若R是交换环，I是R的非空子集，如满足 1． a、b I， a－b I。 2． a I、r R， a r = r a I， 则I是R的理想子环，简称理想
若理想子环的所有元素可由一个元素a的各
次幂或各次幂的线性组合生成，则称该理想子环 主理想子环，简称主理想
10
域（Field)
一个集合，二种运算
一般m 素数q
可能是零因子环 整环
子环（ subring ）
理想子环（强收敛性）
主理想（所有元素是一个元
素幂的线性组合）
9
若集合S是集合R的子集（S R）， 判断(S ,+, ·)是(R ,+, ·) 子环的充要条件是 1． a、b S， a－b S。 2． a、b S， a b S。 上述条件1强调了子环中加法逆元的存在和封闭 性，条件2强调了乘法封闭性。 理想子环的充要条件是：
作为其根。换言之，若deg
i
(x)
=
(x-
20)
(x-
21)
(x-
(i (x))=
22 )…(x-
li，必有
) 2( li1 )
这里，deg(i (x) )= li m，本原元的共轭根系对
(2-4)
这里，
GCD表示最大公约数(Greatest Common Divisor)
推理
循环群中n阶元素的n次幂恒等于1
23
各次幂 k
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
的 多项式
多项式系数 m重
1
(0001)
(0010)
2
(0100)
3
(1000)
+1
(0011)
本原多项式 Primary Polynomials
对于有限域GF(q)上的m次既约多项式P(x)，若能 被它整除的最简首一多项式(x n -1)的次数n qm
–1, 则称该多项式为本原多项式。 本原多项式一定既约；
反之，既约多项式未必本原。
多项式循环群 Cycle Group
由多项式的各次幂所构成的群称为多项式循环群
循环群的构成步骤是： ① 找一个 m 次本原多项式 P(x)
② 取其根及根的各次幂0、…、 qm 2
③ 构成循环群
22
定理2.4 各元素的阶
GF(q m)扩域上非零元素{k} (k=0,1,…, q m-2) 的阶一定是(q m-1)的因子，其值为：
n = (q m-1)/GCD(k, q m-1)
4
例2.3 集合G = {0,1,2 … m-1}在模m加（用符 号表示）运算下构成一个群（G，）。
该加群是m阶有限群，单位元是0。元素0的 逆元是0，1的逆元是m-1, 2的逆元是m-2,…。
例2.4：集合G = {1,2 … q-1}在模q乘（q是素 数）运算下构成一个乘群（G，）。
为什么有限加群对模数m无要求， 而有限乘群要求模数q必须为素数？
(2-5)
25
定理2.6 幂和特性
扩 域GF(qm)上元素和的 ql幂次等于元素 ql 幂次的和
k
ql
i
k
( i )ql
(2-6)
i1
i 1
式中i是GF(qm)域元素。
26
定理2.7 共轭根系
如果是GF (q)上p次多项式f(x)的根，那么的ql
(l=1,2…lj
、 q1、
< p) 次幂也一定是f(x)的根。
一定是既约的。
27
定理2.8 最小多项式因式分解
GF(q)上多项式 ( xqm 1 1) 一定可以分解成
若干最小多项式之积,即
( xqm 1 1) = 1(x) 1(x)… k (x)
k
= i( x )
i 1
(2-8)
28
共轭元与最小多项式关系
li次最小多项式i (x)必然有同一根系的li个共轭元
20
我们看到：
以GF（q）上的多项式f(x)为模的乘运算可 生成剩余类环；以既约多项式PI（x）为模 的乘运算可生成多项式域；而以本原多项式 (x)为模的乘运算所生成的非零域元素可以构 成多项式循环群。可见，模多项式的限制条 件越多，环元素具备的性质也就越多。
21
定理2.3 如何找循环群
GF(2）上本原多项式 P(x）在扩域 GF(2m)上的根一定是本原元。
0,
1,
x,
x+1
2个GF(2)元素的组合：
00， 01，
10，
11
19
定理2.2 循环群的存在性
若P(x)是GF(q)上m次本原多项式，则GF(q m) 域上次数小于m的非零多项式的全体（共q m1个），在模P(x)乘运算下构成一个多项式循 环群。也就是说，扩域GF(qm)里至少存在一 个本原元（代表一个次数小于m的多项式 ），它的各次幂0、1、2、…、构成了扩 域GF(q m)的全部非零域元素。
近世代数简介
群(group): 一个集合，一种运算
满足 G1:封闭性 G2:结合性 G3:单位元存在 G4:逆元存在
交换群 G5:交换性
1
加群一定是交换群，加群一定含零元素
乘群不一定是交换群，乘群一定不含零元素
包含无数个元素的群称为无限群。
包含有限个元素的群称为有限群，有限群元 素的个数称为该群的阶。
q、2
q…3 都是多项式
(
x qm
1
1
)
的根，称
为共轭元，这些共轭元具有相同的基底，构成一个
共轭根系。共轭根系至多包含m个共轭元，以共轭
根系为根的多项式的最高次数不会超过m次。
一个多项式的根可以来自多个根系。如果一个首一
多项式的所有根来自同一个 根系，我们称这样的 多项式为 的最小多项式，最小多项式在GF (q)中
解：多项式系数取自GF(2)={0,1},系数作模2加、模2乘。 第一步是先做一般的多项式乘法运算如下
A(x) B(x) = (x2+x+1) (x2+ 1) = x4+ x3+ x2+ x2+ x+1
= x4+ x3 + x+1 第二步是将结果除以f(x)后
取余式
得（见右边竖式）
x + 1商 x3+x+1 x4+ x3 + 0 + x +1
二元域上的多项式，在模2加、模x2+x+1乘运算
下构成一个多项式扩域 GF(22) = {0, 1, x, x+1 },
该扩域的基域是GF(2) ={0,1}。
基域GF(q)是数域，由q个元素组成；
扩域GF(qm) 则是多项式域，由qm 个元素组成。
我们可以用m个基域元素去对应一个22）的元素：
称a、b为零因子。
有零因子时，乘法消除率不能成立，即 从a b = a c (mod m)不能推得b = c (mod m) ， 因为当 c =0时，前式成立而后式并不成立。带 来的后果是，方程a x = 0无唯一解，因为 x =0和x =b都是解。
8
有限环（Ring)
一个有限集合，模m加，模m乘
一个集合，二种运算
加法成“ 群”
乘法不成
“ 群”
G1:封闭性
G1:封闭性
G2:结合性
G2:结合性
G3:单位元存在 G3:单位元存在
G4:逆元存在
？
分配性
交换环
乘法交换率
7
由于环并不涉及乘法逆元的是否存 在，因此模m不是素数也能构成有限环。
但这是零因子环，乘法消除律不成立。
若 a是m的因子，a b= 0 ，而a0，b 0
x4 + x2 + x
A(x) B(x)] mod f (x) = x2+ x 本题f(x)是3次多项式deg [f(x)]=3, 因此环元素的幂次不会超过2， 环元素的通式可表示为
x3+ x2 + 0 +1
x3 + 0 + x +1 余式x2 + x
a2x2+ a1x+ a0 ，其中a2, a1, a0GF(2)={0,1}, 3系数最多可有8种组合，即该剩余类环至多有8个域元素
2
拉格朗日定理（Lagranges）: 有限群(G，*)的子群(S，*)的阶数一定是群 (G，*)阶数的因子。 若(A, * )，（B, * ）分别是群(G, * )的两个 子群， 则A、B的交集在同样运算下也构成 (G, * )的子群（A∩B，*）。 某一元素a（称作生成元a）的一切乘幂a0, a1, a2,…的全体组成一个群，称为循环群， 写作G ={ a0, a1, a2, …},其中a0= e是单位元。 若序列a0= e，a1, a2, …中没有两个元素是相 等的，称之为无限循环群。
2+
(0110)
3+ 2
(1100)
3++1
(1011)
2+1
(0101)
3+
(1010)
2+ +1
(0111)
3+ 2+ (1110)
3+ 2+ +1 (1111)
3+ 2+1 (1101)
3+1
(1001)
上表利用了关系式4 = +1和15 = 1
元素的阶
15 / GCD(k,15)
1
15
0 1 2 3 的阶 逆元 逆元
1111114 1
2124343 3
3134242 2
4141421 4
13