线性代数B 复习资料(一)单项选择题1．设A ，B 为n 阶方阵，且()E AB =2，则下列各式中可能不成立的是（ A ）(A )1-=B A (B)1-=B ABA (C)1-=A BAB (D)E BA =2)( 2．若由AB=AC 必能推出B=C （A ，B ，C 均为n 阶矩阵）则A 必须满足（ C ） (A)A ≠O (B)A=O (C )0≠A (D) 0≠AB 3．A 为n 阶方阵，若存在n 阶方阵B ，使AB=BA=A ，则（ D ） (A) B 为单位矩阵 (B) B 为零方阵 (C) A B=-1(D ) 不一定4．设A 为n ×n 阶矩阵，如果r(A)<n , 则( C )(A) A 的任意一个行（列）向量都是其余行（列）向量的线性组合 (B) A 的各行向量中至少有一个为零向量(C )A 的行（列）向量组中必有一个行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合 (D)A 的行（列）向量组中必有两个行（列）向量对应元素成比例 5．设向量组s ααα,,2,1 线性无关的充分必要条件是( D )(A) s ααα,,2,1 均不为零向量(B) s ααα,,2,1 任意两个向量的对应分量不成比例 (C) s ααα,,2,1 中有一个部分向量组线性无关(D ) s ααα,,2,1 中任意一个向量都不能由其余S-1个向量线性表示6．向量组的秩就是向量组的(C ) (A) 极大无关组中的向量 (B) 线性无关组中的向量(C ) 极大无关组中的向量的个数 (D) 线性无关组中的向量的个数 7．下列说法不正确的是( A ) (A ) 如果r 个向量r ααα,,2,1 线性无关，则加入k 个向量k βββ,,2,1 后，仍然线性无关 (B) 如果r 个向量r ααα,,2,1 线性无关，则在每个向量中增加k 个分量后所得向量组仍然线性无关 (C)如果r 个向量r ααα,,2,1 线性相关，则加入k 个向量后，仍然线性相关(D)如果r 个向量r ααα,,2,1 线性相关，则在每个向量中去掉k 个分量后所得向量组仍然线性相关8．设n 阶方阵A 的秩r<n ，则在A 的n 个行向量中( A ) (A ) 必有r 个行向量线性无关(B) 任意r 个行向量均可构成极大无关组 (C) 任意r 个行向量均线性无关(D) 任一行向量均可由其他r 个行向量线性表示 9．设方阵A 的行列式0=A ，则A 中( C )(A) 必有一行（列）元素为零 (B) 必有两行（列）成比例(C ) 必有一行向量是其余行（列）向量的线性组合 (D) 任一行向量是其余行（列）向量的线性组合10．设A 是m ×n 矩阵，齐次线性方程组AX=0仅有零解的充分必要条件是( A ) (A )A 的列向量线性无关 (B)A 的列向量线性相关 (C)A 的行向量线性无关 (D)A 的行向量线性相关11．n 元线性方程组AX=b ，r （A ，b ）<n ，那么方程AX=b (D)(A)无穷多组解 (B)有唯一解 (C)无解 (D )不确定 12．设A ，B 均为n 阶非零矩阵，且AB ＝Ｏ，则A 和B 的秩（ D ） (A) 必有一个等于零 (B)一个等于n ，一个小于n (C) 都等于n (D ) 都小于n13．设向量组321,,ααα线性无关，则下列向量组中，线性相关的是（ A ） (A ) 133221,,αααααα-++ (B) 3213221,,ααααααα++++ (C) 1332213,32,2αααααα+++(D) 321321321553,222,ααααααααα-++-++14．向量组s ααα,,,21 线性无关的充分条件是(C ) (A)s ααα,,,21 均不为零向量(B)s ααα,,,21 中任意两个向量的分量均不成比例(C )s ααα,,,21 中任意一向量均不能由其余s-1个向量线性表示 (D)s ααα,,,21 中有一部分向量线性无关15．当向量组m ααα,,,21 线性相关时, 使等式02211=+++m m k k k ααα 成立的常数m k k k ,,,21 为( C )(A)任意一组常数(B)任意一组不全为零的常数 (C )某些特定的不全为零的常数 (D)唯一一组不全为零的常数 16．下列命题正确的是( D )(A) 若向量组线性相关, 则其任意一部分向量也线性相关 (B) 线性相关的向量组中必有零向量(C) 向量组中部分向量线性无关, 则整个向量组必线性无关 (D ) 向量组中部分向量线性相关, 则整个向量组必线性相关 17．设向量组s ααα,,,21 的秩为r ，则 ( D) (A) 必定r<s(B) 向量组中任意小于r 个向量部分组无关 (C) 向量组中任意r 个向量线性无关 (D ) 向量组任意r+1个向量线性相关18．若s ααα,,,21 为n 维向量组，且秩(s ααα,,,21 )=r, 则( B ) (A) 任意r 个向量线性无关 (B ) 任意r+1个向量线性相关(C) 该向量组存在唯一极大无关组(D) 该向量组在s>r 时, 由若干个极大无关组19．设()21,,1αα-=⨯n A r n n 是0=AX 的两个不同的解, 则0=AX 的通解是( C ). (A)1αk (B)2αk (C )()21αα-k (D)()21αα+k 20．设A 为n 阶方阵, 且r(A)=r<n, 则中 (A ) (A )必有r 个行向量线性无关 (B)任意r 个行向量线性无关(C)任意r 个行向量构成极大无关组(D)任意一个行向量都能被其他r 个行向量线性表示 21．A 是m ×n 矩阵, r(A)=r 则A 中必( B )(A)没有等于零的r-1阶子式至少有一个r 阶子式不为零 (B )有不等于零的r 阶子式所有r+1阶子式全为零 (C)有等于零的r 阶子式没有不等于零的r+1阶子式 (D)任何r 阶子式都不等于零任何r+1阶子式都等于零 22．能表成向量()1,0,0,01=α,()1,1,1,02=α,()1,1,1,13=α的线性组合的向量是（ B ） (A) ()1,1,0,0 (B )()0,1,1,2 (C)()1,0,1,3,2- (D)()0,0,0,0,023．已知()3,2,11=α, ()2,1,32-=α,()x ,3,23=α 则x=（ D ）时321,,ααα线性相关。

(A) 1 (B)2 (C) 4 (D ) 524．向量组()4,2,1,11-=α,()2,1,3,02=α,()14,7,033=α()0,2,1,14-=α的秩为 (C )（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）425．矩阵A 在( D ) 时可能改变其秩(A) 转置 (B) 初等变换(C) 乘一个可逆方阵 (D ) 乘一个不可逆方阵 26．设A 为n 阶方阵,且0=A ，则 ( C )(A) A 中任一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合 (B) A 必有两行（列）对应元素乘比例(C ) A 中必存在一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合 (D) A 中至少有一行（列）向量为零向量27．向量组s ααα,,,21 线性相关的充要条件是( C ) (A) s ααα,,,21 中有一零向量(B) s ααα,,,21 中任意两个向量的分量成比例 (C ) s ααα,,,21 中有一向量是其余向量的线性组合 (D) s ααα,,,21 中任意一个向量均是其余向量的线性组合 28．若向量β可由向量组s ααα,,,21 线性表出,则( C )(A) 存在一组不全为零的数s k k k ,,,21 ,使等式s s k k k αααβ+++= 2211成立 (B) 存在一组全为零的数s k k k ,,,21 ,使等式s s k k k αααβ+++= 2211成立 (C )向量s αααβ,,,,21 线性相关 (D) 对β的线性表示不唯一29．设A 是m ×n 矩阵，AX=0是非齐次线性方程组AX=b 所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是( D)(A) 若AX=0仅有零解，则AX=b 有唯一解 (B) 若AX=0有非零解，则AX=b 有无穷多个解 (C) 若AX=b 有无穷多个解，则AX=0仅有零解 (D ) 若AX=b 有无穷多个解，则AX=0有非零解30．要使⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2011ζ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1102ζ都是线性方程组AX=0的解，只要系数矩阵A 为( A)(A ) ()1,1,2- (B) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-110102 (C) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-210201 (D) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---110224110 31．设矩阵n m A ⨯的秩为r(A)=m<n, m I 为m 阶单位矩阵,下述结论正确的是 (C ) (A)A 的任意m 个列向量必线性无关(B)A 的任意个m 阶子式不等于零(C )A 通过初等变换, 必可化为(m I ,0)的形式(D) 若矩阵B 满足0BA =,则0B =.32．非齐次线性方程组AX=b 中未知数的个数为n ，方程个数为m ，系数矩阵A 的秩为r ，则（ A ）(A ) r=m 时, 方程组AX=b 有解 (B) r=n 时, 方程组AX=b 有唯一解 (C) m=n 时, 方程组AX=b 有唯一解 (D) r<n 时, 方程组AX=b 有无穷多解33．设一个n 元齐次线性方程组的系数矩阵的秩r(A)=n-3, 且321,,ηηη为此方程组的三个线性无关的解, 则( B )不是此方程组的基础解系 (A)321,,ηηη(B )133221,,ηηηηηη--- (C)321211,,ηηηηηη+++ (D)233121,,ηηηηηη+--34．已知321,,ααα是齐次线性方程组AX=0的基础解系，那么基础解系还可以是（ B ） (A) 332211αααk k k ++ (B ) 133221,,αααααα+++ (C) ,,3221αααα--(D),,,233211αααααα-+-35．向量组r ααα,,,21 线性无关，且可由向量组s βββ,,,21 线性表示，则 (D ) r(r ααα,,,21 )必( )r(s βββ,,,21 )(A)大于等于 (B)大于 (C)小于 (D )小于等于36．设n 元齐次线性方程组AX=0的通解为k （1，2，…，n ）T，那么矩阵A 的秩为（ B ） (A) r(A)=1 (B ) r(A)=n-1 (C) r(A)=n (D)以上都不是37．设矩阵A =111121233λ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪+⎝⎭的秩为2，则λ=（ D ）A.2B.1C.0D .-138．一个向量组中的极大线性无关组（ C ）(A)个数唯一 (B) 个数不唯一 (C )所含向量个数唯一 (D) 所含向量个数不唯一39．设n 维向量组r ααα,,,21 (Ⅰ)中每一个向量都可由向量组s βββ,,,21 (Ⅱ)线性表出,且有r>s, 则( D )(A) (Ⅱ)线性无关 (B) (Ⅱ)线性相关 (C) (Ⅰ)线性无关 (D ) (Ⅰ)线性相关 40．设n ααα,,,21 是n 个m 维向量，且n>m, 则此向量组n ααα,,,21 必定(A ) (A ) 线性相关 (B) 线性无关 (C) 含有零向量 (D) 有两个向量相等 41．矩阵A 适合条件（ D ）时，它的秩为r(A)A 中任何r+1列线性相关 (B) A 中任何r 列线性相关(C) A 中有r 列线性无关 (D ) A 中线性无关的列向量最多有r 个42．已知矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛040020001，则R （A ）=（ C ）(A)0 (B)1 (C )2 (D)343．若m ×n 阶矩阵A 中的n 个列线性无关 则A 的秩（ C ） (A)大于m (B)大于n (C )等于n (D) 等于m44．若矩阵A 中有一个r 阶子式D ≠0，且A 中有一个含D 的r+1阶子式等于零，则一定有R （A ）（ A ）(A ) ≥r (B)＜r (C)=r (D) =r+1 45．要断言矩阵A 的秩为r ，只须条件（ D ）满足即可 (A) A 中有r 阶子式不等于零 (B) A 中任何r+1阶子式等于零(C) A 中不等于零的子式的阶数小于等于r (D ) A 中不等于零的子式的最高阶数等于r46．设m ×n 阶矩阵A ，B 的秩分别为21,r r ，则分块矩阵（A ，B ）的秩适合关系式（ A ）(A ) 21r r r +≤ (B) 21r r r +≥ (C) 21r r r += (D) 21r r r = 47．R(A)=n 是n 元线性方程组AX=b 有唯一解( C )(A)充分必要条件 (B) 充分条件 (C ) 必要条件 (D) 无关的条件48．矩阵A=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1111的特征值为0,2, 则3A 的特征值为( B )(A) 2,2; (B ) 0,6; (C) 0,0; (D) 2,6; 49．A=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1111， 则222A A I +--的特征值为（ B ） (A) 2,2; (B ) –2,-2; (C) 0,0; (D) –4,-4; 50．AP P B 1-=,0λ是A,B 的一个特征值, α是A 的关于0λ的特征向量, 则B 的关于0λ的特征向量是( C ) (A)α (B) αP (C ) α1-P (D) αP '51．n 阶矩阵A 与对角矩阵相似的充分必要条件是（ B ） (A) 矩阵A 有n 个特征值(B ) 矩阵A 有n 个线性无关的特征向量 (C) 矩阵A 的行列式0≠A (D) 矩阵A 的特征多项式没有重根52．A 满足关系式O E A A =+-22，则A 的特征值是( C )(A) λ=2 (B) λ= －1 (C ) λ= 1 (D) λ= －2是53．已知－2是A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----b x 2222220的特征值，其中b ≠0的任意常数，则x=（ D ） (A) 2 (B) 4 (C) －2 (D ) －454．已知矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----x 44174147有特征值12,3321===λλλ，则x=（ D ） (A) 2 (B) － 4 (C) －2 (D ) 455．设A 为三阶矩阵，已知0=+E A ，02=+E A ，03=+E A ，则=+E A 4(A) (A ) 6 (B) － 4 (C) －2 (D)456．A 为n 阶矩阵，且I A =2，则 ( C)(A) A 的行列式为1 (B) A 的特征值都是1 (C )A 的秩为n (D)A 一定是对称矩阵57. 设A 为三阶矩阵，有特征值为1，-1，2，则下列矩阵中可逆矩阵是（ D ） (A) E-A (B) E+A (C) 2E-A (D ) 2E+A 58. 已知A 为n 阶可逆阵, 则与A 必有相同特征值的矩阵是( C ) (A) 1-A (B)2A (C ) T A (D) *A 59．已知A 为三阶矩阵，r(A)=1, 则λ=0( B )(A)必是A 的二重特征根 (B ) 至少是A 的二重特征根 (C) 至多是A 的二重特征根 (D)一重,二重,三重特征根都可能（二）计算题与填空题1．0653=+-I A A ，则=-1A （ ） （()I A 5612--）2．设A 是43⨯矩阵,(),2=A R ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=111211120B ,则()=BA R ________3．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101041003A ，则()=--12I A （ ） （20011102202⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭）4. 已知矩阵21010201A x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=10000002y B 相似，则____________==y x答案：2,3x y ==5.()()(),01,50,31321tTT t tt-=-=-=ααα 当0,2t ≠时, 向量组321,,ααα 线性无关.6．设()()(),112,231,5121TTTk-=-==ααβ=k （ ）时β可被向量组21,αα线性表出。