素养清单,知识归纳
1．重要不等式
a2＋b2≥___2_a_b__(a，b∈R)(当且仅当____a_＝___b时等号成立)．
2．基本不等式 ab≤a＋2 b (1)基本不等式成立的条件：____a_>_0_，__b_>__0； (2)等号成立的条件：当且仅当____a_＝__b_时等号成立．
• 3．算术平均数与几何平均数 • 设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为__a_b___，
又∵x>2，∴x＝
3，即a等于3时，函数f(x)在x＝3处取得最小值．
• 解题反思，形成素养
• (1)在运用基本不等式时，要特别注意“拆 ”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等 式中“正”“定”“等”的条件．
• (2)注意基本不等式成立的条件是a>0，b>0， 若a<0，b<0，应先转化为－a>0，－b>0，再 运用基本不等式求解．
0
2
多
考点突破一配凑法求最值 利用基本不等式求最值
维
探
• 利用基本不等式求最值是基本不等式的考点，主要考究
查求最值、判断不等式、解决不等式有关的问题，试
题难度不大，主要是以选择题、填空题形式出现，有
时解答题中也会利用基本不等式求最值．
1(基本)若 x>0，y>0，且 2(x＋y)＝36，则 xy的最大值为
(1)函数 y＝x＋1x的最小值是 2.( × )
(2)ab≤(a＋2 b)2 成立的条件是 ab>0.( × )
(3)函数
f(x)＝cos
x＋co4s
π x，x∈(0， 2 )的最小值等于
4.(
×
)
(4)x>0 且 y>0 是xy＋yx≥2 的充要条件.( × )
(5)若 a>0，则 a3＋a12的最小值为 2 a.( × )
1．常用的几个重要不等式 (1)a＋b≥2 ab(a>0，b>0)． (2)ab≤a＋2 b2(a，b∈R)． (3)a＋2 b2≤a2＋2 b2(a，b∈R)． (4)ba＋ab≥2(a，b同号)． 以上不等式等号成立的条件均为a＝b．
(概念辨析)判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或
“×”)
几何平均数为__a_＋_b__，基本不等式可叙述为： _______________2__________________________ ________两．个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
4．利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)如果x，y∈(0，＋∞)，且xy＝P(定值)， 那么当___x_＝__y__时，x＋y有最小值2 P(简记：“积定和最小”)． (2)如果x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝S(定值)， 那么当x＝y时，xy有最大值S42(简记：“和定积最大”)．
• (3)“当且仅当a＝b时等号成立”的含义是“a ＝b”是等号成立的充要条件，这一点至关重 要，忽略它往往会导致解题错误．
• (4)要多次运用基本不等式才能求出最后结果 的题目切记等号成立的条件要一致．
• [误区警示] 使用基本不等式求最值，“一 正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可 ．
• 考点突破二：常数代换法求最值 • 1（基础）若正数x，y满足3x＋y＝5xy，则4x
4．（变式 1）(2020·贵州贵阳月考)已知 0<x<1，则 x(3－3x)取得最大值时 x 的值B
为
()
A．13
B．12
C．34
D．23
解析
∵0<x<1，∴x(3－3x)＝3x(1－x)≤3
x＋1－x 2
2＝
3 4
.
当且仅当x＝1－x，
即x＝12时，“＝”成立．
（变式 2） _________．
1
(2018·湖北荆州期末)已知 x<54，则 f(x)＝4x－2＋4x－1 5的最大值为
解析
因为x<
5 4
，所以5－4x>0，则f(x)＝4x－2＋4x－1 5
＝－
5－4x＋5－14x
＋3≤
－2＋3＝1. 当且仅当5－4x＝5－14x，即x＝1时，等号成立．故f(x)＝4x－2＋4x－1 5的
最大值为1．
解析 (1)∵x>0，y>0，且 2x＋y＝1， ∴1x＋1y＝2x＋x y＋2x＋y y＝3＋yx＋2yx≥3＋2 2. 当且仅当yx＝2yx时，取等号. (2)∵x>0，∴f(x)＝x22＋x 1＝x＋2 1x≤22＝1， 当且仅当 x＝1x，即 x＝1 时取等号.
A．9
B．18
C．36
D．81
() A
解析 由2(x＋y)＝36，得x＋y＝18，所以 xy≤x＋2 y＝9，当且仅当x＝y＝9时， 等号成立．
2．（引申）已知 f(x)＝x＋1x(x<0)，则 f(x)有
C
()
A．最大值 0
B．最小值 0
C．最大值－2
D．最小值－2
解析 ∵x<0，∴f(x)＝－－x＋－1x≤－2，当且仅当－x＝－1x，即x＝－1时取等 号．∴f(x)有最大值－2．
（拔高）若函数 f(x)＝x＋x－1 2(x>2)在 x＝a 处取得最小值，则 a 等于
A．1＋ 2
B．1＋ 3
C．3
D．4
() C
解析 ∵x>2，∴x－2>0，∴f(x)＝x＋x－1 2＝(x－2)＋x－1 2＋2≥2· x－2·x－1 2
＋2＝2＋2＝4，
当且仅当x－2＝
1 x－2
，即(x－2)2＝1时等号成立，解得x＝1或3.
基本不等式
数学组 杨强
• • 1.了解基本不等式的证明过程． • 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．
Hale Waihona Puke 真题再现• (2019天津13) • 设X>0,y>0, X+2y=5,则 (x 1)(2y 1)的最小值为___
xy
【点睛】使用基本不等式求最值时 一定要验证等号是否能够成立
• 2019年天津高考题用到哪些知识点？遇到 该类型题你如何应对？你必须具备哪些数 学素养？
＋3y的最小值是____5_．
解析 由3x＋y＝5xy，得3xx＋y y＝3y＋1x＝5，
所以4x＋3y＝(4x＋3y)·153y＋1x
＝154＋9＋3xy＋1y2x≥15(4＋9＋2 36)＝5，
当且仅当3xy＝12yx，即y＝2x时，“＝”成立．
（变式） 2 (1)已知 x>0，y>0，且 2x＋y＝1，则1x＋1y的最小值为 ________； (2)当 x>0 时，则 f(x)＝x22＋x 1的最大值为________. 答案 (1)3＋2 2 (2)1