初中数学人教版八年级上册实用资料
平行线与三角形内角和的综合应用（习题）
➢ 例题示范
例1：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，P 为线段AD 上
一点，P E ⊥A D 交B C 的延长线于点E ．若∠B A C =60°， ∠ACB =85°，则∠E 的度数为_____________．
A D C
E
F
P
1
解：如图， ∵AD 平分∠BAC
（___________________________） ∴1
12
BAC ∠=∠
（___________________________） ∵∠BAC =60° （___________________________） ∴∠1=30°
（ 等式的性质 ）
在△ACD 中，∠1=30°，∠ACB =85° ∴∠EDP =180°-∠1-∠ACB
=180°-30°-85° =65°
（___________________________） ∵PE ⊥AD （___________________________） ∴∠EPD =90°
（___________________________） ∴90E EDP ∠+∠=︒ （___________________________）
∴90E EDP ∠=︒-∠
9065=︒-︒ 25=︒ （等式的性质）
①读题标注
85°30°30°1P
F
E
C
D
B A
②梳理思路
要求∠E 的度数，可以将∠E 放在Rt △PDE 中，利用直角三角形两锐角互余求解，由PE ⊥AD ，则∠EPD =90°，所以需要求出∠ADC 的度数．结合已知条件，把∠ADC 放在△ADC 中利用三角形的内角和等于180°求解． ③过程书写 解：如图， ∵AD 平分∠BAC
（已知）
∴1
12
BAC ∠=∠
（角平分线的定义） ∵∠BAC =60° （已知） ∴∠1=30°
（等式的性质）
在△ACD 中，∠1=30°，∠ACB =85° ∴∠EDP =180°-∠1-∠ACB
=180°-30°-85° =65°
（三角形的内角和等于180°） ∵PE ⊥AD （已知） ∴∠EPD =90°
（垂直的定义）
∴90E EDP ∠+∠=︒（直角三角形两锐角互余） ∴90E EDP ∠=︒-∠
9065=︒-︒ 25=︒
（等式的性质）
➢ 巩固练习
1. 在△ABC 中，123A B C =∠:∠:∠::，则A =∠___，B =∠___．
2. 将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三
角板的一条直角边重合，则图中∠1的度数为___________．
1
3. 如图，直线m ∥n ，在△ABC 中，∠C =90°．若∠1=25°，∠2=70°，则∠
B =____________．
n
m
2
1
C
B
A
4. 已知：如图，AD 与BC 交于点O ，∠C =35°，∠A =∠B =90°，求∠D 的度数．
O
D
C A
B
解：如图，
∵∠A =∠B =90°（已知） ∴__________________，
__________________（直角三角形两锐角互余） ∵∠AOC =∠BOD （对顶角相等）
∴_____________（____________________） ∵∠C =35°（已知）
∴_____________（等量代换）
5. 已知：如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB ，∠B =34°，
∠ACD =50°，求∠A 的度数．
A
B D
C
6.已知：如图，AB∥CD，∠BAE=∠DCE=45°．
求证：∠E=90°．
21
E
D
C
B A
7.已知：如图，EF⊥BC，DE⊥AB，∠B=∠ADE．
求证：AD∥EF．
F E
D
B C A
➢ 思考小结
1. 在证明过程中：
（1）由平行可以想________相等、__________相等、________互补； （2）要证平行，找_______角、_______角、_______角；
（3）要求一个角的度数，如果看成三角形的内角，可以考虑__________________________． 2. 阅读材料
等量代换与等式的性质
在欧几里得公理体系中提到过5条公理．这5条公理是我们公认为正确的不证自明的“基本事实”，可以当做已知的大前提来进行使用．而其中的三条，是我们在几何证明中不经意间多次用到的，下面对它们来进行简单的解释． 当我们证明时，会遇到如下的推理： ∵a =b ，b =c ∴a =c
在这个推理过程中，我们很容易就理解它的正确性，但往往不知道它的依据是什么．其实，它的依据就是欧几里得公理体系中5条公理中的第一条：“（1）
跟同一件东西相等的一些东西，它们彼此也是相等的．”这句话比较的生涩难懂，我们不妨来翻译一下，直观的意思就是“与同一个量相等的所有量都相等”，这就是我们在几何推理中经常用到的“等量代换”．
例如，我们经常这么写：
①∵a=b，b=5（已知）
∴a=5（等量代换）
②∵∠A+∠B=90°，∠B=∠C
∴∠A+∠C=90°（等量代换）
这里推理的依据就是第一条公理，我们把它简记为“等量代换”．“等量代换”
还可以解释为把相等的量换掉．
与“等量代换”一样，经常用到的还有“等式的性质”．
公理中第（2）（3）条的内容如下：
（2）等量加等量，总量仍相等．
（3）等量减等量，余量仍相等．
它们组合起来使用，就叫做“等式的性质”，我们可以找一些例子来看一下．例如：
∵a+b=10，c=5
∴a+b-c=10-5=5（等式性质）
再如：
∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A+2∠1=90°
∴∠B+∠C=90°+2∠1（等式的性质）
上述过程中的推理依据都是“等式的性质”．一般地，我们利用代数运算进行推理时，其依据基本都是“等式的性质”．
【参考答案】
➢巩固练习
1.30°，60°
2.105°
3.45°
4.解：如图，
∵∠A=∠B=90°（已知）
∴∠C+∠AOC=90°，
∠D+∠BOD =90°（直角三角形两锐角互余）∵∠AOC=∠BOD（对顶角相等）
∴∠C=∠D（等角的余角相等）
∵∠C=35°（已知）
∴∠D=35°（等量代换）
5.解：如图，
CD平分∠ACB（已知）
∴∠ACB=2∠ACD（角平分线的定义）
∵∠ACD=50°（已知）
∴∠ACB=2×50°=100°（等量代换）
在△ABC中，∠B=34°，∠ACB=100°（已知）
∴∠A=180°-∠B-∠ACB
=180°-34°-100°
=46°（三角形的内角和等于180°）
6.证明：如图，
∵AB∥CD（已知）
∴∠BAC+∠ACD =180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠BAE=∠DCE=45°（已知）
∴∠1+∠2=180°-∠BAE-∠DCE
=180°-45°-45°
=90°（等式的性质)
∴∠E=180°-(∠1+∠2）
=180°-90°
=90°（三角形的内角和等于180°）
7.证明：如图，
∵EF⊥BC（已知）
∴∠EFB=90°（垂直的定义）
∴∠BEF+∠B=90°（直角三角形两锐角互余）
∵DE⊥AB（已知）
∴∠AED=90°（垂直的定义）
∴∠BAD+∠ADE=90°（直角三角形两锐角互余）
∵∠B=∠ADE（已知）
∴∠BEF=∠BAD（等角的余角相等）
∴AD∥EF（同位角相等，两直线平行）
➢思考小结
1.（1）同位角，内错角，同旁内角；
（2）同位，内错，同旁内；
（3）三角形的内角和等于180°．。