不等式的性质及其解法第一部分：基础回顾 一、不等式的主要性质：(1)对称性：a b b a <⇔> (2)传递性：c a c b b a >⇒>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+⇒>； d b c a d c b a +>+⇒>>,(4)乘法法则：bc ac c b a >⇒>>0,；bc ac c b a <⇒<>0,；bd ac d c b a >⇒>>>>0,0 (5)倒数法则：ba ab b a 110,<⇒>> (6)乘方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且二、一元二次不等式02>++c bx ax 和)0(02≠<++a c bx ax 及其解法0>∆0=∆0<∆ 二次函数c bx ax y ++=2（0>a ）的图象))((212x x x x a cbx ax y --=++=))((212x x x x a c bx ax y --=++=c bx ax y ++=2一元二次方程()的根002>=++a c bx ax有两相异实根 )(,2121x x x x <有两相等实根abx x 221-==无实根的解集)0(02>>++a c bx ax{}21x x x x x><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R的解集)0(02><++a c bx ax{}21x x x x<<∅∅注意：一般常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式 顺口溜：在二次项系数为正的前提下：大于型取两边，小于型取中间第二部分：不同题型不等式的解法1、高次不等式例1解不等式：（1）015223>--xxx；（2）0)2()5)(4(32<-++xxx．解：（1）原不等式可化为0)3)(52(>-+xxx把方程0)3)(52(=-+xxx的三个根3,25,0321=-==xxx顺次标上数轴．然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分．∴原不等式解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><<-325xxx或（2）原不等式等价于⎩⎨⎧>-<-≠⇔⎩⎨⎧>-+≠+⇔>-++245)2)(4(5)2()5)(4(32xxxxxxxxx或∴原不等式解集为{}2455>-<<--<xxx x或或说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”．2、分式不等式例2 解下列分式不等式：（1）22123+-≤-xx；（2）12731422<+-+-xxxx分析：①0)()()()(<⋅⇔<xgxfxgxf②0)()()()()()()()()()(<⋅=⇔≤⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤x gx fx fx gx fx gx gx fx gx f或或（1）解：原不等式等价于⎩⎨⎧≠-+≥+-+-⇔≥+-+-⇔≤+-++-⇔≤+---+⇔≤+--⇔+≤-)2)(2()2)(2)(1)(6()2)(2()1)(6()2)(2(65)2)(2()2()2(32232232xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx∴原不等式解集为[)[)+∞⋃-⋃--∞,62,1)2,(。

（2）解法一：原不等式等价于027313222>+-+-xxxx212131273132273132)273)(132(222222><<<⇔⎪⎩⎪⎨⎧<+-<+-⎪⎩⎪⎨⎧>+->+-⇔>+-+-⇔xxxxxxxxxxxxxxx或或或∴原不等式解集为),2()1,21()31,(+∞⋃⋃-∞。

解法二：原不等式等价于0)2)(13()1)(12(>----xxxx)2()13)(1)(12(>-⋅---⇔xxxx∴原不等式解集为),2()1,21()31,(+∞⋂⋃-∞练习：1、解不等式04125622<-++-xxxx．2、解不等式xxxxx<-+-+222322．答案：1、}6512{><<-<xxx x，或，或．2、}321{><<-xxx或．3、绝对值不等式例3解不等式331042<--xx．分析：解此题的关键是去绝对值符号，而去绝对值符号有两种方法：一是根据绝对值的意义⎩⎨⎧<-≥=)0()0(a a a a a二是根据绝对值的性质：a x a x a x a a x >⇔<<-⇔<.,或a x -<， 解答：去掉绝对值号得3310432<--<-x x ， ∴原不等式等价于不等式组⇒⎪⎩⎪⎨⎧<-->-⇒⎪⎩⎪⎨⎧<----<-06104010433104310432222x x x x x x x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-><⇒⎩⎨⎧<+->-.321,2500)12)(3(20)52(2x x x x x x x 或 ∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<<<-325021x x x 或．例4解不等式242+<-x x解法一：原不等式⎪⎩⎪⎨⎧+<-<-⎪⎩⎪⎨⎧+<-≥-⇔240424042222x x x x x x 或 即⎩⎨⎧>-<<<-⎩⎨⎧<<--≤≥1222222x x x x x x x 或或或∴32<≤x 或21<<x 故原不等式的解集为{}31<<x x ．解法二：原不等式等价于 24)2(2+<-<+-x x x即⎪⎩⎪⎨⎧+->-+<-)2(42422x x x x ∴312132<<⎩⎨⎧-<><<-x x x x 故或． 4、含参数二次不等式例5 设R m ∈，解关于x 的不等式03222<-+mx x m ．解：当0=m 时，因03<-一定成立，故原不等式的解集为R ． 当0≠m 时，原不等式化为0)1)(3(<-+mx mx ；当0>m 时，解得m x m 13<<-； 当0<m 时，解得mx m 31-<<．∴当0>m 时，原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-m x m x 13； 当0<m 时，原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<m x m x31． 练习 解关于x 的不等式0)(322>++-a x a a x ．解：原不等式可化为0))((2>--a x a x ．(1)当2a a <（即1>a 或0<a ）时，不等式的解集为：{}2a x a x x ><或； (2)当2a a >（即10<<a ）时，不等式的解集为：{}a x a x x ><或2； (3)当2a a =（即0=a 或1）时，不等式的解集为：{}a x R x x ≠∈且．说明：对参数进行的讨论，是根据解题的需要而自然引出的，并非一开始就对参数加以分类、讨论．比如本题，为求不等式的解，需先求出方程的根a x =1，22a x =，因此不等式的解就是x 小于小根或x 大于大根．但a 与2a 两根的大小不能确定，因此需要讨论2a a <，2a a >，2a a =三种情况．5、无理不等式例6 解关于x 的不等式)0(122>->-a x a ax ．分析：先按无理不等式的解法化为两个不等式组，然后分类讨论求解． 解：原不等式⎪⎩⎪⎨⎧->-≥->-⇔;)1(2,01,02)1(222x a ax x a ax 或⎩⎨⎧<-≥-.01,02)2(2x a x由0>a ，得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+++-≤>⇔;01)1(2,1,2)1(22a x a x x a x ⎪⎩⎪⎨⎧>≥⇔.1,2)2(x a x 由判别式08)1(4)1(422>=+-+=∆a a a ，故不等式01)1(222<+++-a x a x 的解是a a x a a 2121++<<-+． 当20≤<a 时，1212≤-+≤a a a ，121>++a a ，不等式组(1)的解是121≤<-+x a a ，不等式组(2)的解是1>x ． 当2>a 时，不等式组(1)无解，(2)的解是2a x ≥． 综上可知，当20≤<a 时，原不等式的解集是[)+∞-+,21a a ； 当2>a 时，原不等式的解集是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,2a ． 练习： 解不等式x x x ->--81032．分析：无理不等式转化为有理不等式，要注意平方的条件和根式有意义的条件，一般情况下，)()(x g x f ≥可转化为)()(x g x f >或)()(x g x f =，而)()(x g x f >等价于：⎩⎨⎧<≥0)(0)(x g x f 或⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥2)]([)(0)(0)(x g x f x g x f ． 解：原不等式等价于下面两个不等式组： ① ⎩⎨⎧≥--<-0103082x x x② ⎪⎩⎪⎨⎧->--≥--≥-222)8(103010308x x x x x x由①得⎩⎨⎧-≤≥>258x x x 或，∴8>x由②得∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤≥≤.1374258x x x x 或 81374≤<x ，所以原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>≤<881374x x x或 即为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>1374x x ． 说明：本题也可以转化为)()(x g x f ≤型的不等式求解，注意：⎪⎩⎪⎨⎧≤≥≥⇔≤2)]([)(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f ， 这里，设全集}52{}0103{2≥-≤=≥--=x x x x x x U 或，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤--=x x x x A 81032，则所求不等式的解集为A 的补集A ，由2)8(10301030881032222-≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧-≤--≥--≥-⇔-≤--x x x x x x x x x x 或13745≤≤x ．即⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤=137452x x x A 或， ∴原不等式的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=1374x x A ．6、二次不等式与二次方程的关系例7 已知不等式02>++c bx ax 的解集是{})0(><<αβαx x ．求不等式02>++a bx cx 的解集．解：(解法1)由题可判断出α，β是方程02=++c bx ax 的两根， ∴ab-=β+α，ac =β⋅α．又02>++c bx ax 的解集是{}β<<αx x ， 说明0<a ．而0>α，0>β000<⇒>⇒>αβ⇒c a c， ∴0022<++⇔>++cax c b x a bx cx ．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--==--=+-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅-=+),1)(1(1,11βααββααββαβαβαa c c b a c ab ∴02<++cax c b x ，即0)1)(1()11(2<β-α-+β-α-+x x ，即0)1)(1(<β-α-x x ．又β<α<0，∴β>α11，∴0)1)(1(<β-α-x x 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧α<<β11x x． (解法2)由题意可判断出α，β是方程02=++c bx ax 的两根， ∴ac=β⋅α． 又02>++c bx ax 的解集是{}β<<αx x ，说明0<a ． 而0>α，0>β000<⇒>⇒>αβ⇒c ac． 对方程02=++a bx cx 两边同除以2x 得0)1()1(2=+⋅+⋅c xb xa ． 令xt 1=，该方程即为02=++c t b t a ，它的两根为α=1t ，β=2t ， ∴α=11x ，β=21x ．∴α=11x ，β=12x ，∴方程02=++a bx cx 的两根为α1，β1． ∵β<α<0，∴β>α11． ∴不等式02>++a bx cx 的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧α<<β11x x．练习 1若不等式1122+--<++-x x b x x x a x 的解为)1()31(∞+-∞，，Y ，求a 、b 的值． 答案：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2325b a ．2不等式022<-+bx ax 的解集为{}21<<-x x ，求a 与b 的值．答案：∴1=a ，1-=b ．课后练习一、填空与选择题1、(1)(12)0x x -->的解集是 ；2、2654x x +<的解集为__________；3、2310x x -++>的解集是 ；4、2210x x -+≤的解集是 ；5、245x x -<的解集是 ；6、已知(1)(1)0ax x -->的解集是 ；{|12}x x x <>或，则实数a 的值为 ；7、不等式220ax bx +->的解集是(1,2)，则22a b +的值等于 ；8、方程220x bx ++=有两个负根，则实数b 的取值范围是 ；9、若x =1在不等式2220k x kx +-<的解集内，则k 的取值范围是 ； 10、已知集合2{|4}M x x =<，2{|230}N x x x =--<，则集合M N I = ；11、“1x >”是“2x x >”的 条件（选填：“充分不必要、必要不充分或充要”）；12、2110(1)x a x a a ⎛⎫-++<> ⎪⎝⎭的解为_____；13、不等式220mx mx +-<的解集为R ，则实数m 的取值范围为 ；14、不等式组()()()250x x x x a --≤⎧⎪⎨-≥⎪⎩与不等式()()250x x --≤同解，则a 的取值范围是____；15．若f x x ax ()=-+21有负值，则a 的取值范围是 ( )（A ）a >2或a <-2 （B ）-<<22a（C ）a ≠±2 （D ）13<<a16、二次函数1)3(2+-+=x a x y 的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为1x 、2x ,且21<x , 22>x ,则a 的取值范围是( )（A ）15a a <>或 （B ）21<a （C ）152a a <->或 （D ）121<<-a二、解答题：17、已知集合2{|280}A x x x =--<，{|0}B x x a =-<①当A B φ=I 时，求a 的取值范围；②当A B ⊆时，求a 的取值范围；18、解关于x 的不等式()a R ∈2220x ax a --<；19、关于x 的不等式2680mx mx m +++≥在R 上恒成立，求m 的取值范围；20、要在长为800米，宽为600米的一快长方形地面上进行绿化，要求四周种花卉（花卉的宽度相等），中间种草皮，要求草皮的面积不少于总面积的一半，求花卉宽度的范围。