① 如果 r = k，显然只有当 yt-1 的各分量都是I(0)变量时，才能保证 yt-1 是 I(0) 变量构成的向量。而这与已知的 yt 为 I(1) 过程相矛盾，所以必然有 r < k。
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② 如果 r = 0，意味着 = 0，因此式(9.6.2)仅仅是个差分方程，各项都是 I(0) 变量，不需要讨论 yt-1各分量之间是否具有协整关系。
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下面讨论 k 个经济指标 y1，y2，…，yk 之间是否具有协整关系。协整的 定义如下：
y 设 k 维向量时间序列 t = (y1t , y2t , …, ykt)(t = 1, 2, …, T ) 的分量序列 y 间被称为d，b阶协整，记为 t ～ CI (d，b)，如果满足：
y y (1) t ～ I (d)，要求 t 的每个分量都是 d 阶单整的 ； y (2) 存在非零向量 ，使得 t ～ I (d-b)，0 < b ≤ d 。 y 简称 t 是协整的，向量 又称为协整向量。
p1
yt αβyt1 Γiyti Hxt εt i1
(9.6.5)
上式要求 yt-1 的每一行为一个 I(0) 向量，其每一行都是 I(0) 组合变量，即 的每一列所表示的 yt-1各分量的线性组合都是一种协整形式，所以矩阵 决定 了yt-1各分量之间协整向量的个数与形式。因此称为协整向量矩阵，r 为协整向量 的个数。
t=1, 2, …, T
( y1t c1 y2t ) ( y1t c2 y2t ) (c1 c2 ) y2t ~ I (0)
由于 y2 ～ I (1)，所以只能有 c1 = c2 ，可见 y1，y2 协整时，协整向量
y = (1， c1 ) 是惟一的。一般地，设由 t 的协整向量组成的矩阵为 B，则
③ 下面讨论 0< r < k 的情形： 0< r < k 表示存在 r 个协整组合，其余 k r 个关系仍为 I(1)关系。在这种 情况下， 可以分解成两个( k r )阶矩阵 和 的乘积：
Π αβ
其中rk ( )= r，rk ( )= r。
(9.6.4)
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② 如果 r = 0，意味着 = 0，因此式(9.6.2)仅仅是个差分方程，各项都是 I(0) 变量，不需要讨论 yt-1各分量之间是否具有协整关系。
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y 对于 k 维向量时间序列 t 最多可能存在 k-1个线性无关的协整向量， y 为讨论方便，先考虑最简单的二维情形，不妨记 t = (y1t, y2t)，(t=1, 2, …,
T ) ，其中 y1，y2 都是I(1) 时间序列。若存在 c1，使得 y1-c1y2 ～ I(0)；另有 c2，也使得 y1-c2 y2 ～ I (0)，则
③ 下面讨论 0< r < k 的情形： 0< r < k 表示存在 r 个协整组合，其余 k r 个关系仍为 I(1)关系。在这种 情况下， 可以分解成两个( k r )阶矩阵 和 的乘积：
Π αβ
其中rk ( )= r，rk ( )= r。
(9.6.4)
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将式(9.6.4)代入式(9.6.2)，得：
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矩阵 B 的秩为 r = r(B)，那么 0 r k1。
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下面将上述讨论扩展到多指标的情形，介绍JJ检验的基本思想。首先建 立一个VAR(p)模型
yt Φ1 yt1 Φp yt p Hxt εt
t =1，2，…，T (9.6.1)
y 其中 t的各分量都是非平稳的I(1)变量；xt 是一个确定的 d 维的外生向量，
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矩阵 的每一行 i 是出现在第 i 个方程中的 r 个协整组合的一组权重， 故称为调整参数矩阵，与前面介绍的误差修正模型的调整系数的含义一样。而 且容易发现 和 并不是惟一的，因为对于任何非奇异 r r 矩阵 H ，乘积 和 H (H 1 ) 都等于 。
将 yt 的协整检验变成对矩阵 的分析问题，这就是Johansen协整检验的 基本原理。因为矩阵 的秩等于它的非零特征根的个数，因此可以通过对非零 特征根个数的检验来检验协整关系和协整向量的秩。略去关于 的特征根的求 解方法，设矩阵 的特征根为 1 2 … k。
9.6 Johansen协整检验
第5章5.4节介绍的协整检验和误差修正模型主要是针对单方程而言， 本节将推广到VAR模型。而且前面所介绍的协整检验是基于回归的残差序列 进行检验，本节介绍的Johansen协整检验基于回归系数的协整检验，有时 也称为JJ(Johansen-Juselius)检验。
虽然ADF检验比较容易实现，但其检验方式存在一定欠缺性——在第一 阶段需要设计线性模型进行OLS估计，应用不方便。Johansen在1988年及 在1990年与Juselius一起提出的一种以VAR模型为基础的检验回归系数的方 法，是一种进行多变量协整检验的较好的方法。
代表趋势项、常数项等确定性项；t 是 k 维扰动向量。在式(9.6.1)两端减去 yt-1，通过添项和减项的方法，可得下面的式子
p1
yt Πyt1 Γiyti Hxt εt
其中
i1
p
Π Φi I i1
p
Γi ， Φ j j i 1
(9.6.2)
(9.6.3)
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由于I(1)过程经过差分变换将变成I(0)过程，即式(9.6.2)中的Δyt , Δyt–j (j =1, 2 ,…, p) 都是I(0)变量构成的向量，那么只要 yt-1 是I(0)的向量，即 yt-1的 各分量之间具有协整关系，就能保证Δyt是平稳过程。yt-1的各分量之间是否具 有协整关系主要依赖于矩阵 的秩。设 的秩为 r，则存在 3 种情况: r = k ，r = 0，0< r < k：
③ 下面讨论 0< r < k 的情形： 0< r < k 表示存在 r 个协整组合，其余 k r 个关系仍为 I(1)关系。在这种 情况下， 可以分解成两个( k r )阶矩阵 和 的乘积：
Π αβ
其中rk ( )= r，rk ( )= r。
(9.6.4)
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② 如果 r = 0，意味着 = 0，因此式(9.6.2)仅仅是个差分方程，各项都是 I(0) 变量，不需要讨论 yt-1各分量之间是否具有协整关系。