第四章 平面问题的有限元法
平面问题的基本概念与基本方程 平衡的普适表达方法—虚功原理 平面问题有限元位移插值函数 单元刚度矩阵 约束处理 载荷处理
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平面问题基本概念与基本方程
平面问题的分类：平面应力问题和平面应变问题。
1、平面应力问题 一个例子：薄板平行板中面
均匀承受载荷 特点：只有与板中面平行的
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平面问题有限元位移插值函数 单元位移插值函数一般可以用多项式表示:
u a1 + a2 x + a3 y + a4 x2 + a5 xy + a6 y2 + ...
v b1 + b2 x + b3 y + b4 x2 + b5 xy + b6 y 2 + ...
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平面三角形单元及其位移插值函数 1、三节点三角形单元
y k
为三角形面积
注意：为保证Ａ＞０，在右手系中ｉ，ｊ，ｋ编号 按逆时针方向．
同理可以推导出其他三个系数．
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平面三角形单元及其位移插值函数
将系数带入式（4-3）得单元任一点位移u，v的表达式 ：
u
1 2A
[(ai
+
bi
x
+
ci
y)ui
+
(a
j
+
bj
x
+
c
j
y)u j
+
(ak
+
bk
x
+
ck
y)uk
Xu + Yv dxdy + pxu + pyv ds
x
x
+
xy
xy
+
y
y
dxdy
此即虚功原理的数学表述（外力虚功等于内力虚功 ）
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平面问题有限元位移插值函数
结构离散、单元和节点 对于连续体问题，它不像杆（梁）系结构 有自然的节点将结构直观地离散为单元。必 须人为地用假想的线或面将连续体分割成有 限个部分，每一部分称为单元。各单元用有 限个节点连接。
因此有，外力虚功等于内力虚功。
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普适平衡表达方法—虚功原理
2、从平衡方程和力边界条件出发证明 (a)对于域内处处成立的平衡方程和给定外
力边界上处处成立的力边界条件，分别配置任 意给定的虚位移，并在域内和边界上积分，给 出积分形式的等效平衡方程和力边界条件；
(b)利用Green公式对积分进行域内和封闭 边界之间的变换；进一步利用几何方程，并假 定全部边界为给定力边界，可以建立与平衡方 程和力边界条件等效的虚功原理。
应力分量 2、平面应变问题 一个例子：长柱状体，端面受刚性约束，沿柱体长度 方向承载方式和支撑条件不变化。 特点：只有与柱体截面平行的应变分量
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平面问题基本概念与基本方程
弹性力学的基本假定：
1）均匀连续、各向同性—物体各处连续，且性质不随空间 位置以及取向改变；
2）小变形、线弹性—位移、变形均为小量，应力—应变关 系符合虎克定律，且各量均可叠加；
u
u x
(v + v dy) v
y
y dy
v y
xy
a
+
b
v x
+
u y
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平面问题基本概念与基本方程
平面应力问题的应力—应变关系 物理方程
x
1 E
(
x
y)
y
1 E
(
y
x)
xy xy / G
x
E
1 2
( x
+
y )
y
E
1 2
( x
+y)
xy
E 2(1 +
)
xy
且有： z 0
自由度数 ＝结点位移数 ＝６
三结点三角形单元
i
j
T
k ui
vi
uj
vj
uk
T
vk
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平面三角形单元及其位移插值函数
2、位移插值函数
u
a
1
+a 2x
+a 3y
va 4 +a 5x +a 6 y
(4 3)
用三个结点的6个位移来表示６个待定系数 ai
aa aa aa uuji
a a a uk
]
1 2A
(ai
i, j,k
+ bi x
+
ci
y)ui
+
1
+
1
+
1
x+
2i
x+
2j
x+
2k
y3 i y3 j
y3 k
a1
1
2A
ui uj
xi xj
y i
y j
uk
xk
y k
a
2
1
2A
1 1
ui uj
y i
y j
1
uk
y k
1
a3 1
1
xi ui xj uj xk uk
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平面三角形单元及其位移插值函数
其中：
A
1 2
1 1
1
xi xj xk
y i
y j
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普适平衡表达方法—虚功原理
Green公式（二维情况）
dy nxds
dx nyds
P x
+
Q y
dxdy
Pdy
Qdx
Pnx + Qnyds
式中 nx 和 n y 分别为边界外法线在x轴和
y轴的分量。
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普适平衡表达方法—虚功原理
如物体内部和边界上处处平衡，则对于任意给 定的虚位移，均有
z
E
x
+ y
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平面应力物理方程以矩阵形式可表示为：
x y
xy
E
1 2
1
0
对 1 0
称
1
xxyy
2
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平面问题基本概念与基本方程
微元体平衡关系 平衡方程
y
yx
+
yx
y
y
dy
+
y dy
y
xy +
xy
x
dx
x xy
yx
y
x
+
x
x
dx
x
x + yx + X 0
x y
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平面问题有限元位移插值函数
有限元位移插值的收敛准则
当位移函数满足下列准则时，解一定是收敛的， 即随着单元尺寸的缩小，解答趋于精确解。
单元的位移函数能反映单元的刚体位移。
单元的位移函数能反映单元的常应变。
单元的位移函数在单元内部连续，在单元边 界上协调(单元之间位移一致)
前两个条件是必要条件，第三个条件是充分条件。
x
x
+
xy
y
+
X
u
+
yx
x
+
y
y
+
Y
v
dxdy
+ px xnx + xyny u + py yxnx + yny v ds 0
上式是与平衡方程和力边界条件等价的 积分形式（用反证法证明之）
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普适平衡表达方法—虚功原理
由Green公式对积分进行变换后 再利用几何方程有
y + xy + Y 0
y x
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普适平衡表达方法—虚功原理
虚功原理的两种证明方法： 1、以梁为例的直观证明
用两种方式计算全部内力和外力所做的总虚功 (a)截面两侧内力（互为作用与反作用力）成组 考虑；因截面两侧内力做功之和为零，总虚功等 于外力在虚位移上所做的功（称为外力虚功）； (b)单元力系（为平衡力系）成组考虑；因平衡 力系在刚体位移上做功之和为零，总虚功等于内 力在虚变形上所做的功（称为内力虚功）。
3）处处平衡—物体整体或任意部分均处于平衡状态。
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平面问题基本概念与基本方程
平面问题的位移—应变关系 几何 方程
y
u + ?u dy ?y
v + ?v dy ?y
D" b D'
D
C
A' u
C'
B'
a
v + ?v dx
?x
dy
v
A
B
B"u + 来自u dxdx?x
0
x
图 1-5
x
(u
+
u dx) x
dx