一质点在xOy 平面上运动，运动方程为2135,342x t y t t t s x y m =+=+-式中以计，，以计。

以时间t 为变量，写出质点位置矢量的表示式；计算第1秒内质点的位移；计算0t = s 时刻到4t = s 时刻内的平均速度；求出质点速度矢量表示式，计算4t = s 时质点的速度；计算0t = s 到4t = s 内质点的平均加速度；求出质点加速度矢量的表示式，计算4t = s 是质点的加速度。

置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式）解：(1) 质点t 时刻位矢为：j t t i t r⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++=4321)53(2(m)(2) 第一秒内位移 j y y i x x r)()(01011-+-=∆(3) 前4秒内平均速度 )s m (53)2012(411-⋅+=+=∆∆=j i j i t r V(4) 速度)s m ()3(3d d 1-⋅++==j t i t r V∴ )s m (73)34(314-⋅+=++=j i j i V(5) 前4秒平均加速度(6) 加速度)s m ()s m (d d 242--⋅=⋅==j a j tV a2 质点沿直线运动，速度32132()v t t m s -=++，如果当时t=2 s 时，x=4 m,求：t=3 s 时质点的位置、速度和解：23d d 23++==t t txv 当t =2时x =4代入求证 c =－12 即1224134-++=t t t x 将t =3s 代入证1—9 一个半径R= m 的圆盘，可依绕一个水平轴自由转动，一根轻绳子饶在盘子的边缘，其自由端拴一力作用下，物体A 从静止开始均匀加速的下滑，在∆t= s 内下降的距离h= m 。

求物体开始下降后3s 末，轮一点的切向加速度与法向加速度。

解：物体A 下降的加速度(如图所示)为222m/s 2.024.022=⨯==t h a 此加速度也等于轮缘上一点在s3='t 切向加速度，即在s 3='t 时的法向加速度为1—10 一电梯以21.2m s -的加速度下其中以乘客在电梯开始下降后0.5s 时用手在离电梯底板1.5m 高处释放以小球，求此小球落到底板上所需的时地面下降的距离。

2m/s 2.1=a ,s 5.00=t ,m 5.10=h .如图所示，相对南面，小球开始下落时，它和电梯的速度为以t 表示此后小球落至底板所需时间，则在这段时间内，小球下落的距离为 电梯下降的距离为 又 由此得而小球相对地面下落的距离为2 一架飞机从A 地向北飞到B 处，然后又向南飞回到A 处，已知飞机相对空气的速率为v ，空气相对于地面，AB 间的距离为L ,飞机相对空气速度保持不变，求：如果空气静止，飞机飞来回飞行的时间；如果空气的速度方向由南向北，飞机来回飞行的时间；）如果空气的速度方向是由东向南，试证飞机来回飞行的时间222/1uv t L v =- 解：(1) v L v L t 22==(2) 22212uv vL u v L u v L t t t -=++-=+= 习题1-9图 习题1-10图习题1-12图(3) v Lv L t t t '+'=+=21,如图所示风速u 由东向西，由速度合成可得飞机对地速度v u v+=',则22u v V -='.2221222⎪⎭⎫⎝⎛-=--='=v u v L uv L v L t 证毕例 2—8 平静的河面上，以平底小船长为l = 11m, 质量M=500kg ，以 0υ=2 m 1s -匀速率直线航行，船内一方向从船头经 t=4 s 到达船尾，人的质量 m = 50 kg ，忽略水对船的阻力。

求： （1）若人以任意速运动，他到达船尾时船的航行速率 υ ；（2）在t 时间内船的航行路程 s ；（3）如果人以变速率跑动，仍s 内到达船尾，上诉计算结果又如何？解：（1）以船和人为研究系统，去地面为参考系， x 正方向为航行方向，如图所示。

由于水平方向系力，故沿航行方向系统动量守恒。

人静止站立在船头时系统的动量为0()M m v +，设人以匀速率l u t=相对行走知，当人到达船尾时系统的动量为()Mv m u v +-+，由动量守恒定律可得10050112 2.25()500504m m l v v u v m s M m M m t -=+=+=+=+++ 由于人逆航行方向行走时，船以匀速率v 前进，故船在t 时间内的航行路程为当人在船上以变速率逆航行方向行走，经t 时间到达船尾时，由前面的解得到此时船速为0mM mv v u +=+该式中于船的速率，故船速为变速，视瞬时速率u 而定。

时间内船相对地面航行的路程为12 均匀柔软链条，质量为m ，长为l ，一部分()l a -放在桌面上，一部分（长为a ）从桌面边缘下垂，链间的摩擦系数为μ，问：（1）下垂长度多大时，链条才能下滑；（2）当链条以（1）所求得的下垂长度从下滑，在链条末端离开桌面时，它的速率是多大？解：（1）设链条的质量线密度为λ，链条开始下滑时，其下垂直度为0x ，应满足的条其下垂部分的重力等于或大于其在桌面部分的摩擦力，即：（2）据功能原理12E E W r -=开始下滑时在桌面部分的长度习题2-12图为μ+=-=100lx l y 当链条的A 端从O 点沿y 轴运动到y 0点过程中，摩擦力作功为 设桌面为势能零点，则链开始下滑到A 端离桌面时的机机械能分别为于是有22221212121112⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-μμλλλμμλl g g l lv g 化简可得μμ+=+=1,12glv glv —23 一质量为10.1m kg =的小球A ，从半径0.81/4R m =的圆形轨道自由落下，抵达轨道最低点时离河面距离h点原先已放置一小球B ，其质量320.4=0.5m kg g cm ρ-=，密度。

它被A 球碰入河中，设碰撞是弹性的，如图所入河中后，未到河底忽又上浮，求B 球浮出水面时距离河岸的水平距离s （水的阻力和B 球落水时的能量损失计）。

应方程 B A →：解：设21s s s +=.如图所示，写出各个过程的相恒211121v m gR m =(1) B 点碰撞：动量、机械能守恒C B →：平抛运动m 2在C 点时:由下式确定D C →：2m 以上述速度作斜抛运动，但其加速度由(8)、（9）、（10）可确定射程CD 为 联立（1）至（11）式可解证2—29 一质量为m 的弹丸穿过垂直悬挂的单摆摆锤后，速率由v 减小到v /2，若摆的质量为M ，摆线长摆锤能在铅直平面内完成以圆周运动，求弹丸的最小速度。

解：子弹与摆锤碰撞，水平方向动量守恒12Mv vm mv += (1)v 1为摆锤碰撞后之速度，摆锤获此速度后作圆周运动，在铅直面内机械能守恒习题2-23图l Mg Mv Mv 221212221+= (2)成一圆周运动，摆锤在最高点必须满足条件 22v lM Mg =(3) 由（3）式gl 代入（2）式得gl v 51=，再代入（1）式可得子弹的最小速度gl mMv 52min = 2—30 以质量为=10M kg 的物体放在光滑水平面上，并有以水平轻弹簧相连，如图所示，弹簧的劲度100N m -。

今有一质量为1014m kg v m s -==的小球以水平速度飞来，与物体M 相撞后以112v m s -=的速度弹回。

问动后弹簧能被压缩多少？ （2）小球m 与物体M 碰撞过程中系统机械能改变了多少？ （3）如果小球上涂有粘相碰后粘在一起，则（1），（2）两问结果又如何？解：小球与弹簧振动系统相互碰撞，水平方向动量守恒Mv mv mv +-=10 (1)V 为弹簧系统的启动速度，它在被压缩过程中机械能守恒，设最大压缩长度为m x ，则有222121m kx Mv = (2)将（1）、（2）两式联立求解得 （2）碰撞是非弹性的，其机械能损失为(3) 小球与M 完全非弹性碰撞，碰撞后弹簧被压缩，据此可列式 解得机械能损失 2202121mx k mv E '-='损∆ 例3—5 一根长为L ，质量为m 的均匀细棒，可绕其一端固定的水平光滑轴竖直平面内转动。

开始棒静止置。

可求它由此下摆θ角时的角加速度和角速度。

解：棒的下摆是由于重力对转动轴O 的力矩作用而作加速转动。

因为重力臂是变量，故重力矩为变力上任取一质元()mdm dl Lλλ==，在棒下摆任意角度θ时，该质元的重力对轴O 的元力矩是 细棒对轴O 的力矩为 201cos cos cos 22L M dM g ldl g L mg λλθθθ====⎰⎰，在计算重力矩时，我们可依认为整个棒的质量全部集中在棒的质心处。

动定律，可得棒的角加速度为 12213cos 3cos 2mgL M g J mLL θθβ===角加速度也可由转动定律得 d d d d M J JJ J d d dt d ωωθωβωθθθ==== 1cos 2mgL θ=代入，分离变量可得 211cos 23mgL d mL d θθωω= 后两边积分 003cos 2g d L d θωθθωω=⎰⎰得 3sin /g L ωθ=例3—7 如图所示，一根质量为m ，长为l 的匀质长棒可在竖直平面内绕其支撑点O 转动，开始棒处在水静止释放，求（1）细棒释放时的角加速度；（2）棒落到竖直位置时的角速度。

解：（1）据题设，棒的重心C 离支点距离/6OC l =。

故重力对O 轴的力矩为轴的转动惯量为 2221m 1241=+()()3393399AO BOl m l J J J ml =•+•= 16219mgl 3==2M g J ml l β= 棒下落过程中，只有重力做功，故棒与地球系统机械能守恒，选择水平位置为势能零点，则代入，化简后，可得棒到达位置时的角速度为 3glω=7 如图所示，两个圆轮的半径分别为12R R 和，质量分别为12M M 和。

二者都可视为均匀圆柱体而且同轴固，可绕水平中心轴自由转动。

今在两轮上各绕以细绳，绳端分别挂上质量为12m m 和的两个物体。

在重力作用下时轮的角加速度。

解：如图所示，由牛顿第二定律 对11111:a m g m T m =- 对22222:a m T g m m =- 对整个轮，由转动定律又由运动学关系 2211//R R ααβ== 联立解以上诸式，即可得18 一质量为m 的小球系于轻绳一端，放置在光滑的水平面上，绳子穿过平面中一小孔，开始时小球以速率运动，圆的半径为1r ，然后向下慢慢地拉绳子使其半径变为2r ，求：（1）此时小球的角速度；（2）在拉下的习题3-7图力所做的功。