积分得
c( x) Q( x)e
p ( x ) dx
p ( x )dx
dx c
~
~
30 故(1)的通解为
ye
( Q( x)e
p ( x ) dx
dx c)
(3)
注 求(1)的通解可直接用公式(3)
例1 求方程
dy ( x 1) ny e x ( x 1) n 1 dx
故对应齐次方程通解为
y c( x 1)
n dx x 1
n
n
p ( x ) dx ce y ce
c( x 1)
其次应用常数变易法求非齐线性方程的通解,
令y c( x)(x 1)n 为原方程的通解代入得 ,
dc ( x) ( x 1) n nc ( x)( x 1) n 1 nc ( x)( x 1) n 1 e x ( x 1) n dx
电路的Kirchhoff第二定律: 在闭合回路中,所有支路上的电压的代数和为零.
解: 设当开关K合上后, 电路中在时刻t的电流强度为I(t),
dI 则电流经过电感L, 电阻R的电压降分别为 L , RI , dt
于是由Kirchhoff第二定律, 得到
dI L RI E. dt 取开关闭合时的时刻为0, 即I (0) 0. dI R E I . 解线性方程: dt L L
x(t ) x(t t ) x(t ) 20 3.08t 1000 t 4000000 20t
因此有 dx
dt 100 x 61.6, x(0) 0. 400000 2t
该方程有积分因子
(t ) exp(
100 dt ) (4000 0.02t )50 400000 2t
通解,这里为n常数
dy n x n y e ( x 1) 解: 将方程改写为 dx x 1 dy n 首先,求齐次方程 y 的通解 dx x 1 dy n dy n y 分离变量得 y x 1 dx 从 dx x 1
两边积分得
ln y n ln x 1 c1
两边同乘以 (t ) 后,整理得 d [ x(4000 0.02t )50 ] 61.6(4000 0.02t )50 dt
积分得
利用初始条件得
3080 (4000 0.02t ) x (400 0.02t )51 C 51
50
3080 51 C (4000) 51
二 伯努利(Bernoulli )方程
形如
dy p( x) y Q( x) y n dx
0
。 的方程,称为伯努利方程. 这里P( x),Q( x)为x的连续函数
解法:
1
引入变量变换 y z
1n
, 方程变为
dz (1 n) P( x) z (1 n)Q( x) dx 20 求以上线性方程的通解
~ dc ( x ) x c( x) e c e x 积分得 即 dx ~ ~ y ( x 1) n (e x c), c 为任意常数 故通解为
dy y 例2 求方程 2 通解. dx 2 x y
解: 原方程不是未知函数 y的线性方程 但将它改写为 ，
dx 2 x y 2 dy y
一阶线性微分方程 dy a ( x ) b( x ) y c ( x ) 0 dx
一 一阶线性微分方程的解法-----常数变易法
10 解对应的齐次方程
得对应齐次方程解 p ( x ) dx , c为任意常数 y ce
dy p( x) y dx (2)
2
0
常数变易法求解
dy P( x) y Q( x) dx
3
0
变量还原
Bernoulli (1654 – 1705)
( 雅各布第一 ·伯努利 )
瑞士数学家, 他家祖孙三代出过十多
位数学家. 1694年他首次给出了直角坐 标和极坐标下的曲率半径公式, 1695年
年提出了著名的伯努利方程, 1713年出版了他的巨著
《猜度术》, 这是组合数学与概率论史上的一件大事,
即
dx 2 x y dy y
p ( y ) dy
它是以x为未知函数 y为自变量的线性方程 , ，
故其通解为
x e
e
p ( y ) dy
( Q( y)e

dy c)
~
2 dy y
( ( y )e

2 dy y
dy c)
~
y 2 ( ln y c), c为任意常数。
3080 4000 故 x(t ) [4000 0.02t 4000( )50 ]. 51 4000 0.02t
x(8760) 223824(kg).
书中给出的伯努利数在很多地方有用,而伯努利定理
则是大数定律的最早形式. 此外, 他对双纽线, 悬链 线和对数螺线都有深入的研究.
例4 求方程
的通解.
dy y x dx 2 x 2 y
2
令z y 2 , 代入方程得 解: 这是Bernoulli 方程, n 1, dz 1 z x2 dx x
~
例3 求初值问题 dy 3 y 4 x 2 1, dx x
的解. 解: 先求原方程的通解
y (1) 1
y e
p ( x ) dx
( Q( x)e
2
p ( x ) dx
dx c)
~
e

3 dx x
( (4 x 1)e


3 dx x
dx c)
~
~ 1 x 3 ( (4 x 2 1) 3 dx c) x
(1)
(将常数c变为x的待定函数 ( x),使它为 1)的解) c (
p ( x ) dx为(1)的解, 则 令y c( x)e
dy dc ( x) p ( x )dx p ( x )dx e c ( x ) p ( x )e dx dx p ( x )dx dc ( x) Q ( x )e 代入(1)得 dx
§1.4 线性方程与常数变易法
在a( x) 0的区间上可写成 dy P( x) y Q( x) (1) dx 这里假设P( x),Q( x)在考虑的区间上是 的连续函数 x 若Q( x) 0, 则(1)变为 dy P( x) y (2) dx (2)称为一阶齐次线性方程
若Q( x) 0, 则(1)称为一阶非齐线性方程
这些废水流入一个湖泊中，废水流入的速率20
立方米每小时. 开始湖中有水400000立方米. 河水中流 入不含盐酸的水是1000立方米每小时, 湖泊中混合均匀 的水的流出的速率是1000立方米每小时, 求该厂排污 1年时, 湖泊水中盐酸的含量.
解: 设t时刻湖泊中所含盐酸的数量为 x(t ), 考虑 [t , t t ] 内湖泊中盐酸的变化.
解以上线性方程得
z e

2
1 dx x
( x e
2


1 dx x
1 3 dx c) cx 2 x 1 3 y cx x 2
2
将z y 代入得所给方程的通解 : 为
二 线路.,由电感L,电阻R和电源所组成的串联电 路,如图所示,其中电感L,电阻R和电源的电动势E均为常数, 试求当开关K合上后,电路中电流强度I与时间t之间的关系.
得通解为:
I (t ) ce
R t L
E R
I (t ) ce
由初始条件 (0) 0得, I
R t L
E R
E c R
故当开关K合上后,电路中电流强度为
E I (t ) (1 e R
R t L
)
例2 湖泊的污染
设一个化工厂每立方米的废水中含有3.08kg盐酸，
~ 1 x ( 4 ln x 2 c) 2x x ~ 3 x 3 ln x 4 c x 2 ~ 将初始条件 (1) 1代入后得 c 3 y 2 3
~ 1 3 2 x ( (4 x 1) 3 dx c) x
故所给初值问题的通解为
3 4
3 3 x y x ln x x 2 2