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dy p x y dx
dy q x dx
y1 x ce
p x dx
+
y2 x q x dx
y ce
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n n 1 n n 1
常数变易法与迭加原理
dnx d n1 x dx a1 n 1 … an 1 an x f1 (t ) f 2 (t ) dt n dt dt
将上述结果进行求导：
y
1 2 x c2 4
y x2
(c2为任意常数)
dy x 2ec1 x dx 2
e c1
dy 2 x y dx x 2
除此之外，上述方法还具有更强的简易性与广泛性。当方程右端为多个 式子组成的更复杂的函数时，我们仍然可以使用此方法得到通解。
例题2：
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y e
p x dx
p x dx (c q x e dx)
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常数变易法的本质
解法：
dy y g 齐次方程： dx x
n阶常系 数非齐次 线性方程
x (t )
x1 t x2 t
+ + 通解
dy p x y q x 这种形式的方程与我们所研究的一阶线性非齐次常微分方程 dx
有某种程度的相似性 我们是否可以按上 述方法将其分解为 两个方程分别求解 ，最终得到通解呢 ？
经过推导，验证了我们的猜想。具体过程如下：
y c x e
p x dx
y e
p x dx
p x dx (c q x e dx)
常数变易与变量代换是相互渗透相互联系的
齐次的或可化为齐次的方程中所代换的是一个变量
而一阶线性非齐次常微分方程中，由于方程的复杂性， 因此被代换的是一个表达式
步骤一： 步骤二： 设
y ux
此时，u已被视为x的函数
dy du ux dx dx
dy 将 dx 代回原式，就得到关于u与x的方程，从而求解
u
y x
c
p x dx y ce
p x dx ye
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
可见，通过此方法求得的结果与常数变易法结果实质上是一致 的。我们也可以通过实际例题来加以验证，结论亦成立。
• •
例题1：
dy 2 x y dx x 2
dy 2 y dx x
y ec1 x 2
+
(c1为任意常数）
dy x dx 2
p x dx
q x dx
y e
变形： y ce
y ce
p x dx
p x dx (c q x e dx)
p x dx
e
p x dx
p x dx q x e dx
p x dx

p x dx p x dx 1 q x e d e p x
d nx d n1 x dx a1 n1 an1 an x f1 (t ) n dt dt dt
d nx d n1 x dx a1 n1 an1 an x f 2 (t ) dt n dt dt
……
x1 t
x2 t
……
d nx d n1 x dx a1 n1 an1 an x f m (t ) dt n dt dt
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浅析常数变易法
南开大学 经济学院 06级金融学系 张婷
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xn t
各方程特解与齐次方程通解的代数和即为原n阶非齐次方程的通解
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由此，对于最初所研究的一阶线性常微分方程，又增 加了一种十分重要的解法。虽然结果形式上不同，但本质 相同。 形式不同的结果之间只相差一个常数。
p x dx dy dc x p x dx e c x p x e dx dx
• •
dy du ux dx dx
此时，二者的本质相同，只是常数变易法中的变量代换更为复杂，不易辨别。 常数变易法的目的是将原方程变换为只含 c x 与 x 的方程。从而求出 c x
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常数变易法是求解一阶非齐次线性常微分方程的重要方法，即将常数 变易为待定函数，通过求解待定函数的表达式进而求出原方程通解 例如：
dy p x y q x dx dy p x y dx
解法：
p x dx y ce
c x
p x dx y c x e
y e
y x c4
四式代数和即为原方程通解！此方法大 大简化了运算过程，从而降低了运算量 ！
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dnx d n1 x dx a1 n1 … an1 an x f1 (t ) f 2 (t ) … f m (t ) dt n dt dt
y ce
y ce
p x dx

p x dx 1 q x d ln e p x
p x dx

1 q x d p x

p x dx

p xdx q x dx y ce
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d n 1 x dx 解法： d n x a1 n 1 … an 1 an x 0 dt n dt dt
d x d x dx a1 ... an 1 an x f1 t n n 1 dt dt dt d x d x dx a1 … an 1 an x f 2 (t ) n n 1 dt dt dt
dy ( x 1) 2 (4 y 1) 2 8 xy 1 dx dy ( x 1) 2 dx dy (4 y 1) 2 dx
• •
1 y ( x 1)3 c1 3
y
1 1 16( x c2 ) 4
4x2 c3
dy 8 xy dx dy 1 dx
• 着力去挖掘隐藏在结论背后的理论与方法 间 本质的联系 • 数学的魅力在于探求结果过程中 逻辑思 维 的运用，联想能力 的拓展与 锲而不舍 的钻研精神 三者的融会贯通 • 学会的不仅是一种方法，而是一种 思想 • 数学之中体现 哲学真理 • 不断 尝试，不断 求索，就会加深理解， 拓宽思维的深度与广度