一一、选择题1.下列4个矩阵中是行最简形的矩阵有【 】101100101101(1)000(2)001(3)011(4)012010000000001--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦（A ）(1)、(2)；（B ）（2）、（3）； （C ）（3）、（4）；（D ）（2）、（3）、（4）. 2.设A 是m n ⨯矩阵，0Ax =是非齐次线性方程组Ax b =的导出方程组，则下列4个命题不正确的有【 】（1）若有唯一解，则仅有零解。
（2）若有非零解，则有无穷多解。
（3）若无解，则仅有零解。
（4）若有无穷多解，则有非零解； （A ）（1）、（3）； （B ）（1）、（4） ；（C ）（2）、（3） ；（D ）（2）、（4）. 3.设12121010,,,24000021B C P A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦=，则变A 为C 的初等变换过程2121121210(2)(2)240000r r c c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦可用矩阵乘法表示为【 】 （A ）PAP BP C == ; （B ）T T T P AP BP C == ; （C ）T T PAP BP C == ; （D ）T P AP BP C ==.4.设,,A B C 矩阵均为3阶可逆矩阵，则下列6个等式中成立的有【 】111(1)()();(2)()(3)()T T TAB C A BC AB A B AB B A ---===(4)(5)(6)(2)2T A AAB A BA A =-=⋅-=-（A ）(1)、(3)、(5) ；（B ）（2）、（3）、（6）；（C ）（4）（5）（6）；（D ）（2）、（4）、（6）.5.设[]1,0,2Tξ=是线性方程组0Ax =的解，则下列4个矩阵中，A 有可能是【 】[]011102201(1)2,1,1;(2);(3);(4)422.011010011⎡⎤--⎡⎤⎡⎤⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦（A ）（1）、（2） ； （B ）（1）、（3）； （C ）（2）、（3）； （D ）（2）、（4）.6.设123,,ηηη是非齐次线性方程组Ax b =的3个不同解，则123,,ηηη的下列线性组合组合，【 】也是Ax b =的解。
（A ）12322ηηη-+； （B ）123ηηη++； （C ）1232ηηη-+ ； （D ）123ηηη--. 7.下列向量组中，能构成2R 的标准正交基的是向量组【 】 （A ）[][]121,1,1,1:TTA αα=-= ; （B ）[]]121,0,1,1:TTA αα=-= ;（C）]]121,1,1,2:TTA αα=-=; （D）]]121,1,1,1:TTA αα=-=.8.已知3阶方阵A 的特征值为0、1、2，则下列结论不正确的是【 】 （A ）A 是不可逆矩阵； （B ）以0、1、2为特征值的3阶矩阵都与A 相似； （C ）A 与对角阵(0,1,2)diag Λ=相似 （D ）A 可正交对角化为(0,1,2)diag Λ=. 二、填空题9.甲、乙两个人掷硬币游戏，双方各出示一枚钱币，在不让对方看见的情况下，将钱币放在桌上.若两枚钱币都呈现正面或都呈现反面朝上，则甲得1分，乙得-1分；若两枚钱币一枚呈现正面朝上、另一枚呈现反面朝上，则甲-1分，乙得1分.甲的得分矩阵为： .10. 0A B EC D ME ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦; 11. 1200011000110001-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦ ;12.矩阵1234511122,,,,1112211111A ααααα---⎡⎤⎢⎥=-⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎢⎥---⎣⎦=，则矩阵A 的秩为 ；列向量组12345,,,,ααααα的一个极大线性无关组为 ：13.设2维列向量α在2R 的基[][]112:1,1,1,1TTB αα==-下的坐标为(1，2)，则α在2R的基[][]212:1,2,1,1TTB ββ==-下坐标为 ；14.设[][]2,21,1,1,1TT=-=-αβ，则α到β的向量投影γ为 ；15.已知三阶方阵A 的特征值为1，-1，2，则行列式2A A E ++的值为 ; 16.设二次型222(,,)3924f x y z x y z xy xz =++-+，则该二次型的矩阵为 ，且该二次型为 （正定/负定）的。
三、判断下列命题的真假，并说明理由。
17.若3R 中向量组123:,,A ααα线性相关，123:,,B βββ线性相关，则向量组112233:,,C αβαβαβ+++线性相关.18.设1121220,,x S x x x x R x ⎧⎫⎡⎤⎪⎪=⋅=∈⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭，则S 构成2R 的子空间。
四、计算题： 19.给定矩阵423212,,228521B C A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦=，解下列矩阵方程： (1) AX B X =+ ; (2) AXB C =.20.设3112213121111213D --=----,D 的(),i j 元的代数余子式记作ij A ，求11121314A A A A +--.21.设α为n 维非零列向量。
E 为n 阶单位矩阵，并设2T TA E αααα=-，（1）证明：A 为对称阵 ； （2）证明：A 为正交阵； （3）若取[]1,1,1Tα=，计算矩阵A .22.问,λμ取何值时，线性方程组1234123412341234231363510123153x x x x x x x x x x x x x x x x μλ+++=⎧⎪+++=⎪⎨--+=⎪⎪-++=⎩，（1）有唯一解？ （2）无解？ （3）有无穷多解？（注：不需要求出解） 23.设3阶实对称阵A 的特征值为1231,1λλλ=-==，且[]11,1,1Tp =为与特征值11λ=-对应的特征向量，[]4,1,1Tβ=,（1）求A 的与特征值 231λλ==对应的线性无关的特征向量23,p p ；（2）利用123,,p p p 线性表示β； （3）用123,,p p p 表示1A β-； （4）求()100Aβ*，其中A *为方阵A 的伴随矩阵.五、应用题：24.建造一个大的公寓楼将用模块构造技术：每一个楼层的房间安排将从3个基本的楼层计划中选择。
计划A 的一层楼中3个三室套房、7个两室套房和8个一室套房；计划B 的一层楼中有4个三室套房、5个两室套房和9个一室套房；计划C 的一层楼中有5个三室套房、3个两室套房和10个一室套房，建设单位要求设计出含有73个三室套房、88个两室套房和163个一室套房的公寓楼，请利用线性方程组的知识解决以下问题：（1）建立解决该问题的线性方程组；（2）建造单位的要求能够满足吗？如何安排楼层计划？二一．是非题（对的打 “√” 错的打 “⨯”）1．若两个n 阶矩阵,A X 的乘积AX O =，且()R A n <，则一定有X O =；（ ）2．若向量组12,,,(2)m m ααα≥ 线性相关的充要条件是12,,,m ααα 中每一个向量都能由其余向量线性表示； （ ）3．若A 是一个n 阶方阵且非齐次线性方程组 Ax b = 有无穷多解，则 0A ≠（ ）；4．二次型 2221231231213(,,)3924f x x x x x x x x x x =++-+ 是正定二次型（ ）； 5．若向量组 12:,,,m A ααα 线性无关，则向量组A 是正交向量组（ ）；6．设111220,,(,,,)|,,ni i n n ix x V x x x x x x R =⎧⎫=⎨⎬⎩⎭==∈∑ ，则 V 是向量空间 （ ）；7．设,A B 为n 阶方阵，则有 ()nn n AB A B = ( )；8．已知矩阵A 的秩 ()R A n =，则矩阵A 伴随矩阵A *的秩 ()R A n *= （ ） ； 9．设 n 阶方阵A 的行列式2A =，且A 的每行元素之和均为1，则A 的第1列元素的代数余子式之和112ni i A ==∑（ ）；10．设矩阵,n m m n A B ⨯⨯，若n m >时，则线性方程组()AB x O =只有零解（ ）． 二、选择题：11．若矩阵 12312323k k k ⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭ 的秩为2，则k 的取值为 （ ）；(A) -2 (B) 6 (C) 4 (D) 012．已知3阶方阵 A 有特征值 1，2，-3，则2A A *+= （ ）； （A ） 1 （B ）55 （C ）-55 （D ）-1 13．设A 为3阶矩阵，且12A =，则 1(2)3A A -*-= （ ）； (A) -2 (B) 2 (C) -8 (D) 814．已知123(1,0,0,0),(0,1,,0),(0,0,1,0)T T T βββ===是4元非齐次线性方程组Ax b =的三个不同的解，()2R A =．则Ax b =的通解为（ ）；（A ）1212(1,1,0,0)(0,1,1,0)(1,0,0,0),，其中：T T T x c c c R c R =-+-+∈∈； （B ）12(1,1,1,1)(1,1,1,0)(1,1,0,0),,12其中c c R T T T x c c R =++∈∈；（C ）1212(0,0,0,1)(0,0,1,0)(1,1,0,0),,;其中：T T T x c c c R c R =++∈∈； （D ）12(1,1,0,0)(0,0,1,0)(1,1,1,1).，其中 c R,c T T T x c c R =++∈∈15．已知12324369P t =⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，Q 为3阶非零矩阵，且0PQ =，则下列叙述正确的是 ( ) ．(A) 6t = 时，Q 的秩必为 1 ； (B) 6t = 时，Q 的秩必为 2 ； (C) 6t ≠ 时，Q 的秩必为 2 ； (D) 6t ≠ 时，Q 的秩必为 1．三、计算题：16．计算行列式 44333343333433334D =17．设200030004A ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭=，且矩阵B 满足关系式2A B A B E -=+，求矩阵B ．18．求下面向量组的秩及一个最大无关组，并把其余列向量用最大无关组线性表示：()()()()12342143,1166,1127,2449T T T Tαααα==--=-= 19．λ 为何值时，非齐次线性方程组21123123232222x x x x x x x x x λλ⎧⎪⎪-+⎨⎪+-⎪⎩+-+=-==（1）有惟一解； （2）无解； （3）有无穷多组解？20．求 一 个 正 交 变 换x Py =，把 二 次 型 1213123232(,,)22x x f x x x x x x x +=-+ 化 为 标 准 形 ．。