1
一条直线 l 与一个平面 相交但不垂直，这条直线
叫做这个平面的斜线，斜线与平面的交点 A 叫做斜足，
过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线 PO ，过垂足和斜
足的直线 AO 叫做斜线在这个平面上的射影。平面的一条
斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线
和这个平面所成的角。 l
P
特别地，若 l ,则
设r平u面uuAur B1C的r 法uuu向r 量为r nr (x，y，z)
A
则n
0 ，取x 0
=
1，
得y = z = -1，故nr = (1，- 1，- 1)， cos
nr，uBu1uCur1
x
01 0 1 3
3 3
所以B1C1与面AB1C所成的角的正弦值为
r
n
n,
AP
-32
例：正方体 ABCD A1B1C1D的1 棱长为1. 求直线
正弦值。
解：以点A为坐标原点建立空间直角坐标系A—xyz
B1与C1平面
z
A1
A(uu0u， u0r，0)，B1
(1，0， 1)，C uuuur
(1， 1u， u0ur)，C1
(1， 1， 1)，
B1
则B1C1 (0，1，0)， AB1 (1，0，1)，AC (1，1，0)
(5) 根据题意，转化为几何结论. 5
6
在立体几何中涉及的角有异面直线所成的 角、直线与平面所成的角、二面角等。用几何 法求这些角，需要经过“找（作）”、“证”、 “算” 等步骤，过程较为繁琐，若归结为求两 个向量的夹角问题，可将问题简单化。本节课， 我们主要探讨“直线与平面所成的角”也即 “线面角” 的求法。
3。 3
AB所1C成角的 D1
C1
Dy
C
4
向量法求线面角的一般步骤
(1) 恰当的构建空间直角坐标系；
(2) 正确求得所对应点的坐标，直线的方向向 量的坐标及平面的法向量的坐标； (3)求直线的方向向量与平面的法向量的夹 角的余弦值； (4)取步骤(3)中两向量夹角的余弦值的绝对 值，其对应于线面角的正弦值；
中学数理化
7

l 与 所成的角是直角，若 l //或 l ，则 l 与 所
成的角是零角。
A
O
斜线与平面所成角的范围：
0,
2
中学数理化
2

P
r
n
A
O r n
思考： 设平面 的法向量为 n 则
n, AP 与 的关系？
r n
- n, AP
2
结论：sin cos n, AP