x Lh书中例题：1.2, 1.6（p.7;p.17）（重点）直杆AB 两端可以分别在两固定且相互垂直的直导线槽上滑动，已知杆的倾角φ＝ωt 随时间变化，其中ω为常量。

求：杆中M 点的运动学方程。

解：运动学方程为： x=a cos(ωt)y=b sin(ωt)消去时间t 得到轨迹方程： x 2/a 2 + y 2/b 2= 1 椭圆运动学方程对时间t 求导数得速度：v x ＝dx/dt ＝-a ωsin(ωt) v y ＝dy/dt ＝b ωcos(ωt) 速度对时间t 求导数得加速度： a x ＝d v x /dt ＝－a ω2cos(ωt) a y ＝d v y /dt ＝－b ω2sin(ωt) 加速度的大小： a 2＝a x 2＋a y 2 习题指导P9. 1.4（重点） 在湖中有一小船，岸边有人用绳子跨过一高处的滑轮拉船靠岸，当绳子以v 通过滑轮时，求：船速比v 大还是比v 小？ 若v 不变，船是否作匀速运动？如果不是匀速运动,其加速度是多少？ 解：l ＝（h2＋x2）1/2221/2122()d l x d x v d t h x d t ==+ 221/2()d x h x v d t x +=当x>>h 时，dx/dt ＝v ，船速＝绳速当x →0时，dx/dt →∞ 加速度：xy M A B a b φx h220d x d t =2221/22221/2221/2221/2221/22221/2()1()11()()1112()2()d x d h x v dt dt x d h x v dt x d dx d h x dx h x v v dx x dt x dx dt dx x dx h x v v x dt x h x dt⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦⎡⎤=∙+⎢⎥⎣⎦+⎛⎫=∙++ ⎪⎝⎭=-∙+++将221/2()d x h x vd t x +=代入得：2221/2221/2221/222221/21()112()()2()d x h x x h x h xv v v v d t x x x h x x++=-∙+++3222232222)(xvh x v v x x h dt x d -=++-= 分析： 当x ∞,变力问题的处理方法（重点）力随时间变化：F ＝f （t ） 在直角坐标系下，以x 方向为例，由牛顿第二定律：()x dv m f t dt =且：t ＝t 0 时，v x ＝v 0 ；x ＝x 0 则：1()x dv f t dt m =直接积分得：1()()x x v dv f t dt mv t c===+⎰⎰其中c 由初条件确定。

由速度求积分可得到运动学方程：2()x x v d t x t c ==+⎰其中c2由初条件确定。

例题：飞机着陆时受到的阻力为F ＝－ct ，（c 为常数） 且t ＝0时，v ＝v 0 。

求：飞机着陆时的速度。

解：根据牛顿第二定律：－ct ＝m dv / dt212c v d v td t mc t c m==-=-+⎰⎰当t ＝0时，v ＝v 0，代入得：v 0＝c 1202c v v tm =-力随速度变化：F ＝f （v ）直角坐标系中，x 方向f （v ）＝m dv ⁄ dt经过移项可得：()d vd t mf v = 等式两边同时积分得：01()()m t t d t d v m d v f v f v -===⎰⎰⎰具体给出f （v ）的函数试就可进行积分运算。

例题：（重点）质量为m 的物体以速度v 0投入粘性流体中，受到阻力f ＝－cv （c 为常数）而减速，若物体不受其它力，求：物体的运动速度。

解：根据牛顿第二定律： 移项变换： －c/m dt ＝dv/v积分得：1ln c d v d t mvct v c m-=-=+⎰⎰由初条件定c1：当t ＝0时，v ＝v 0 ∴0＝lnv 0＋c 1∴ c1＝－lnv 0dvcv m dt -=00l n c t mc v t m v v v e--==力随位移变化：F ＝f （x ） 直角坐标系中，x 方向：()d v d x d v d vf x m m m vd t d td x d x ===经过移项可得：f （x ）dx ＝mv dv等式两边同时积分得：2201()()2f x d x m v d v m v v ==-⎰⎰例题：（重点）光滑的桌面上一质量为M ，长为L 的匀质链条，有极小一段被推出桌子边缘。

求：链条刚刚离开桌面时的速度。

解：链条所受的力F 是个变力：F ＝m(x)g ()Mm x xL =根据牛顿第二定律：M d v d x d v d v x g M M M v L d t d td x d x ===0022122Lv Mg x d x M v d v L M g L M v L v g L ===⎰⎰ 书中例题3.11（p111）（重点）长为L 的匀质链条，一部分在水平桌面上，另一部分自然下垂。

链条与水平面间静摩擦因数为μ0，滑动摩擦因数为μ. 求：1）满足什么条件时，链条开始滑动？ 2）若下垂部分长度为b 时，链条开始滑动，当链条末端刚刚离开桌面时的速度是多少？解：1）最大拉力：ρb 0g ， 摩擦力：μ0ρ(L –b 0)g ρb 0g = μ0ρ(L –b 0)g2)重力和摩擦力做的功分别为：xy L b 0001μμ+=222)(1)()(21b L g dy y L g A b L g gydy A L f Lb g -=--=-==⎰⎰μρμρρρ根据动能定理：书中例题4.4（146）（重点） 已知：质量为M ，长为L 的匀质链条，上端悬挂，下端刚和称盘接触，使链条自由下落。

求：下落长度x 时，称的读数。

解： 称的读数 N ＝mg ＋Fmg 是落在称上的链条的重量，F 是链条 下落时具有速度v 的一小段与称盘碰撞， 速度由v 变成0时给称盘的冲力。

根据动量守恒定律：Fdt ＝dm v －dm 0 dm ＝M/L dx, v 2＝2gx22d m M d x M M F v v v g x d t L d t L L ====23M M M N g x g x g xL L L =+=称的读数是落在称盘上链条质量的3倍。

（参见P82，例题2.14）书中例题6.12 (P.215) （重点）质量为m 的小球系在绳子的一端，绳穿过一铅直套管，使小球限制在一光滑水平面上运动。

先使小球以速度v0绕管心作半径为r0的圆周运动，然后向下拉绳，使小球轨迹最后成为半径为r 的圆。

试求：小球距管心r 时速度v 的大小，绳从r0缩短到r 过程中，力F 所作的功。

解：绳子对小球的作用力 始终通过圆心O ，为有心 力，该力对O 点产生的力矩为0，因此，在整个过程中，质点的动量矩守恒。

mv 0r 0＝mvr∴ v ＝ v 0 r 0 /r随着半径减小，质点的速度增加，动能增加。

动能增加的原因是力F 对小球作了功。

由于系统没有耗散力，作功的结果是使动能增加。

222222200000011111122222r r A m v m v m v m v m v r r ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦书中例题6.2(P.198)（重点）2222222)()(021)(21)(21b L L g b L L g v Lv b L g b L g ---=-=---μρμρρxLF vO求：质量为M ，半径为R ，高h 的圆柱或园盘对过圆心且与盘面垂直转轴的转动惯量。

解：取半径为r ，宽dr 的薄圆环，高h 。

该圆环的质量为：dm ＝ρ2π r h dr ，其中ρ是园盘的密度：2M R h ρπ= 该圆环上各个点到转轴的距离都是r ，∴圆环的转动惯量为：dJ ＝r 2dm整个园盘的转动惯量就是dJ 从0到R 积分：22322RRVJ r d m r r h d r hr dr ρππρ===⎰⎰⎰442201112422|R M h r h R M R R h πρππ===如果是圆环，则积分限从R1积到R2：221122322R R R R VJ r d m r r h d r h r dr ρππρ===⎰⎰⎰这时的密度应为：2221()MR R h ρπ=- 2144422212122211112()()42()2|R R M J h r h R R M R R R R h πρππ==-=+-（1）平行轴定理若有两个轴互相平行，其中一个轴过质心，则：J ＝J c ＋md 2其中J c 为刚体对质心的转动惯量；m 为刚体的质量；d 为两轴的垂直距离。

证明：以转轴为z 轴做坐标系oxyz ；以刚体质心为原点做质心坐标系o’x’y’z’；刚体质心在oxyz 坐标系中的坐标为：x c , y c , z c ,刚体上的任意点在oxyz 坐标系的坐标为：x i , y i , z i ； 该点在质心坐标系o’x’y’z’的坐标为：x i ’, y i ’, z i ’ 以z 轴为转轴，刚体对z 轴的转动惯量为： 22()i i i J m x y =+∑其中x i 和y i 是质点的x 坐标 和y 坐标，且：x i ＝x c ＋x i ’；y i ＝y c ＋y i ’其中x c 和y c 是刚体质心的x 坐标和y 坐标，x i ’和y i ’是质点在质心坐标系中的x’坐标和y’坐标 代入得： xyz z’ x’y’C(x c ,y c ,z c ) d22[(')(')]i c i c i J m x x y y =+++∑2222()2'2'('')i c c ci i ci i i i im x y x m x y m y m x y =+++++∑∑∑∑其中''0i icm x m x ==∑； ''0i icm y m y ==∑表示质心在质心坐标系中的坐标为0 x c 2+y c 2=d 2为质心到转轴的距离；22('')i i i cm x y J +=∑为刚体对过质心转轴的转动惯量。

∴ J ＝Jc ＋md 2例：书中例题6.1求了杆通过中心轴的转动惯量，用平行轴定理，求过端点且与杆垂直的轴的转动惯量。

解：两平行轴的间距为d ＝L/2，根据平行轴定理22221111223c J J m d m l m l ml ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭ 例：过园盘边缘与园盘中心轴平行的轴的转动惯量。

园盘对其中心轴的转动惯量为：1/2 MR2 两轴之间的距离为R ，根据平行轴定理：22221322cI I m d m R m R m R =+=+=这种情况用直接积分比较困难。