内容提要
简单的拉、压超静定问题
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§7—7 简单的 拉、压超静定问题
一、静定与超静定问题 1、静定问题: 杆件的轴力可以用静力平衡条件求出，这种情况 称作静定问题。 2、超静定问题: 只凭静力平衡方程已不能解出全部未知力， 这种情况称做超静定问题。
3、超静定的次数: 未知力个数与独立平衡方程的数目之差, 称作超静定的次数。
F
A F N 3(l cos )
E3 A3
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D
A
A
FN3
3、补充方程
B
D
C
3
1
FN3
2
A A
F
(F F N 3)l
2 EA cos 2
F
N 3(l cos )
E3 A3
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D
B
D
C
3
1
FN3
2
A
A
A A
F
FN3
FN3 1 2
F EA
cos3
E3 A3
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二、超静定问题的基本解法
例题1：两端固定的等直杆AB横截面积为A，弹性模量为E，在C
点处承受轴力 F 的作用，如图 所示 。计算约束反力。
A a
C
F
B
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A a
C
F
B
FA
A
C
F
B
FB
这是一次超静定问题
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A a
C
F
B
A
A
C
F
B
基本系统
C
F
B
FB
相当系统
1、解除多余约束（如选 B 端的约束为多余约束 )， 代以反力FB，得超静定系统的 相当系统。
例题2另解： 设1、2、3三杆用铰链连结，L1 = L2 = L， A1 = A2 = A , E1 = E2 =E ,3 杆的长度 L3,横截面积 A3,弹性模量 E3,试求在 沿铅垂方向的外力P作用下各杆的轴力。
分析：
这是一次超静定问 题，必须建立一个 补充方程。
B
DC
1
3
2
A P
y
FN1 FN 3
FN 2
αα
x
A P
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B
DC
1
3
2
A P
y
FN1 FN 3
FN 2
αα
x
A P
解： 1、静力方面由平衡方程：
Fx 0 FN1 sin FN 2 sin 0
(1)
Fy 0 FN1 cos FN 2 cos FN 3 P 0 (2)
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B
DC
1
A1
A'
3、物理方面：
l1
FN 1l EA
l3
FN 3l3 E3 A3
FN 3l cos
E3 A3
代入 Δl1 Δl3 cosα
补充方程：
FN 1
FN 3
EA E3 A3
cos2
(3)
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B
DC
1
3
2
A P
y
N3 N2 N1
αα
A P
13 2
B
Fa l
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BF BFB 0
A a
C
F
B
A
C
F
B
FB
C
(F
F B)a EA
Fab lEA
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例题2：设 1、2、3 三杆用铰链连结，l1 = l2 = l， A1 = A2 = A, E1 = E2 = E ,3 杆的长度 l3 ,横截面积 A3 ,弹性模量 E3 。 试求在沿铅垂方向的外力 F 作用下各杆的轴力。
A C
P B
a
y
(b)
RA
A
C P
解：杆的受力情况如 图 b所示。
Y 0 RA RB P 0
这是一次超静定问题。
B
RB第19页/共38页
(a) A C
P B
a
y RA (b)
A A
C
C
C1
P
B
B
(c)
lAC cc1 lCB cc1 lAC lCB
RB 1、变形方面：变形相容条件是：杆的总长度不变
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A a
C
F
B
A
C
F
B
FB
2、位移条件：相当系统多余未知力作用处位移与原超静定系统
的相同。
B 0
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A C
F
B
3、几何条件
A a
C
F
B
FB
BF BFB 0
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B 0
A C
F
B
4、补充方程 解得
A a
C
F
B
FB
Fa F B l 0 EA EA
F
FN1
FN3
FN2
αα
A
P
FN3 1 2
F EA
cos3
E3 A3
F ( EA )cos2
F
N1
F
N
2
1
E3 A3 2 EA
cos2
E3 A3
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例题1另解：两端固定的等直杆AB横截面积为A，弹性模
量为E，在C点处承受轴力P的作用，如图 a 所示 。求A处和 B处的约束反力。
(a)
l AC
RAa EA
B
lCB
RBb EA
RA
Pb l
RB
Pa l
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一、静力方面：列出静力平衡方程。 二、变形几何方面：根椐变形几何相容条件建立变形几何方 程。变形几何方程的个数与超静定次数相等。 三、物理方面：将变形与力之间的关系（胡克定律）代入 变形几何方程得补充方程。
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变形几何方程为： lAC lCB
2、物理方面：根据胡克定律
l Pl EA
lACRAaຫໍສະໝຸດ EAlCBRBb EA
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(a) A C
P B
补充方程为
3、静力方面 由平衡方程
a
y RA (b)
A
C
P B
RB
RAa RBb EA EA
RA RB P 0
(c)
A
lAC lCB
C
C1
B
D
C
3 1
2
A
F
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B
D
C
3 1
2
A
FN1
FN3
FN2
αα
A
F
F
这是一次超静定问题。
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B
D
C
B
D
C
3
1
FN1
2
A
FN3
αα
A
3
FN2
1
FN3
2
A
F
P
F
1、解除多余约束（如选 3 杆为多余约束 )，代以反力 FN3， 得超静定系统的 基本（相当）系统。
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D
B
D
C
3
1
FN3
2
A
A
A A
F FN3
2、位移条件：由杆 1 和杆 2 构成的杆系在 ( F - FN3 )作用下节 点 A 的位移 A ，应等于杆 3 在 FN3 作用下节点 A 的位移 ‘A
A A
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D
A
A
FN3
A
(F 2EA
F N 3)l
cos2
B
D
C
3
1
FN3
2
A A
3
2
B
DC
1
3 2
13 2
A Δl1
y
A FN1 FN 3
FN 2
A
P
αα
x
A'
A
Δl3
A2
A1
A'
P
2、变形几何方面： 变形的几何相容条件是：变形后三杆仍铰结在一起
变形几何方程为： l1 l3 cos
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B
DC
1
3
2
A P
y
N3 N2 N1
αα
A P
13 2
A Δl1
x Δl3 A2
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4、多余约束：多于维持平衡所必需的支座或杆件。 5、多余未知力 : 与多余约束相应的支反力或内力。
B
C
D
E
2 1
3 4
A F
FN2 FN1
A
B
FN3 FN4
F
C
D
E
2 1
3 4
A F
这是二次超静定问题 可将 AC，AD 杆看作多余约束 FN2 ， FN3 为相应的多余未知力
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