自学检测
平面的一条斜线段长是它在平面上射影长的1、
2血
A 3 B、3
一条直线与平面:所成的角为30°,则它和平面3倍，则这条斜线段与平面所成角的余弦值是（2
3、
C 2
D 3
a内所有直线所成的角中最小的角是（
A、300
B、600 C 900
PA、PB PC是由P点出发的三条射线，两两夹角均为60°,则直线PC与平面PAB所成角的余弦值是
B、
600 D、1500
323直线与平面的夹角
教学目标
1. 掌握直线和平面夹角的定义，会用定义、三余弦公式、法向量求线面角。
2. 自主教学、合作交流，探究向量法解决直线和平面夹角的规律方法。
3. 体验向量法解决立体几何问题的乐趣。
自学指导
预习课本106页至107页，填写下列内容：
1. 斜线与平面夹角的定义：斜线和它在平面内的_________ 所成的角。
2. 斜线与平面夹角的范围是_______ ;直线与平面夹角范围是________ 。
两异面直线夹角的范围_______ ;两非零向量夹角的范围是________ 。
3. 三余弦公式cos 丁-cos n *cosn 中，和v2分另寸是_________________________ 所成的角、_________________ 所成的角、 ____________________ 所成的角；寸严和二2的范围分别是__________ 、 ________ 、____________ 。
问题1 :三棱锥P-ABC, P从面ABC / ACB=90 ,你能找到三余弦公式cosT =cosB・co的2中日，也和日2吗？
问题2:如果COST -cos二・cosn中R =90°，你能得出什么结论？和三垂线定理有何关系?
问题3: PA, PB, PC是从P点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60°，若/ APB的角平分线为AD,
那么在COST -COST1 *cos^2中，v,3禾口m分另U对应的角是______ 、__________ 、_________ ,直线PC 与平面PAB所成角的余弦值为_______________________ 。
冋题4:你能用三余弦公式COST -COSH ・COST2证明教材P107的例题吗
1 .
2 .
3 . 3
A、2
B、 2 C 3 D 2
4、在长方体ABCD-AB i GD中，AB=3, AD=4, AA=5，体对角线BD分别与平面AC 平面BA、平面BC所成角的余弦值为 ________________ 、_________ 、________
例题探究
例1、在正方体AG中，试求(1)直线A i B与平面ABCD所成的角。
(2)直线A i B与平面BCC1B所成的角
(3)直线A i B与平面A i B i CD所成的角
思考：若直线AB与平面:-所成的角为二，平面〉的法向量为n ,直线AB与向量n所成的角为,则二与「有何关系？cos '与sin v有何关系？
讨论：如何利用法向量求线面角？
在的向量与平面的法向量的所成的线线角，们可以得到如下向量法求解线面角的公式：根据两个向量所成角的余弦公式，我。
变式：若E是CC的中点，求BE与平面BBD所成角的正弦值.
C1
练习1:在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PDL底面ABCD PD=DC求BD与平面PAB所成的角。
练习2 :如图所示，在正三棱柱ABC - AiBG中,
求直线AB i和侧面AC i所成的角•
练习3 :如图所示，ABCD是直角梯形，
SA 二AB = BC =1。
求：
（1）SB与底面ABCD所成的角；
（2）SC与底面ABCD所成角的正切值；
（3）SC与平面S BD所成角的正弦值。
课堂小结：AD//BC , NABC =90 [ SA丄平面ABCD AD =丄,
2 S
反思一下本节课，你收获到了什么啊
当堂检测
1. 设线段AB=,直线AB 与平面:-所成的角为二，线段AB 在平面:-内的射影长为3的是（
） A. 1=6，二=0° B. l =6，二=90° C. 1=6 二=60° D. 1=6，二=45° .
2. 已知平面内的一条直线 AB 与平面的一条斜线 AC 的夹角为60°，直线AB 与斜线AC 在平面内
的射影 AD 的夹角为45°,则斜线AC 与平面所成角的大小为 ____________ 。
★ 3•已知平面a 内的角/APB= 60°射线PC 与 PA PB 所成角均为135°则PC 与平面a 所成角的余弦值
4、正四棱锥 S — ABCD O 为顶点在底面上的射影，
P 为侧棱SD 的中点，且 SO=OD 则直线BC 与平面PAC 所成的角是（）
★ 5、长为1的正方体AG , E F 分别是B C 、CD 的中点.求直线 A D 与平面B DEF 所成的角.
A.
B.36
C.33 _3 3_
A 300
B 、450
C 、600
D 750
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