1
sin 0
3
Y 0 F 1cos F 2cos F
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P 0
（1）
材料力学 变形几何方程：
第六章 超静定问题
L1 L3 cos
物理方程：
B （2） 1 3
D
C 2

A
FN 1 L1 L1 E1 A1
FN 3 L3 L3 E3 A3
（3）
Δ L2
Δ L3
补充方程：
FN1 2FN 2 FN 3 0
（4）
材料力学
FN1 a A P
第六章 超静定问题
FN2 a B FN3
1 A P
a
2
a
3 B
FN 1 FN 2 FN 3 P 0
联解（1）、（4）式得：
5 FN 1 P 6
F
2
FN 2 a FN 3 2a 0
（3）
L2
联解（1）、（2） 、（3）式得：
L3
A1
L1
FN 1 FN 2
P E3 A3 2 cos E1 A1 cos2
FN 3
P E1 A1 1 2 E3 A3 cos3
解答表明，各杆的轴力与其本身的刚度其它杆的刚度之比有关 。 河南理工大学万方科技学院
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支座B有一微小距离，
又该如何计算？
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第六章 超静定问题
例6-2 1、2、3三杆用铰链连接如图，3杆长度和各杆刚度 如图所示。求：外力P 作用下，各杆的内力。
FN3 FN1
解： 平衡方程：
B
D 1 EA

A P
FN2
E3A3 2 EA
C
L

P
3
A
X 0 F 2sin F
(1)
⑵
a A
RA A
l AC lBC
物理方程：
RA a l AC EA
RB b l BC ⑶ EA
⑷
l b
C
P
B
P B RB
⑶代人⑵，得补充方程
RA a RB b
联解⑴、⑷得：
b a RA P , RB P l l
注意：比例分配关系。
思考：如杆件下端与
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第六章 超静定问题
(b)
此时有3个未知内力FN1 、FN2 、FN3，但只有两个独立 的平衡方程── 一次超静定问题。
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第六章 超静定问题
2.求解方法和步骤：
对拉压超静定问题，主要目标是求解未知的轴力。单 凭静力平衡方程不能求解全部未知力，必须从变形几何相 容条件、物理关系和静力学平衡条件三方面入手，才可使 超静定问题得以求解。
例6-5 图示为一平面桁架，各杆刚度相同。求各杆的轴力 。
30
o
1
B 3
2
30o
FN N4 4
FN N3 3
FN N5 5
FN1
FN2
B
4
30o 30o
5
A P
FN N3 3
A P
由对称性，有 由A点平衡 由B点平衡
FN1 FN 2
FN 1 2FN 2 FN 3 0
3
（拉）
1 P （拉） F 3
1 P （压） 6
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第六章 超静定问题
FN1 a
注意：受力图与变形图必 须一致！
FN2 a
FN3 B
A PΔ L2
L3 Δ
此时，变形协调条件变为
L1 Δ
ΔL2=(ΔL1-ΔL3)/2
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第六章 超静定问题
第六章 超静定问题
§6-1 超静定问题及其解法 §6-2 拉压超静定问题 §6-3 扭转超静定问题 §6-4 弯曲超静定问题
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第六章 超静定问题
§6-1 超静定问题及其解法 1. 拉压超静定问题引例
(a)
(b)
图a所示静定杆系,为减小杆1、2中的内力或节点A的 位移，而增加了杆3 ，构成超静定杆系(如图b) 。
第六章 超静定问题
例6-3 如图所示刚性梁AB由1 、2、3杆悬挂，三杆的刚度均 为EA，长度均为l 。求P力作用 下三杆的轴力。 解： 平衡方程
1 A P
a
2
a
3 B
Y 0
F
1
FN1
2
FN2 a a
FN3 B
F
A
F
3
P 0
（1） A
P
M
F
0
a F
2a 0
假设均受拉力。
L2 2L1 变形关系: cos30
cos30 2a P 2a 0 2
物理关系: L1 联立解出:
FN 1 L EA
L2
F
2
FN 2
L cos30 EA
4P F 1 23 3
6P 23 3
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第六章 超静定问题
§6-2 拉压超静定问题 一、拉压超静定问题解法 例6-1 图示杆抗拉刚度EA，
求杆端的支反力。 解： 平衡方程：
a l A
RA A
RA RB P 0
变形几何相容方程：
(1)
C
C P
b
P
B
B RB
l AC l BC
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(2)
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第六章 超静定问题
RA RB P 0
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第六章 超静定问题
变形几何相容方程：
l1 l3 2l2
即
1 A P
Δ L1
a
2
a
3 B
l1 2l2 l3 0（2）
物理方程：
FN 1l l1 EA
FN 2l l2 EA
FN 3l l3 EA
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解题步骤：
⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ 列静力平衡方程； 根据变形几何相容条件，列变形几何相容方程； 列物理方程（拉压胡克定律） ； ⑶代人⑵，得到补充方程； ⑴与⑷联立求解，即可求出所有未知力； 按题目要求进一步求解。
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第六章 超静定问题
“多余”约束力数(超静定次数) = 补充方程数(变形几
L1 L3 2(L2 L3 )
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第六章 超静定问题
例6-4 图示结构，AB为刚性梁，1、2两杆刚度相同。 求1、2杆的受力。
1 A a a P l
30
o
2
A FAX FAY
1 a F
FN1 B a aLeabharlann 30oFN2
B
P
平衡方程: m 0 F
何相容条件数)，因而任何超静定问题都是可以求解的。
3. 注意事项
(1) 超静定问题求解的关键在于列出变形几何相容方 程，所以除受力图外，还要画出变形图。对拉压超静定 问题，同一杆是拉还是压，两图中要保持一致。
(2) 不管伸长还是缩短，变形量一律取其大小。 河南理工大学万方科技学院
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第六章 超静定问题