或G( x, yx , yx−1 ,, yx−n ) = 0 (n 1)
方程中未知数下标的最大值与最小值的差 称为差分方程的阶.
差分方程的解
如果函数y = φ( x)代入差分方程后，方程两 边恒等，则称此函数为该差分方程的解.
差分方程的通解
含有相互独立的任意常数的个数与差分方程的 阶数相同的差分方程的解.
代入原方程, 得 P dP = f ( y, P ). dy
４.线性微分方程解的结构
（1） 二阶齐次方程解的结构:
形如 y + P( x) y + Q( x) y = 0
(1)
定理 1 如果函数 y1( x)与 y2 ( x)是方程(1)的两个
解,那末 y = C1 y1 + C2 y2也是(1)的解.（C1, C2 是常 数）
解法 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确 定其通解的方法称为特征方程法.
y + py + qy = 0
特征方程为 r 2 + pr + q = 0
特征根的情况
实根r1 r2 实根r1 = r2
复根r1,2 = i
通解的表达式
y = C1e r1 x + C2e r2 x y = (C1 + C2 x)e r2 x
当Q( x) 0,
上述方程称为非齐次的.
齐次方程的通解为 y = Ce− P( x)dx （用分离变量法）
非齐次微分方程的通解为
y = e− [ P( x)dx Q( x)e P( x)dxdx + C ] （用常数变易法）
3.可降阶的高阶微分方程的解法 (1) y(n) = f ( x) 型
(2) 0，1 设yx = x zx
( ) 代入方程得
z x+1 x+1
− a x zx
=
x
pn
x
Байду номын сангаас
消去 x，即得zx+1 − azx = pn (x) 类型1
于是yx = x zx .
f ( x) = b1 cosx + b2 sinx型
差分方程为
yx+1 − ayx = b1 cosx + b2 sinx
微分方程解题思路
一阶方程
作降 变阶 换
高阶方程
分离变量法 变量代换法 常数变易法 特征方程法
待定系数法
一、主要内容——差分方程
一阶方程
代入法 特征 根法
特征方程的根 及其对应项
待定系数法
基本概念
n阶常系数线性 方程
二阶方程
特征方程法
特征方程的根 及其对应项
待定系数法
f(x)的形式 及特解形式
线性方程 解的结构
(1) 当D = (cos − a)2 + sin2 0时
令y
x
=
B1
cosx
+
B2
sinx( B1 ,
B2为待定系数)，
函数y = f ( x)的二阶差分为函数y的一阶差分的 差分,即
Δ2 y x = Δ(Δ y x ) = Δ( y x+1 − y x ) = ( yx+2 − yx+1 ) − ( yx+1 − yx ) = yx+2 − 2 yx+1 + yx
同样可定义三阶、四阶差分： 3 yx = (2 yx ), 4 yx = (3 yx )
形如 g( y)dy = f ( x)dx
解法 g( y)dy = f ( x)dx
分离变量法
(2) 齐次方程 形如 dy = f ( y ) dx x
解法 作变量代换 u = y x
(3) 一阶线性微分方程
形如 dy + P( x) y = Q( x)
dx
当Q( x) 0,
上述方程称为齐次的．
( ) 令yx = xQn( x) = x b0 xn + b1 xn−1 + + bn
综上讨论 设 yx = xkQn ( x)，
0 1不是特征方程的根
k
=
1 1是特征方程的根
f ( x) = x pn (x)型
( ) 方程 2 为 ( ) yx+1 − ayx = x pn x
(1) = 0，1 类型1
2 是重根
(2) f ( x) = ex[Pl ( x)cosx + Pn( x)sinx] 型
设
y
=
x
k
e
x
[
R(1) m
(
x)
cosx
+
R(2) m
(
x)
sin
x],
其中
R(1) m
(
x),
R(2) m
(
x)是m次多项式，m
=
maxl
,
n
k
=
0 1
i不是特征方程的根时; i是特征方程的单根时.
一阶常系数非齐次线性差分方程的通解由两项 的和组成： 一项是该方程的一个特解y x ， 另一项是对应的齐次差分方程的通解Yx .
即差分方程（2）的通解为yx = Yx + yx .
f ( x) = pn (x)型
方程(2)为 yx+1 − ayx = pn (x ) 即yx + (1 − a) yx = pn (x)
设yx是它的解，代入上式得
yx + (1 − a)yx = pn (x)
由于pn (x)是多项式，因此yx也应该是多项式， 且yx是n次多项式，yx是(n − 1)次多项式.
(1) 1不是特征方程的根，即1 − a 0
令yx = Qn ( x) = b0 xn + b1 xn−1 + + bn
(2) 1是特征方程的根，即1 − a = 0
的特解,
那么
y* 1
+
y* 2
就是原方程的特解.
9.一阶常系数齐次线性差分方程的求解
迭代法
yx+1 − ayx = 0(a 0为常数)
(1)
设y0为已知，由方程（1）依次可得，
y1 = ay0
y2 = ay1 = a2 y0
y3 = ay2 = a3 y0
yx = ayx−1 = a x y0
高阶差分：二阶及二阶以上的差分.
差分方程与差分方程的阶
定义1
含有未知函数的差分Δ y x ,Δ2 y x ,的函数方程 称为差分方程.
形式：F( x, yx , yx , 2 yx ,, n yx ) = 0
定义2
含有未知函数两个或两个以上时期的符号 y x , y x+1 ,的方程，称为差分方程. 形式：F ( x, yx , yx+1 ,, yx+n ) = 0
通解 如果微分方程的解中含有独立的任意常数， 并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这 样的解叫做微分方程的通解．
特解 确定了通解中的任意常数以后得到的解， 叫做微分方程的特解．
初始条件 用来确定任意常数的条件.
初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题， 叫初值问题．
2.一阶微分方程的解法
(1) 可分离变量的微分方程
解法 接连积分n次，得通解．
(2) y = f ( x, y) 型
特点 不显含未知函数 y. 解法 令 y = P( x), y = P, 代入原方程, 得 P = f ( x, P( x)).
(3) y = f ( y, y) 型
特点 不显含自变量 x.
解法 令 y = P( x), y = P dP , dy
y + P( x) y + Q( x) y = f2 ( x)
的特解,
那么 y1* +
y
* 2
就是原方程的特解.
５.二阶常系数齐次线性方程解法
形如 y(n) + P1 y(n−1) + + Pn−1 y + Pn y = f ( x)
n阶常系数线性微分方程
y + py + qy = 0 二阶常系数齐次线性方程 y + py + qy = f ( x) 二阶常系数非齐次线性方程
初始条件
为了反映某一事物在变化过程中的客观规律 性，往往根据事物在初始时刻所处状态，对 差分方程所附加的条件.
差分方程的特解
通解中任意常数被初始条件确定后的解.
8.常系数线性差分方程解的结构
n阶常系数齐次线性差分方程的标准形式
yx+n + a1 yx+n−1 + + an−1 yx+1 + an yx = 0
(1)
n阶常系数非齐次线性差分方程的标准形式
( ) yx+n + a1 yx+n−1 + + an−1 yx+1 + an yx = f x (2)
f (x) 0
注：(1)为(2)所对应的n阶常系数齐次线性差分方程.
n阶常系数齐次线性差分方程解的结构
yx+n + a1 yx+n−1 + + an−1 yx+1 + an yx = 0 (1)
定理 2：如果 y1( x)与 y2 ( x) 是方程(1)的两个线性
无关的特解, 那么 y = C1 y1 + C2 y2就是方程(1)的通 解.
（2）二阶非齐次线性方程解的结构:
形如 y + P( x) y + Q( x) y = f ( x)
(2)
定理 3 设y* 是(2) 的一个特解, Y 是与(2)对应