精品
三角恒等变换基本解题方法
1 、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：
sin
sin cos cos sin
cos
cos cos msin sin
tan
tan
tan
1mtan tan
2 tan tan 2
2
1 tan
令
sin2
2sin cos
令
cos2
cos 2 sin 2
2cos 2
1 1 2sin 2
cos 2 ＝ 1+cos2
2
sin 2 ＝ 1 cos2
2
如（ 1 ）下列各式中，值为
1
的是
2
A 、
o
o
B 、
2
2
C 、
tan 22.5o 1 cos30o
sin15 cos15
cos 12 sin
12
tan 2 22.5o
D 、
1 2
（ 2 ）命题 P ： tan( A B ) 0 ，命题 Q ： tan A tan B
0，则 P 是Q 的
A 、充要条件
B 、充分不必要条件
C 、必要不充分条件
D 、既不充分也不必要条件
（ 3）已知 sin(
)cos
cos(
)sin
3
，那么 cos 2 的值为 ____
5
1
3
o 的值是 ______
（ 4 ）
o
sin 80
sin 10
(5) 已知 tan110 0
a ，求 tan 50
a 3 1 a 2
的值（用 a 表示）甲求得的结果是 ，乙求得的结果是
，对甲、
1
3a
2a
乙求得的结果的正确性你的判断是 ______
2. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。

即首先观察角与
角之间的关系， 注意角的一些常用变式， 角的变换是三角函数变换的核心！ 第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦” ；第三观察代数式的结构特点。

基本的技巧有 :
（1 ）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其
和差角的变换 .
2
2
如( )
(
)，2(
) (
)，2(
) (
) ，
，
2
2
2 等），
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如（ 1 ）已知 tan(
)
2
，
tan(
) 1
，那么
tan(
) 的值是 _____
5
4
4
4
（2）已知 0
，且 cos( ) 1 ， sin(
2
) 的值
9
)，求 cos(
2
2
2
3
(2) 三角函数名互化 (切化弦 ) ， 如（ 1 ）求值 sin 50o (1
3 tan10o )
（ 2 ）已知
sin
cos
1,tan( )
2
，求
tan(
2 ) 的值
1 cos2
3
(3) 公式变形使用（ tan
tan tan 1mtan tan 。

如（ 1）已知 A 、B 为锐角，且满足
tan A tan B tan A tan B 1，则 cos( A
B) ＝ _____
(2) 设 ABC 中， tan A tan B 3 3 tan Atan B ， sin Acos A
3 ，则此三角形是 三角形
4
____
(4) 三角函数次数的降升
(降幂公式： cos 2
1 cos
2 ， sin 2 1 cos2 与
2
2
升幂公式 1 cos 2
2cos 2 ， 1 cos2 2sin 2 )。

如(1) 若
3 1 1 1 1 ( ,)，化简
2 2 2 cos2 为_____
2
2
（ 2 ）函数 f ( x ) 5 sin x cos x 5 3cos 2 x
5 3( x R ) 的单调递增区间为 ___________
2
(5) 式子结构的转化 ( 对角、函数名、式子结构化同 )。

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2cos4 x 2cos2 x 1
如（ 1）化简：
2
x)sin 2 (
2 tan( x)
4 4
(6)常值变换主要指“ 1 ”的变换（1 sin2x cos2x
tan 4sin 2L 等），
如已知 tan 2 ，求sin2sin cos3cos 2
(7)正余弦— sin x cosx、sin xcosx ”的内存联系――“知一求二”，如（ 1 ）若sin x cosx t ，则 sin x cos x__
（2）若(0, ),sincos 1
，求 tan 的值。

2
8 、辅助角公式中辅助角的确定：asin x b cosx a2b2 sin x( 其中角所在的象限由 a , b 的符号
b
确定，角的值由 tan确定)在求最值、化简时起着重要作用。

a
如（ 1 ）若方程sin x 3 cos x c 有实数解，则 c 的取值范围是___________.
（ 2）当函数y 2 cos x 3 sin x 取得最大值时，tanx 的值是______
（ 3 ）如果f x sin x 2cos(x ) 是奇函数，则 tan =
4、求角的方法：先确定角的范围，再求出关于此角的某一个三角函数（要注意选择，其标准有二：一是此三
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角函数在角的范围内具有单调性；二是根据条件易求出此三角函数值）。

如（ 1 ）若 ,
(0, ) ，且 tan
、 tan 是方程 x 2 5x 6 0 的两根，则求
的值 ______
（ 2）
ABC 中， 3sin A 4cos B 6,4sin B 3cos A 1 ，则 C ＝ _______
（ 3 ）若 0
2 且 sin sin sin 0 ， cos cos cos 0 ，求
的值
课后练习题
3 1：(1) 已知 ∈( , )， sin =
, 则 tan( ) 等于（ ）
2
5
4
1 B.7
C.－
1 D.－7
A.
7
7
(2) sin163 ° sin223 ° +sin253 ° sin313（ °等于）
A.－
1
B.
1
3 3 C. －
D.
2
2
2
2
3 ：设 cos （
－
） = － 1
， sin （ －β）= 2
，且 π
＜
＜π， 0＜β＜ π
，
2 9 2
3 2 2
求 cos （
+ β）.
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4 ：在△ ABC 中，角 A 、 B 、 C 满足
4sin
2 A C
-- cos2B= 7
,求角 B 的度数 . 2 2
5 ． 已知 α为锐角，且 tan
1 ，求 sin
2 cossin 的值 .
2
sin 2 cos2
6 ． 已知 f ( x) 3 sin 2 x sin x cosx ；
(1) 求 f (
25
) 的值； (2) 设(0, ), f ( ) 1
3
，求 sin α的值．
6 2
4 2
7 ：已知
sin x 2 cos x
2 2
（ 1 ）求 tan x 的值；
cos2x
（2）求
的值．
2 cos(
x) sin x
4
2
8 设函数 f(x)=2
sin x cos cosx sin sin x(0
) 在 x
处取最小值 .
精品（1）求.的值 ;
（2）在ABC 中 , a,b,c分别是角 A,B,C 的对边 ,已知a 1, b2, f ( A)
3
,求角 C.. 2。