连续信号与系统的频域分析
行分解。
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3.1 引言
利用这种方法来分析信号和系统，称为信号和系统的频域分析。 频域分析法不但简化了对系统响应的求解，而且揭示了信号与系统 的频域性质，为人们提供了在频域上进行分析、设计系统的另一途 径。
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3.2 信号分解为正交函数组合
1． 函数（信号）正交定义式
任意两个实函数
第3章 连续信号与系统的频域分析
3.1 引言 3.2 信号分解为正交函数组合 3.3 周期信号的分解——傅立叶级数 3.4 非周期信号的分解——傅里叶变换 3.5 付里叶变换的性质 3.6 傅里叶变换的应用
3.1 引言
分析线性系统的基本任务在于求解系统对于输入信号的响应。 在第2章里读者已经看到，连续信号可以表示为基本信号如阶跃函数 或冲激函数的线性组合。在时域分析中，就是以冲激函数为基本信 号，把任意信号分解为一系列加权的冲激信号之和，而系统的零状 态响应是输入信号与冲激响应的卷积。
f (t) c0 cn cos(n1t n )
n1
或 f (t) d0 dn sin(n1t n )
n1
3．傅立叶级数存在的充分条件
傅立叶级数存在的充分条件
周期信号f(t)须满足“狄利赫利”条件，即
1）一个周期内仅有有限个间断点；
2）一个周期内仅有有限个极值；
3）一个周期内绝对可积，即 t0 T1 f (t) dt t0 上一页 下一页 返回
gi
(t)g
j
(t)dt＝K0
i j i j
则称此实函数集合在区间（ t1, t2 ）的正交函数集合。如果
K=1，称此实函数集合为归一化正交函数集合。
复函数集合 1(t),2(t),,N (t) 如果是在区间 t1,t2 正交的，
则应满足关系式
t2 t1
i
(t)
j
(t)dt
0 K
i j i j
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3.3 周期信号的分解——傅立叶级数
2．傅里叶级数的系数求解
1) 偶函数信号(f(t)=f(-t))
4
an T1
T1
2 0
f (t) cos(n1t)dt
bn 0
2）奇函数信号(f(t)=-f(-t))
a0 0，an 0
bn
4 T1
T1
2 0
f (t) sin(n1t)dt
7．虚指数函数
虚指数函数 e j0t 是具有虚指数 j0t 的无时限信号，由傅里 叶变换定义式可知，
F e j0t e j0t e jt dt e j0 t dt
2 0
8．高斯脉冲
高斯脉冲或称钟形脉冲它的表达式为
其
f
(t)
Ae
t
2
t
F
j
f
t e jt dt A
0
1
e(a j )t
(a j)
0
(a
1 j)
e(a
j )t
0
1 1 2a a j a j a2 2
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3.4 非周期信号的分解——傅里叶变换
3．矩形脉冲信号的傅里叶变换
F
()
A
Sa
2
4．符号函数的傅里叶变换
符号函数：
1
sgn(t)
0
1
t0
eat
t 0 t0
F1( j)
eat (t)e jtdt
ea jt dt
0
1 a j a j a2 2
2．双边指数信号的傅里叶变换
偶双边指数：f (t) ea t
其傅里叶变换为：
F ( j) f (t)e jtdt
(a 0)
ea t e jt dt
0 eate jt dt eate jt dt
3）奇谐函数信号 f (t) f (t T1 )
2
奇谐函数信号：若波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴上
下反转，此时波形并不发生变化，即满足：
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3.3 周期信号的分解——傅立叶级数
a0 0
n为偶数 an bn 0
n为奇数
an
4 T1
T1
2 0
f (t) cos(n1t)dt
示，这种图就称为频谱图。图中每一条谱线代表一个谐波分量，谱
线的高度代表这一正弦分量的振幅，谱线所在的横坐标的位置代表
这一正弦分量的频率，这种频谱，因为它只表示出了各分量的振幅，
所以称为振幅频谱。
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3.3 周期信号的分解——傅立叶级数
有时把分量的相位的用一个个线段代表并且排列成谱状，这样 的频谱就称为相位频谱。下面以周期矩形脉冲信号的频谱图为例说 明。
lim
a
eat
t0 t0sgn(t)Fra biblioteklim
a0
eat
(t)
eat
(t
)
因此它的傅立叶变换为
F
j
lim
a0
F
a
1 j
a
1 j
2 j
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3.4 非周期信号的分解——傅里叶变换
5．冲激函数的傅里叶变换
单位冲激函数 (t) 是一个实偶函数，其付氏变换也应该是一个
实偶函数。
3.3 周期信号的分解——傅立叶级数
4．基波、谐波
或应的d1通sin常把1t 频率1 为称或为f1 基T1波分2n1量f1。称同为称理基为，波n频次或率谐一波次波谐称分波为量，cn。1次cdon 谐ssin波1tn其t 对1 n
cn cosnt n 5．幅度谱、相位谱
用一些长度不同的线段来分别代表基波、二次谐波、三次谐波 等等的振幅，然后将这些线段按照频率高低依次排列起来如图3-1所
周期信号的特点，具有离散性、谐波性、收敛性.
3.3.2 指数形式的傅里叶级数
1．指数形式的傅里叶级数
设f(t)为任意周期信号（周期
T1
，角频率
1
2 T1
）
则其可展开为指数形式的傅立叶级数。
f (t)
Fne jn1t
n
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3.3 周期信号的分解——傅立叶级数
2．指数形式表示的信号频谱--复数频谱 下面以周期性矩形脉冲的幅度频谱和相位频谱为例来看看它的 特点。由于Fn一般是复函数，所以称这种频谱为复数频谱。
为 , ，即要求信号f(t)在区间绝对可积，则有
F( j)
f (t) e jtdt
f (t) dt
3.4.4 常用信号的傅里叶变换
1．实指数函数的傅里叶变换
f1(t) eat (t) (a 0) 由定义式可算出 f1 t 的频谱密度函数
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3.4 非周期信号的分解——傅里叶变换
F j
(t)e jtdt
1
6．直流信号
如图3-21所示，设f(t)=1的付氏变换为 F j
变换定义式有
f (t) 1 F j e jtd 1
2
，则由其反
考虑到 (t) 是偶函数，则可得
F 1 F j e jtdt 2
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3.4 非周期信号的分解——傅里叶变换
完备正交函数集包含无穷多个函数。
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3.3 周期信号的分解——傅立叶级数
将任意周期信号在三角函数或复指数函数组成的完备正交函数
集 sin n0t,cos n0t , n 1, 2,, 或{ e jn0t , n 0, 1, 2,, }分解而得到
的级数统称为傅立叶级数
3.3.1 三角函数形式的傅里叶级数
3.3.3 三角函数形式的傅立叶级数与指数形式傅 立叶级数的关系
三角函数与虚指数函数有密切的关系，根据欧拉公式，有
cos n1t
e jn1t
e 2
jn1t
sinn1t
e
jn1t
e 2j
jn1t
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3.3 周期信号的分解——傅立叶级数
故三角型傅立叶级数和指数型傅立叶级数实质上是同一种级数
1．一种三角函数形式的傅里叶级数
设f(t)为任意周期信号(周期 T1
,角频率
1
2 T
)
则其可展
开为三角函数形式的傅立叶级数
f (t) a0 an cos(n1t) bn sin(n1t) n1
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3.3 周期信号的分解——傅立叶级数
2．另一种三角函数形式的傅里叶级数
f(t)展开为常用形式
3.4.1 从傅里叶级数到傅里叶变换
f (t) 1
2
f (t)e jtdt e jtd
上式方括号中的部分是参变量 的函数，记为 F j ，即
F j f (t)e jtdt
代入上式 f (t) 1 F je jtd
2
这就是著名的傅里叶变换。常记作 F j F f (t)
4
bn T1
T1
2 0
f (t)sin(n1t)dt
其傅立叶级数三角展开式中仅含基波和奇次谐波。
4）偶谐函数信号 f (t) f (t T1 )
2
偶谐函数也是周期性函数，它的任意半个周期的波形与前半个
周期的波形完全相同，这种函数中只包含偶次谐波分量。
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3.4 非周期信号的分解——傅里叶变换
e e dt
t
2
jt
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3.4 非周期信号的分解——傅里叶变换
9．阶跃信号
单位阶跃信号 t 可用直流信号和符号函数表示如下
(t) 1 1 sgn(t)
22
由此可确定其频谱密度函数为
F (t) () 1
