行间歇发酵，直到终点。
x10
x1f
x1
最大原理简要介绍
非线性状态方程式 目标函数
Hamilton函数
dx = f (x,u,t), dt
x = (x1, x2 ,...xn )T , f = ( f1, f2 ,... fn )T
(1)
τ
J = φ (x(τ ),τ ) + ∫ g(x,u,t)dt ⇒ Maximum J (2)
发酵过程的最优化控制
1）最优化控制的研究内容 对某一动力学特性可以用数学模型（常微分方程组）进行描述的系统，求解其最优的控 制轨道，使得预设的发酵过程目标函数达到最大（最小）。
2）最优的控制（时间）轨道 一般来说，是诸如温度，pH，基质流加速度，发酵罐搅拌速度等的时变函数的集合。
3）求解最优化控制轨道的主要方法 A）最大原理；B）格林(Green)定理；C）遗传算法； D）在线最优化控制
⎧ ⎪
Fmax
⎪
F
(t
)
=
⎪ ⎨
Fs
⎪
典型的最优流加方式
⎪ ⎪⎩
Fmin
和切换时间
∂H = λT B(x) > 0 ∂F
∂H = λT B(x) = 0 ∂F
Singular Control Fmin ≤ F (t) ≤ Fmax
∂H = λT B(x) < 0
∂F
由菌体和产物生长有无受到底物的抑制，发酵
4）最优化控制的适用条件和主要特征 1）控制方式属于前馈型控制（3-D除外）；2）必须要有记述动力学特征的数学模型， 且该模型必须足够地准确 ；3）最优解不是一个值，而是操作变量随时间变化的函数。
5）目标函数的设定 J = Φ[x(τ), τ] + ∫g(x,u,t)dt
目的产物
目的产物
流加发酵
X(t0),t0
数学模型
∫ • ∫ x = f (T , P)
=
⎧• ⎪⎪ X
=
μ(T , P) X
=
t
k1(T ) exp(−k2 (T )
Pndt) X
= f1
⎪⎨P• ⎪⎩
= [αμ(T , P) +
β (T , P)]X
0 t
= [αk1(T ) exp(−k2 (T )
0
Pndt) +
β (T , P)]X
X (τ )
X (τ )
∫ ∫ ∴minτ = φ *(P, X )dX = {φ (P, X ) + λη *(P, X )}dX D(t)
X (0)
X (0)
Solution ϖ *( X , P) = − ∂φ − λ ∂η * ∂P ∂P
ϖ *( X , P) = 0 & dϖ *( X , P) = 0 dt
Σ
1 x1μ 2
( ∂μ ∂S
)dx1dS
if
μ = μmS KS + S
then
(∂μ ) = ∂S
μmKS (KS + S)2
>0
∴τ 2 < τ1
发酵终点
x2f
τ2
F
Q
Σ
Γ
x20 I
P τ1
发酵起始点
if
μ=
μmS KS + S + S2 / KI
底物抑制型比增殖速度模型
(∂μ ) ∂S
=
μm (KS (KS + S
最小时间的条件
Lagrange伴随变数，表示 总抽取量的“重量系数”， λ越大，总抽取量越小。
D(t) = (− f +νX ) P
最优化解
where ν = αμ + β (Ludeking − Piret Model)
f
=
− λXμ(μν + βPμ') 2Pμ'+P2μ''+λX (2νμ'+βPμ'')
目标函数
τ
Objective τ =
∫ ∫ 0
∫∫ ∫∫ μ = μmS or KS + S
∫∫ Let x1 = x1; S =
Let x1 ≡ XV
⇒ dx1 dt
dt = x1(τ ) dx1 ⇒ min μx x1 (0) 1
μ=
μmS
KS + S + S2 / K
x2; U (x1,
x2 )
利用最大原理确定流加培养（发酵）中底物的最优流加方式
•
状态方程式 x = f (x, F,t) = A(x) + B(x)F
J = φ{xi (τ )} 目标函数
Hamilton函数 H = λT f (x, F,t) = λT [ A(x) + B(x)F ]
∂H = λT B(x) ∂F
最优流加轨道
初始和终端条件等来确定流加方式和切换时间。
Fmax
Fmax
Fs Fmin
t1
Fmin
t2
tf
Fs
Fmin
Fmin
t1
tf
t1
t2
tf
格林(Green)定理在乳酸菌培养最优化控制中的应用
原料
F
X：菌浓 P：乳酸浓度 S：基质浓度
发酵罐 V
F,乳酸
膜 式
D=F/V
过
滤
器
储存罐
格林定理
∫{U (x1, x2 )dx1 + V (x1, x2 )dx2}
Q
Σ
Γ
∫ ∫ = Udx1 +Vdx2 − Udx1 +Vdx2
x20
∫∫ I
P Γ1
发酵起始点
Γ，逆时针方向 Γ1
Γ2
=
Σ
∂V ( ∂x1
−
∂U ∂x2
)dx1dx2
x10
x1f
x1
在（流加）过程优化中的应用
X:菌体浓度；S:基质浓度；V:反应体积； μ:比增殖速度
d ( XV ) = μXV
∫ ∫ dt
6 = 0 × 20 +1× 21 +1× 22 + 0 × 23
T的最小值
T的最大值
= 30.0 + (42.0 − 30.0) • 45 = 32.1°C 28
= 5.8 + (7.0 − 5.8) • 6 = 6.25 pH 24
5)各染色体的适合度：将解码化后的各段T和pH的数值，以及初始条件代入状态方程式
⎫
⎪⎪ ⎬
=
f
2
⎪ ⎪⎭
t
∫ β (T , P) = k3(T ) exp(−k4 (T ) Pndt) 0
ki
=
ki (T )
= Ai exp[−
Ei
]
R(273 + T )
(i = 1,4)
利用格林(Green)定理来确定发酵过程的最小时间轨道问题
x2
发酵终点
x2f
Γ2
F
∫{U (x1, x2 )dx1 + V (x1, x2 )dx2}