曲线。
由上面分析可知，只要知道振幅A(t)的变化情况，即可了解输出 激光的持性。
为讨论方便，假定α = 0，则
(3.1-11)
上式分子、分母均为周期函数，因此A(t)也是周期函数。只要得到 它的周期、零点，即可以得到A(t)的变化规律。 由(3.1-11)式可求出A(t) 的周期为 2 L (令分母 sin
0， t1

到窄的锁模脉宽。（ t=to=0时，A(t)有极大值，而11式分子(1/2) (2N+1) △ wt1=时，A(t)=0,令 △t=t1-t0 并近似为半峰值宽，则 有…）
1 1 2 N 1 q
可见增益线宽愈宽，愈可能得
(3)输出脉冲的峰值功率正比于E 2 ( 2 N 1) 2 ，因此，由于锁模， 0 峰值功率增大了2N+1倍。 注意：
2
9E 0
上同步，即把它们的相位相 互联系起来，使之有一确定
的关系(q+1 - q =常数)，那
么就会出现一种与上述情况
0 1/(3v 1 ) 2/(3v 1 ) 1/v 1 t
E(t)
E0
v 3 =3v 1 ,
初相位无规 律 三 个光波 相位锁 定 的
v 2 =2v 1 ，
有质的区别而有趣的现象；
示。这些模的振幅及相 位都不固定，激光输出
荧光光谱
随时间的变化是它们无
规则叠加的结果，是一 种时间平均的统计值。
假设在激光工作物质
的净增益线宽内包含有N 个纵模，那么激光器输 出的光波电场是N个纵模 电场的和，即
N=11
（3.1-2)
（3.1-2)
式中，q＝0， 1， 2，…， N是激光器内(2N+1)个振荡模中第q
就周期性地出现了极大值（ I = E2 = 9E02 ）。当然, 对于谐振腔内
存在多个纵模的情况，同样有类似的结果。
E(t) E0 0 -E 0 I(t) 9E 0
2
v 3 =3v 1 ,
1 2 3 v3 v2 v1
v 2 =2v 1 ， 初位相相同(0)
如果采用适当的措施使 这些各自独立的纵模在时间
位相差为常量。这一点在单横模的激光器中是能够实现的。
，并且相邻 2
下面分析激光输出与相位锁定的关系，为运算方便，设多模
激光器的所有振荡模均具有相等的振幅E0，超过阈值的纵模共有 2N十1个，处在介质增益曲线中心的模，其角频率为ω0，初相位
为0，其模序数q=0，即以中心模作为参考，各相邻模的相位差为
2
v 3 =3v 1 ,
v 2 =2v 1 ， 初位相相同(0)
E1 = E0cos(2πν1 t)
E2 = E0cos(4πν1 t)
-E 0
v2
v1 9E 0
2
E3 = E0cos(6πν1 t)
0 1/(3v 1 ) 2/(3v 1 ) 1/v 1 t
三 个光波 相位锁 定 的
当 t=0 时, E = 3E0, E2 = 9E02; t = 1/(3ν1)时, E1 = E0cos(2π/3) = -E0/2， E2 = E0cos(4π/3) = -E0/2,
在t=L/c时，A(t)取得极小值±E0，当N为偶数时，A(t)=E0，N为奇 数时，A(t)=-E0。除了t=0，L/c及2L/c点之外，A(t)具有2N-1次极大 值。 由于光强正比于A2(t)，所以在t=0和t=2L/c时的极大值，称为主脉 冲。在两个相邻主脉冲之间，共有2N个零点，并有2N-1个次极大 值，称为次脉冲。所以锁模振荡也可以理解为只有一个光脉冲在 腔内来回传播。 通过分析可知以下性质： (1)激光器的输出是间隔为τ=2L/c的规则脉冲序列。 (2)每个脉冲的宽度
该激光器各模的相位已
按照φq+1 -φq＝常数的关 系被锁定，这种激光器
叫做锁模激光器，相应
的技术称为“锁模技 术”。 图3.1-2 （b) 理想锁模
二、锁模的基本原理 先看三个不同频率光波的叠加：Ei = E0cos(2π νi t+ i )
i=1,2,3
设三个振动频率分别为ν1 、 ν2 、 ν3 的三个光波沿同一方向传播， 且有关系式：ν3=3ν1， ν2= 2ν1 , E1 = E 2 =E3 = E0 若相位未锁定，则此三个不
q=-N
(3.1-6)
(4)多模(ω0+q△ωq )激光器相位锁定的结果，实现了q+1 - q=常数， 导致输出一个峰值功率高，脉冲宽度窄的序列冲。因此多纵模激 光器锁模后，各振荡模发生功率耦合而不再独立。每个模的功率 应看成是所有振荡模提供的。##
三、锁模的方法 1.主动锁模
主动锁模采用的是周期性调制谐振腔参量的方法。 2.被动锁模
个纵模的序数； Eq是纵模序数为q的场强; ωq及φq是纵模序数为q的 模的角频率及相位。图3.1-2给出了时间描述 和频率描述的非锁模激光脉冲和完全锁模
激光脉冲两种情况的图形。在频率域内光
脉冲可以写为
( ) ( ) exp[ i ( )]
( 3 . 1 3)
式中，α(ω)为幅度；φ(ω)为位相频 谱。当脉冲带宽△ω比平均光频ω0 窄，在时域内光脉冲可以写成
E3 = E0cos(2π) = E0 , 三波叠加的结果是：
E = E1 + E 2 + E3 = 0; 同理可得，t=2/(3ν1 )时，E = 0；t = 1/ν1时，
E = 3E0 …… 。这样就会出现一系列周期性的脉冲，见下图。 当 各光波振幅同时达到最大值处时，由于“建设性”的干涉作用，
因为
所以
q=-N
(3.1-6)
该式说明了平均光强是各个纵模光强之和 (除以2)。
如果采用适当的措施使这些各自独立的纵模在时间上同步，
即把它们的相位相互联系起来，使之有一确定的关系(φq+1 -φq＝ 常数)，那么就会出现一种与上述情况有质的区别而有趣的现象；
激光器输出的将是脉宽极窄、峰值功率很高的光脉冲，如图3.12(b)所示。
第三章
超短脉冲技术
3.1 概述
所谓模，就是在腔内获得振荡的几种波长稍微不同的波型。 纵模，也叫轴模。 在两反射镜间沿轴进行的光束，由于腔长L与光波波长的比是 一个很大的数目，所以必然有数不清不同波长的光波，能符合加 强反射的条件， 2nL= kλ, 即 2nL= k1λ1 = k2λ2 = k3λ3 =…… ki（正整数）是纵模模数。 例如：L=800nm, n=1, 则 k=1时, 对应λ1=1600nm;
提示：利用倍角和半角公式
由(3.1-8) ～(3.1-10)式可知,2N+1个振荡的模经过锁相以后，总的
光场变为频率为ω0 的调幅波。振幅Ａ(t)是一随时间变化的周期函数，
光强Ｉ(t)正比Ａ２(t) ，也是时间的函数，光强受到调制。按傅里叶
分析，总光场由2N十1个纵模频率组成，因此激光输出脉冲是包括 2N十1个纵模的光波。 图3.1-3给出了7（N=3)个振荡模的输出光强
c
1 2 1 2
t 0 →
个周期内2N个零值点及2N+1个极值点。
），在一 t 0 , 等； 因为△ω=2△υ = c/L ,所以， T 2cL
频率间隔△υ
=c/2L倒数
在t=0和t=2L/c时，A(t)取得极大值，因A(t)分子、分母同时为零，
利用罗彼塔法则可求得此时振幅（2N+1)E0。
产生超短脉冲的另一种有效的方法是被动锁模。 3.自锁模 当激活介质本身的非线性效应能够保持各个振荡纵模频率的 等间隔分布，并有确定的初相位关系，不需要在谐振腔内插入任 何调制元件，就可以实现纵模锁定的方法。
4. 同步泵浦锁模
如果要通过周期性地调制谐振腔的增益来实现锁模，则可以
采用一台主动锁模激光器的脉冲序列泵浦另一台激光器来获得。 这种方式就是同步泵浦锁模。
或耦合腔锁模(CCM)、自锁模等阶段。自60年代实现激光锁模以 来，锁模光脉冲宽度为皮秒(10-12s)量级，70年代，脉冲宽度达到 亚皮秒(10-13s)量级，到80年代则出现了一次飞跃，即在理论和实 践上都有一定的突破。1981年，美国贝尔实验室的R.L.Fork等人
提出碰撞锁模理论，并在六镜环形腔中实现了碰撞锁模，得到稳
垂直z的截面为xy平面。该截面内所产生的部分横模如图，标 记TEMmn 中的TEM代表电磁横波，m代表x方向的波节数，n代 表y方向的波节数。
图5.1-1
不同横模的光场强度
TEM TEM10 TEM00 00 TEM10
TEM20 TEM20
TEM30 TEM30
TEM40
TEM50
TEM21
TEM22
2、工作物质的色散，
3、散射效应及腔内光束的衍射效应等，都对横模有影响。 下面只对情况 1 做简单地分析。除了严格平行光轴的光束 (名基模TEM00 ）以外，总有一些偏离光轴而走Z字形的光束。 虽然经多次反射也未偏出腔外，仍能符合2nLcos θ =kλ的条件；
因而，在某一θ方向存在着加强干涉的波长。设z代表腔轴方向，
600 800
荧光光谱
λ
1000
k=2, λ2=800nm; k=3, λ3=533nm
υ 1=1.875×1014 ,
注意：△υ =c/2nL; υ
υ 2=3.75×1014 ,
32= υ
υ 3=5.625×1014
= 1.875×1014 21
横模？ 横模易观察，但其产生的原因复杂：
1、偏离轴向的光束的干涉，
E(t)
E0
v 3 =3v 1 ,
v 2 =2v 1 ，
初相位无规 律
同频率的光波的初位相 1 、
2
、 3 彼此无关，如左图，