第五讲 不等式的解法、性质与证明
一、不等式的性质：
⑴(对称性或反身性⑵(传递性)a b b c a c >>⇒>，;
⑶(可加性)a b a >⇒;(同向可相加)a b c d a c b d ⇒>>+>+， ⑷(可乘性)0a b c ac bc ⇒>>>，； 0a b c ac bc ⇒><<，. (正数同向可相乘)00a b c d ac bd ⇒>>>>>，
⑸(乘方法则)00n n
a b n N a b >>∈⇔>>（）⑹(开方法则)0,20n n a b n N n a b >>∈>（≥）
⑺(倒数法则)11
0a b ab a b
⇒
>><， 1、判断下列命题是否正确，并说明理由。

（1）若a>b ，则ac 2>bc 2
； （2）若
a c 2>b
c 2
，则a>b ； （3）若a>b ，且ab ≠0，则1a <1b
； （4）若a>b ，c>d ，则ac>bd ；
（5）若a>b ，且k ∈N +，则a k >b k ； （6）若a>b>0，则a a >a b
；（7）若a>b>0，则b 2
+1a 2
+1
> b 2a 2 2、比较下列各组数的大小，其中x ∈R 。

（1）x 2+3与3x ；（2）x 6+1与x 4+x 2
；3）11+x
与1-x 。

3、已知a,b 为正数，试比较a
b +b a 与 a +b 的大小。

4、已知a>b ，则不等式(1)a 2>b 2,(2)1a < 1b ,(3)1a -b >1
a
中不能成立的个数是（ D ）
A 、0个
B 、1个
C 、2个
D 、3个 5、已知12<a<60,15<b<36，求a-b 与b a
的取值范围。

6、已知-
π2 ≤α<β≤π2 ，求α-β2
的范围。

7、若二次函数y=f(x)的图象过原点，且1≤f(-1)≤2,3≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围。

二、不等式解法
1、不等式x
x 1
||<
的解集是____________。

2、152+>+x x 的解集是_____________。

3、不等式
13
1
2>+-x x 的解集为 。

4、如果x x sin 2
log 3
log 2
1
2
1，那么π
π
≥-
的取值范围是为_____________-。

5、）
，的解集是的不等式，关于且已知0(110-∞>≠>x
a x a a ，则0)1
(l o g >-x
x a
的解集为____。

6、不等式333
2)21
(2
2---<x x x 的解集为A ，不等式)26(log )9(log 3
1231x x --的解集为B ，不等式0102=++<++by ax B A b ax x ，那么直线的解集为 的斜率是_________。

三、不等式的证明
1、比较法：作差、作商比较
1、若a>0,b>0，求证：b 2a +a 2
b
≥a+b 2、若a>b>0，求证：a a b b >a b b a
2、综合法：从“已知”出发，利用表达式性质及相关定理，逐步推到“结论”。

3、已知x>y>0，求证：2x+
1
4(x -y )y
≥3
4、已知0<a<b<1，P=lg a +b
2
，Q=12(lg a+lg b),M=12lg (a+b)，试比较P,Q,M 的大小。

5、已知a,b,c ∈R +,且a+b+c=1,求证：
（1）1a +2b +4c ≥18 ; （2）(a+1a )2+(b+1b )2+(c+1c )2
≥
100
3
3、分析法：“执果索因”，是探索解题思路的重要途经。

6、已知：x>0,y>0,证明不等式：（x 2+y 2)3 >（x 3+y 3)
2
7、已知a>0,b>0,2c>a+b 求证：（1）c 2
>ab; (2)c-c 2-ab <a<c+c 2-ab
4、分析综合法：有时解题，需一边分析，一边综合，称之为分析综合法，或称两头挤法。

8、已知a,b,c ∈R +,且ab+bc+ca=1,求证：a+b+c ≥3
5、反证法：从否定结论出发，通过逻辑推理，导出矛盾，从而肯定结论成立。

9、设f(x)=x 2+bx+c ，求证：|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于12。

6、放缩法：由于证明不等式的需要，有时需舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明不等式的目的。

10、求证：
11
2
＋122＋132＋…＋1n 2<2(n ∈N *) 11、设a,b,c,d ∈R +,S=a a +b +d +b a +b +c +c b +c +d +d
a +c +d
，求证：1<S<2。

7、判别式法：若要证明的不等式可转化为一个二次函数的值域问题，这个函数的定义域为R ，则可运用判别式法。

12、求证：12≤x 2
+x +1x 2+1
≤3
2
8、换元法：换元的思想在数学中几乎到处可见，其中最常用的是三角换元。

如：已知x 2
+y 2
=a 2
(a ∈R ），
可设x=acos θ,y=asin θ；若已知x 2
+y 2
≤1,可设x=rcos θ,y=rsin θ(|r|≤1)；若122
22=+b
y a x ,可设
x=acos θ,y=bsin θ
13、已知x,y ∈R ，且x 2+y 2=1，试求z=(1-xy)(1+xy)的最值。

14、已知x,y ∈R ，且x 2+y 2≤4，求证：1≤|3x 2-8xy-3y 2+21|≤41
9、构造函数法：构造一个函数，利用函数的单调性来证明不等式。

有些具有几何特征的代数式，经常构造相关的几何图形，进而可利用几何图形的几何特征证明不等式。

15、求证：sin 2x+
4
sin 2x
≥5。