近世代数练习题一、填空题1、设集合A={1,2,3,⋯,m}，B={1,2,3,⋯,n}，是正整数n m ,，集合B A ⨯含有 个元素。

2、设集合{},,,A e f m n =，{}ργβα,,,=B ，则集合A 到B 之间可以建立 个映射。

3、设集合A 含有m 个元素，则A 上的变换共有 个4、n 次对称群n S 的阶是 。

5、在模5的剩余类加群的子集{}]1[=A 生成的子群是 。

6、设R 是模2n （N N n ,∈为自然数集）的剩余类环，[]x R 中的多项式2x 在R 里有个根。

7、由13=x 的三个根对于普通乘法构成的群里，阶数大于2的元的个数是 。

8、一个 环是域。

9、设μ一个环R 的一个不等于R 的理想，如果除了R 和μ以外，没有包含μ的理想，那么μ叫作一个 。

10、若域F 的一个扩域E 的每一个元都是F 上的一个代数元，那么E 叫做F 的 。

二、选择题1、设集合{}3,2,1=A ，则下列集合A 上的变换不是一一映射的是（ ）。

332211:→→→τA 133221:→→→ρB 233221:→→→δC132231:→→→σD2、下列说法错误的是（ ）域是除环A域是整环B 可交换除环是域C可交换整环是域D3、在一个有限群里，阶数大于2的元的个数一定是（ ）。

奇数A 偶数B 0C 整数D4、下列环中不是除环的是（ ）整数集A 有理数集B 实数集C 复数集D5、设有理数域Q 上的一元多项式环[]x Q ，理想()()()=+++11352x xx （ ）。

()1A()12+xB()135++x xC()2235+++x x xD6、对于实数的普通乘法，以下实数域R 的变换中同态满射的是( ）αασ→:A2:αατ→Bααρ-→:C ααδ→:D7、设22⨯R是数域R 上的一切22⨯矩阵构成的集合，它对于矩阵的加法和乘法做成一个环，则以下矩阵可作为环22⨯R的零因子的是（ ）。

⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000A⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001B ⎪⎪⎭⎫⎝⎛0111C ⎪⎪⎭⎫⎝⎛1101D 8、整数环Z 中，可逆元的个数是（ ）。

1A 2A 3C 4A9、剩余类加群Z 18的子群有( )。

个3A 个4B 个5C 个6D10、设有理数域Q 上的一元多项式环[]x Q ，理想()()()=+++11352x xx （ ）。

()1A()12+xB()135++x xC()2235+++x x xD三、计算题1、设集合{}1174,1，，=A ，{}642，，=B ，求A ⋃B ， A ⋂ B ,B A ⨯。

2、设集合{}864,2，，=A ，{}963，，=B ，求A ⋃B ， A ⋂ B ， B A ⨯。

3、试举出一个由正实数集+R 到实数集R 的一一映射。

4、设6元置换⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=254613654321;456132654321;245316654321 ρτπ (1)求1-π,τρ(2)求π, τ和ρ的循环置换表达式,并求||π, τ, ρ。

5、求出3次对称群3S 的所有子群。

6、求出剩余类加群8Z 的所有子群。

7、设{}Q Q b a b a R ,,2∈+=是有理数集，问R 对于普通加法和乘法能否构成一个域。

8、设{}Q Q b a bi a C ,,∈+=是有理数集， 1-=i ，问C 对于普通加法和乘法能否构成一个域。

9、设P 是模7的剩余类环，在[]x R 里计算乘积：[][][]()[][]()4536223+--+x xx x 。

10、在[]x Z 7中计算：[][][]()[][][]()32445322++++x x x x 四、证明题1、设ϕ是群G 与群G 的同态满射，则(1) 若G H ≤,那么 ()G H ≤ϕ； (2) 若G H ,那么()G H ϕ。

2、证明：任何一个群都同一个变换群同构。

3、设G 是群，G g g ∈∀21,，则21g g 与12g g 的阶相同。

4、设G 是群，证明：G 的指数为2的子群H 为正规子群。

参考答案一、填空题1、n m ⨯2、44 3、mm 4、n 5、{}]4[],3[],2[],1[],0[6、n7、28、交换除9、最大理想 10、代数扩域（或扩张）二、选择题1、C2、D3、B4、A5、A6、D7、B8、B9、D 10、A 三、计算题1、解： A ⋃B={}11,764,21，，，, A ⋂ B ={}4； =⨯B A ()()()()()()()()()()()(){}6,11,4,11,2,116,7,4,7,2,76,4,4,4,2,4,6,1,4,1,2,1，，2、解： A ⋃B ={2,3,4,6,8,9}，A ⋂ B ={6}BA ⨯()()()()()()()()()()()(){}9,8,6,8,3,89,6,6,6,3,6,9,4,6,4,3,4,9,2,6,2,3,2，= 3、解：x x R R ln :→→+σ是由正实数集+R 到实数集R 的一一映射。

因为：1）∈∀y x ,+R ，若y x ln ln =，则y x =，所以σ为单射；2）R z ∈∀，z e x =∃，使得：z e x z==ln ln ，所以σ为满射。

所以σ为一一映射。

4、解: 1) ； ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1453626543211π ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=452361654321254613654321456132654321 τρ 2) ()()()()()26316432154261 ； ； ===ρτπ[][]4623623=====ρτπ； ，； ， 5、解：3S 的所有子群：()()(){}11= ()()()(){}2,1,12,1= ()()()(){}3,1,13,1= ()()()(){}3,2,13,2= ()()()()(){}2,3,1,3,2,1,13,2,1=3S =()()()()()(){}2,3,1,3,2,1,3,2,3,1,2,1,16、解：8Z 的所有子群：[]()[]{}00=；[]()=1[]()=3[]()=5[]()=78Z ；[]()[]()[][][][]{}6,4,2,062==；[]()[][]{}4,04=。

7、解： R 对于普通加法封闭； 加法结合律显然成立；有零元：0； R b a ∈+∀2都有负元：R b a ∈--∀2∴R 对于普通加法作成加群。

又 R 对于普通乘法封闭；乘法结合律显然成立； 乘法对加法的分配律也成立；∴R 对于普通加法和乘法作成环又R 有非零元1； R 有单位元1 ()02≠+∀b a ∈R，都有其逆元：2222ba b a +-∈R∴R 对于普通加法和乘法作成域8、解： C 对于普通加法封闭；加法结合律显然成立； 有零元：0；C bi a ∈+∀都有负元：C bi a ∈--∀ ∴C 对于普通加法作成加群。

又 C 对于普通乘法封闭；乘法结合律显然成立；乘法对加法的分配律也成立； ∴C 对于普通加法和乘法作成环 又C 有非零元1； C 有单位元1()0≠+∀bi a ∈C ，都有其逆元：22b a bia +-∈C∴C 对于普通加法和乘法作成域9、解： [][][]()[][]()4536223+--+x xx x=[][][][][][][][][]12315246308210223345-+-+-++-x x x x x x x x =[][][][][][]122721382102345-+-+-x x x x x=[][][][][]56323345-++-x x x x 10、解：[][][]()[][][]()32445322++++x x x x=[][][][][][][][][]12x 8x 16x 15x 10x 20x 9x 6x 12223234++++++++ =[][][][][]12x 23x 35x 26x 12234++++ =[][][][]5x 2x 05x x 5234++++=[][][]5x 25x x 534+++四、证明题 1、证明：(1)()()}|{H g G g H ∈∈=ϕϕ，()H y x ϕ∈∀,　，H y x ∈∃,，使得：()()y y x x ϕϕ==, ,且由G H ≤，得：H x xy ∈-1,，则()()()xy y x y x ϕϕϕ==,()()111---==x x x ϕϕ所以()H xy x ϕ∈-1,，故 ()G H ≤ϕ。

(2) 由G H 和(1)得：()G H ≤ϕ，且()G g H x ∈∀∈∀,ϕ,G g H x ∈∃∈∃,，使得()()g g x x ϕϕ==,　，则 ()()()()111---==gxg g x g gx g ϕϕϕϕ，由G H 得：H gxg ∈-1，故 ()()H gxg gx g ϕϕ∈=--11，所以()G H ϕ。

2、 证明：设{} ,,,c b a G =是群，G x ∈∀，定义G 的一个变换：x g gx g x ττ=→:作集合{} ,,,c b a G τττ=，可定义G 到G 的满射：x x τφ→:又由消去律有：gy gx y x ≠⇒≠， ∴ y x y x ττ≠⇒≠∴φ为G 到G 的一一映射，且有()()===y gx xy g g xy τ=y g x τ()=yxg ττyx gττ即xyy x τττ=∴φ为G 到G 的同构映射，∴G 是一个群，且是一个变换群。

结论成立。

3、证明：若()()()()e g g g g g g g g nn==21212121即：()()e g g g g g g n =⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-2112121所以()()e g g g g g g n =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-1211212即：()e g g n=12所以12g g 的阶≤21g g 的阶 同理：21g g 的阶≤12g g 的阶所以12g g 的阶=21g g 的阶，即：21g g 与12g g 的阶相同4、证明： H 为G 的指数为2的子群，则G x ∈∀，当H ∈∀x 时，当然有H H H ==x x ，当H ∉∀x 时，则由于 ()2:=H G ，故Hx xH H H G ==，从而只有x x H H =，即H 为正规子群。