r0 x(t)
x(0) x0
(3.2)
就是描述人口随时间变化的带初始条件的微
分方程。
建模过程中你可能注意到，人口是离散的
变量，而求导或微分只能对连续的量使用。那
么这种情况下可不可以用求导或微分这种数
学工具呢？当研究对象是一个很大的群体，如
考察一个国家或一个地区的人口数量，个体的
微小变化对总体的影响很小可以忽略时，可视
量应与当时的人口 x(t) 成比例，不妨设比例系数 为r0 ，即t 内人口的增量可写为
x(t t) x(t) r0x(t)t
等式两边同除以t ，当t 0时
lim
t 0
x(t
t) t
x(t)
r0 x(t )
等号的左边即是导数d x dt ，已知初始时刻人口数
量为 x0，则
A
7
d x d t
人口的增长也是因为有人口的基数和 一定的增长率(人口出生率减去死亡率)，设某
一年的人口为 x0 ，年增长率为 r0 ，可以认为今
后k 年内的人口数为
x x0(1 r0 )k
(3.1)
这里实际暗含着年增长率不变的假设。
A
6
一、指数增长模型(Malthus模型)
设t 时刻的人口为x(t) ，经过一段短的时间t 后，在t t 时刻，人口数量变化为x(t t) 。由基本 假设，在这段短的时间t 内，人口数量的增加
该群体为连续量，并认为其导数存在，这样就
可以使用微积分这一A数学工具。
8
这种为了使用数学工具的需要而对离散量进 行连续化处理的方法，在建模中经常使用，如 将道路中运动的车辆群视为连续的“流体”， 动物种群和生产产品当达到一定数量都可以 看作是连续的变量。有时建模中也会作相反的 处理，比如求微分方程近似解时，把连续量进 行离散化，通过数值格式迭代求出数值解。因 此在一定条件下，连续和离散是相对的，可以 转换的，当然这种连续化或离散化的处理必须 是合理和适当的。
A
11
二、阻滞增长模型(Logistic模型、Verhulst模型)
Malthus 模型在 1840 年由人口统计学家 Verhulst 修正。他提出的假设包括：
1、由于自然资源(自然资源条件和环境条 件)的约束，人口存在一个最大容量xm 。
2、增长率不是常数，随人口增加而减少。 它具有以下性质：当人口数量x(t) 很小且远小于 xm 时，人口以固定增长率r0 增加；当x(t) 接近xm 时， 增长率为零。r0 和xm 可由统计数据确定。满足上 述性质的增长率可以写作
第二部分 微分方程与差分方程方法
第二章 微分方程方法
A
1
动态模型一般具有两个特点：一、方程与 时间相关，即自变量中含有时间；二、方程中 出现导数或微分。在处理实际问题时，有时很 难找出变量之间的直接函数关系，却容易找到 这些变量和它们的微小增量或变化率之间的 关系式(有时人们特别关心这些变量的增加幅 度和变化快慢)，这种关系式中通常含有导数 uiiuiui xm 2
x0 xm x
xm
t
图 3-1 人口增长率和人口数量曲线
A
14
阻滞增长模型与美国人口统计数据从 1800 年到 1960 年都吻合较好，1960 年后，误 差变大。这时因为到 1960 年美国的实际人口 已经突破了用过去数据确定的最大人口容量。 人口容量不易准确得到是阻滞增长模型的不 足之处，实际上人口容量也是随人们对自然资 源的开发水平不断提高而改变的。更复杂的人 口模型需考虑随时间和人口变化的人口增长 率、同样随时间改变的人口容量以及与育龄妇 女和人口年龄分布有关的人口基数，此外还需 考虑天灾、战争等随机性因素对人口的影响。
A
12
r(x)
r0
(1
x xm
)
(3.4)
这样 Malthus 模型公式(3.2)变为
d x d t
r0
x (1
x xm
)
x(0) x0
(3.5)
称为阻滞增长模型或 Logistic 模型。由分离
变量法，解得
x(t)
xm
1 ( xm 1) e r0 t
x0
(3.6)
A
13
人口增长率随人口数量变化曲线以及人口数量 随时间变化曲线如下
5．解的讨论。所得的方程的解是否有意义？是否 反映了原问题的实质？模型是否可以深化和改进？ 这些问题可以通过解的讨论加以回答。
A
5
第一节 人口增长模型
人口的增长是人们普遍关注的问题。使用了 不同的人口模型计算所得到的同一时间人口 的预报在数字上有较大的差别。那么人口是如 何预报的呢？先看一种简单的计算方法。
A
3
律可用“微元分析法”进行分析，选取研究对 象后，研究对象在一定时间内量的变化一般遵 循广义物质守恒律，即
净变化率＝输入率－输出率 物质不会自动产生，也不会自动消失。通过对 时间取极限可以得到微分方程。
3．列出方程和定解条件(初始条件和边界条 件)。
A
4
4．解方程。可以找到精确解的微分方程只是极少 数，多数情况下需要进行数值分析或找到数值解， 对于自治的常微分方程(组)，可以运用稳定性分析 方法，转换到相平面去分析解的性态。
A
9
人口的马尔萨斯模型用分离变量法很容易求
解，得
x(t) x0 er0t
(3.3)
从(3.3)可以立即看出人口随时间呈指数增长，因
此模型(3.2)称为指数增长模型。不妨将它应用到
我国人口的预测上
亿 x 11.6 e0.014810 13.45
与前面的结果 13.44 亿非常相近。
A
10
对马尔萨斯人口模型的解作进一步分析， 当t 时，x(t) ，表明人口将无限增长。马尔萨 斯人口论的核心内容是：人口按几何级数增 长，而生活资料则按算术级数增长，两者的矛 盾必会给人类社会进步造成障碍。马尔萨斯并 不认为: 解决人口过剩和生活资料匮乏两者 之间的矛盾，只有通过失业、饥饿、犯罪甚至 战争等方式来自发调节。使用消极手段来遏制 人口增长，这是人们对马尔萨斯人口论的一种 误解。“新马尔萨斯”主张通过自愿的家庭限 制，即节制生育的办法限制人口的过快增长。
A
2
建立微分方程模型时，会经常出现一些术 语，如“速率”、“增长率”、“单位时间内的变 化量”等，应与导数联系起来，再结合问题所 涉及的基本规律就很容易得到微分方程。一般 微分方程建模的基本步骤可以概括为：
1．根据实际要求确定要研究的量，如自 变量、未知函数、必要参数等，有时需要确定 坐标系。
2．找出这些量所满足的基本规律(几何 的、物理的、经济的规律等)。一时看不出规