ds s(t ) pA(t )(1 ) s(t ) dt M
(3.11)
等式右端的第一项反映广告投入对销售速度
s(t ) (1 ) 相当于一个开关函数， 的影响， 显然当 A(t) 0 M
或 s M 时，都有
ds s (t ) dt
(3.12)
第二项表明销售速度自然衰减的特性。 为确定 A(t) 的形式，假设选择如下广告策略 0 t A A(t ) (3.13) t 0 即在时间 内平均投入常数 A 的资金来作广告， 在此条件下求解(3.11)式。
x(t t ) x(t ) kx(t )t
两边除以 t ，令 t 0 ，有
x ( t t ) x ( t ) kx (t ) t 0 t lim
即 x(t) 满足微分方程
dx kx (t ) dt
(3.7)
其解为
x(t ) C ekt
若已知 t 0 时，x(0) x ，则满足初值条件的解为 x (t ) x e (3.8)
0.014810
对马尔萨斯人口模型的解作进一步分析， 当 t 时，x(t) ，表明人口将无限增长。马尔萨 斯人口论的核心内容是：人口按几何级数增 长，而生活资料则按算术级数增长，两者的矛 盾必会给人类社会进步造成障碍。马尔萨斯并 不认为 : 解决人口过剩和生活资料匮乏两者 之间的矛盾，只有通过失业、饥饿、犯罪甚至 战争等方式来自发调节。使用消极手段来遏制 人口增长，这是人们对马尔萨斯人口论的一种 误解。 “新马尔萨斯”主张通过自愿的家庭限 制，即节制生育的办法限制人口的过快增长。
这种为了使用数学工具的需要而对离散量进 行连续化处理的方法，在建模中经常使用，如 将道路中运动的车辆群视为连续的“流体” ， 动物种群和生产产品当达到一定数量都可以 看作是连续的变量。有时建模中也会作相反的 处理，比如求微分方程近似解时，把连续量进 行离散化，通过数值格式迭代求出数值解。因 此在一定条件下，连续和离散是相对的，可以 转换的，当然这种连续化或离散化的处理必须 是合理和适当的。
C1
为积分常数。
若初始时刻销售速度 s(0) s ，则
0
s (t )
c (1 e bt ) s0 e bt b
0 t
(3.15)
当 t 时，根据(3.13)式， A 0 ， 则(3.11)式 退化为
ds s (t ) dt
其解为 (3.16) 综合(3.15)、(3.16)，式(3.13)条件下产品销 售速度广告模型的解可写为：
建立微分方程模型时，会经常出现一些术 语，如“速率” 、 “增长率” 、 “单位时间内的变 化量”等，应与导数联系起来，再结合问题所 涉及的基本规律就很容易得到微分方程。一般 微分方程建模的基本步骤可以概括为： 1 ．根据实际要求确定要研究的量，如自 变量、未知函数、必要参数等，有时需要确定 坐标系。 2 ．找出这些量所满足的基本规律 ( 几何 的、物理的、经济的规律等)。一时看不出规
s(t ) s( ) e ( t ) t
c (1 e bt ) s0 e bt b s(t ) ( t ) s( ) e 0 t t
(3.17)
第三节
经济增长模型
一、道格拉斯（Douglas）生产函数
m
1 (
m
x0
1) e r0 t
人口增长率随人口数量变化曲线以及人口数量 随时间变化曲线如下
dx d t uiiuiui
x0
xm 2
xm
x
xm
x
t
图 3-1 人口增长率和人口数量曲线
阻滞增长模型与美国人口统计数据从 1800 年到 1960 年都吻合较好，1960 年后，误 差变大。这时因为到 1960 年美国的实际人口 已经突破了用过去数据确定的最大人口容量。 人口容量不易准确得到是阻滞增长模型的不 足之处，实际上人口容量也是随人们对自然资 源的开发水平不断提高而改变的。更复杂的人 口模型需考虑随时间和人口变化的人口增长 率、同样随时间改变的人口容量以及与育龄妇 女和人口年龄分布有关的人口基数，此外还需 考虑天灾、战争等随机性因素对人口的影响。
（ 1 ）不考虑广告作用时，销售速度具有 自然衰减的性质，即产品销售速度随着时间而 减少，满足这一性质的销售速度有
ds s (t ) dt
为比例系数或称衰减因子。 （ 2 ）产品的销售速度会因广告而增加， 但增加是有一定限度的，当产品在市场上趋于 饱和时，销售速度将趋于极限值，这时无论采 取那种形式作广告(不包括其它的促销手段)， 都不能使销售速度增加。
0
3、 在(3.8)式中， 若令 t ， 则得出 x(t) ， 这与事实不符。实际上 x(t ) 是有上界的，因为一 般而言每户只需购买 1～2 只电饭煲就够了。 因此需要修改模型。 设需求量有一个上界，记作 K ，它的意义是 产品的市场容量。与人口的阻滞增长模型类 似，构造一个新的与产品销量有关的增长率。 实际上统计学家发现，若 t 时刻电饭煲销量为 x(t ) ，则尚未使用的人数大致为 K x (t ) ，可以认为
第二节
新产品的推销与广告
一、新产品推销模型
第二次世界大战后，日本的家电业迅速崛 起，下面首先考察日本家用电器业界建立的电 饭煲销售模型。 记时刻 t 时已售出的电饭煲总数 为 x(t ) 。由于使用方便，已在使用的电饭煲实际 上在起着宣传品的作用，吸引着尚未购买的顾 客。可粗略地假设每一个电饭煲在单位时间内 平均吸引 k 个顾客，那么在 t t 时刻电饭煲销售 的增量为
第一节 人口增长模型
人口的增长是人们普遍关注的问题。使用了 不同的人口模型计算所得到的同一时间人口 的预报在数字上有较大的差别。那么人口是如 何预报的呢？先看一种简单的计算方法。 人口的增长也是因为有人口的基数和 一定的增长率(人口出生率减去死亡率)，设某 一年的人口为 x0 ，年增长率为 r0 ，可以认为今 后 k 年内的人口数为 (3.1) 这里实际暗含着年增长率不变的假设。
(3.2)
就是描述人口随时间变化的带初始条件的微 分方程。 建模过程中你可能注意到，人口是离散的 变量，而求导或微分只能对连续的量使用。那 么这种情况下可不可以用求导或微分这种数 学工具呢？当研究对象是一个很大的群体，如 考察一个国家或一个地区的人口数量，个体的 微小变化对总体的影响很小可以忽略时，可视 该群体为连续量，并认为其导数存在，这样就 可以使用微积分这一数学工具。
第二部分 微分方程与差分方程方法
第二章 微分方程方法
动态模型一般具有两个特点：一、方程与 时间相关，即自变量中含有时间；二、方程中 出现导数或微分。在处理实际问题时，有时很 难找出变量之间的直接函数关系，却容易找到 这些变量和它们的微小增量或变化率之间的 关系式(有时人们特别关心这些变量的增加幅 度和变化快慢 )，这种关系式中通常含有导数 或微分，故称微分方程模型。
x x0 (1 r0 ) k
一、指数增长模型(Malthus模型)
设 t 时刻的人口为 x(t) ，经过一段短的时间 t 后，在 t t 时刻，人口数量变化为 x(t t) 。由基本 假设，在这段短的时间 t 内，人口数量的增加 量应与当时的人口 x(t) 成比例，不妨设比例系数 为 r ，即 t 内人口的增量可写为
律可用“微元分析法”进行分析，选取研究对 象后，研究对象在一定时间内量的变化一般遵 循广义物质守恒律，即 净变化率＝输入率－输出率 物质不会自动产生，也不会自动消失。通过对 时间取极限可以得到微分方程。 3．列出方程和定解条件(初始条件和边界条 件)。
4．解方程。可以找到精确解的微分方程只是极少 数，多数情况下需要进行数值分析或找到数值解， 对于自治的常微分方程 (组) ，可以运用稳定性分析 方法，转换到相平面去分析解的性态。 5．解的讨论。所得的方程的解是否有意义？是否 反映了原问题的实质？模型是否可以深化和改进？ 这些问题可以通过解的讨论加以回答。
dx x (t )[ K x (t )] dt
记比例系数为 k ，则 x(t ) 满足
dx kx (t )[ K x (t )] dt
(3.9)
分离变量并积分之，可解得
K x (t ) 1 C e Kkt x ( 0) x 0
(3.10)
0
x(t t ) x(t ) r0 x(t )t
等式两边同除以 t ，当 t 0 时
x (t t ) x (t ) r0 x (t ) t 0 t lim
等号的左边即是导数 d x d t ， 已知初始时刻人口数 量为 x ，则
0
d x r0 x (t ) dt x ( 0) x 0作一些 分析： 1、 若取 t 0 时为新产品诞生的时刻， 则 x(0) 0 ， 于是(3.8)式推出 x(t ) 0 。 这一结果显然与事实不 符，这是因为模型只考虑了实物广告的作用， 忽略了厂方可以通过其他方式宣传新产品从 而打开销路。 2、 2 、若通过努力已有 x 数量的产品投入使 用，则调查情况表明实际销售量在开始阶段的 增长情况与(3.8)式十分相符。
其中 C 是由初始条件确定的积分常数。
二、广告模型
信息社会使广告成为调整商品销售的强 有力手段，广告与销售之间有什么内在联系？ 如何评价不同时期的广告效果？下面研究一 个广告模型。 首先认为广告对产品的销售速度有直接 的促进作用，以销售速度为研究对象，设 s(t ) 为t 时刻的产品销售速度，并作以下假设：
m m 0 m 0 m
r( x ) r0 (1
x ) xm
(3.4)
这样 Malthus 模型公式(3.2)变为
x d x r0 x (1 ) xm dt x(0) x0