2k
6k +
1
=
-
1. 所以 k = 1 或 k =
1 3
,
所以所求的直线
方程为: y = x + 2 或 y =
1 3
x
+
2.
巧用常数变易法解题
王 辉 (陕西省咸阳市南郊高级中学 712046) 李政谦 (陕西省三原县南郊高级中学 713800)
在求解某些题目的过程中, 善于在几种 知识的交融点处去联想、发散, 并合理地用变 量 去代换常数或分解常数, 使其变成具有实 际 模型意义的常用曲线方程或区域关系, 并 利用其性质来解题, 往往使问题简单化、明了 化, 下面列举几个常见类型加以阐述. 1 在方程中的应用
8y - 6x + 50 + 8y + 6x + 50 的最大值. 分析 仔细观察已知式中的“25”与函
数 式中根号内的“50”的关系, 启发我们将 “50”变换为“25 + 25”, 将其中的一个“25” 用“x 2 + y 2”代替, 就可以得到如下的解法.
解 变换原函数得 t =
8y + 6x + 50 + 8y - 6x + 50
+ (x - 3) 2 + 2 = 10, 将方程中的常数“2”看作变量, 即令 2 =
y 2, 则 (x + 3) 2 + y 2 + (x - 3) 2 + y 2
= 10.
由 椭圆的定义可知, 这个方程表示以
F 1 (- 3, 0) , F 2 (3, 0) 为焦点, 长轴长为 10 的
椭圆,
+
c=
1, 求证: a2 +
b2 +
c2 ≥
1 3
.
证明 利用常数变换的方法并由基本
不等式得:
a2 +
1 3
2
≥
2 3
a,
b2
+
1 3
2
≥
2 3
b,
c2
+
1 3
2
≥
2 3
c.
∴a2 +
b2 +
c2
≥
2 3
(a +
b+
c)
-
1 3
=
13 .
即 a2 +
b2 +
c2 ≥
1 3
(仅当 a
=
b=
c
时取等号).
=
x 2 + y 2 + 8y + 6x + 25 +
x 2 + y 2 + 8y - 6x + 25
=
(x + 3) 2 + (y + 4) 2
+
(x - 3) 2 + (y + 4) 2. 上式表示圆 x 2 + y 2 = 25 上的动点 P (x ,
y ) 到此圆上的定点 A (- 3, - 4) 及 B (3, - 4) 的距离之和. 求 t 的最大值, 转化为求 △A PB 的周长的最大值. 易知当 △A PB 为 等腰三角形时, 其周长最大, 这时 P 点的坐标 为 (0, 5) , 即 x = 0, y = 5 时, tmax = 6 10.
4 在三角中的应用
例 6 设 9co s A + 3sin B + tan C = 0,
(1)
sin2B - 4co s A tan C = 0,
(2)
求证: co s A ≤ 16. 证明 在 (1) 式中, 视“3”为变量 x , 则 (1) 式化为
x 2co s A + x sin B + tan C = 0, (3)
若 co s A = 0, 则不等式 co s A
≤1成 6
立;
若 co s A ≠ 0, 则由 (2) 知 (3) 式 (关于 x
的二次方程) 的判别式为 0,
∴ 关于 x 的方程 x 2co s A + x sin B +
tan C = 0 有两个等根 x 1 = x 2 = 3.
∴x 1x 2 =
4. 将上述两方程均化为关于 x - 1, y - 2 的
方程, 得到
y - 2 = k (x - 1) + k,
(1)
4 (x - 1) 2 - 8 (x - 1) - (y - 2) 2 - 2 (y
- 2) = 1.
(2)
由 (1) 得 (y -
2) - k (x k
1) = 1,
由 (2) 得 4 (x - 1) 2 - 8 (x - 1) 1 - (y
例 1 解方程 - x 4 + x 2 - 8x + 16 = 0 (x ∈ R).
解 视“4”为变量 t, 则原方程化为关于 t 的二次方程 t2 - 2x t - (x 4 - x 2) = 0. 根据 求根公式得: t = x ± x 2. 又 ∵ 方程 4 = x +
x 2 的两实根为 x 1, 2 = -
- 2) 2 - 2 (y - 2) 1 = 12. 所 以 4 (x - 1) 2 - 8 (x - 1)
(y -
2) - k (x k
1) -
(y -
2) 2 -
2 (y -
2)
(y - 2) - k (x - 1) k
=
[ (y -
2) - k (x k2
1)
]
2
.
整理, 得
(k2 +
2k +
1)
(y x
-
21) 2 -
(2k 2 -
6k )
yx-
2 1
-
11k 2 = 0.
根 据 韦 达 定 理,
得y 1
x1
-
2 1
+
y2 x2 -
2 1
=
2k 2 k 2 + 2k
6k +
1.
又因为 k PA
+
k PB = -
1, 所以
y1 x1 -
2 1
+
y2 x2 -
2 1
=
-
1,
即
k
2k 2+
2
1± 2
17 , 而方程 4
= x - x 2 无实根, ∴ 原方程的实根为 x 1, 2 =
- 1± 2
17.
例 2 解方程 3x - 4 -
3x - 8 =
2.
分析 去绝对值分类求上述方程的解, 过程较繁, 若根据题目特征另辟蹊径, 构造双 曲线方程, 将会收到事半功倍之效.
解 原方程变形为
x-
4 3
-
x-
8 3
=
2 3
,
x-
4 3
2
+
y2 -
x-
8 3
2
+
y2
=
2 3
(其中 y 2
=
0).
由 双 曲 线 定 义 得: 两 焦 点
4 3
,
0
,
8 3
,
0
之间的距离为 4 3
>
2 3
,
于是方程表示
的双曲线的实半轴、虚半轴、半焦距的长分别
为a =
1 3
,
b
=
3 3
,
c
=学月刊 2004 年第 4 期
结 构特征,
可联想关于y
x
-
2 的二次方程的 1
两 根之和. 于是可朝构造齐次方程模型的方
向求解.
设直线 l 的方程为 y = k x + 2 (k ≠ 0) ,
双曲线方程变形为 4 (x - 2) 2 - (y - 1) 2 =
其方程为x 2 25
+
y2 16
=
1, 再将 y 2 =
2代
入后, 求得原方程的解为 x
=
±
5 4
14.
2 在解不等式中的应用
例 4 解 不 等 式 x 2 + 4x + 8 +
x 2 - 4x + 8 ≤ 6.
解 原不等式可化为 (x - 2) 2 + 22
+ (x + 2) 2 + 22 ≤ 6, 化静为动, 令 y 2 = 22, 得到一个平面区
所
以双曲线为 (x
1
2) 2
-
y2 1
=
1. 令 y =
0, 解
9
3
2004 年第 4 期 中学数学月刊 · 35 ·
得x =
5 3
或
7 3
.
例 3 解 方 程
x 2 + 6x + 11 +
x 2 - 6x + 11 = 10.
解 将原方程变形为 (x + 3) 2 + 2
tan co s
C A
=
9, 即 tan C =
9co s A .
把 tan C = 9co s A 代入 (2) , 得 36co s2A
= sin2B .
又 ∵sin2B ≤ 1, ∴36co s2A ≤ 1, ∴
co s A
≤
1 6
.
5 函数与解析几何的联合应用
例 7 已知 x 2 + y 2 = 25, 求函数 t =
域 (x - 2) 2 + y 2 + (x + 2) 2 + y 2 ≤