三角恒等变换知识点总结2014/10/24一、基本内容串讲1． 两角和与差的正弦、余弦和正切公式如下：sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±; cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=m ; tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=m对其变形：tan α＋tan β=tan(α+β)(1- tan αtan β)，有时应用该公式比较方便。
2． 二倍角的正弦、余弦、正切公式如下：sin 2sin cos ααα=. 2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.22tan tan 21tan ααα=-. 要熟悉余弦“倍角”与“二次”的关系（升角—降次，降角—升次）．特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形， 22cos 1sin ,22cos 1cos 22α-=αα+=α 这两个形式常用。
3.辅助角公式：sin cos 4x x x π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭cos 2sin 6x x x π⎛⎫±=± ⎪⎝⎭()sin cos a x b x x ρ+=+. 4.简单的三角恒等变换（1）变换对象：角、名称和形式，三角变换只变其形，不变其质。
（2）变换目标：利用公式简化三角函数式，达到化简、计算或证明的目的。
（3）变换依据：两角和与差的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式。
（4）变换思路：明确变换目标，选择变换公式，设计变换途径。
5.常用知识点：（1）基本恒等式：22sin sin cos 1,tan cos ααααα+==（注意变形使用，尤其‘1’的灵活应用，求函数值时注意角的范围）；（2）三角形中的角：A B C π++=，sinA sin(B ),cosA cos(B C)C =+=-+；（3）向量的数量积：cos ,a b a b a b =r r r r r rg， 1212a b x x y y =+r r g ，12120a b x x y y ⊥⇔+=r r 1221//0a b x y x y ⇔-=r r ； 二、考点阐述考点1两角和与差的正弦、余弦、正切公式1、sin 20cos 40cos 20sin 40+o o o o 的值等于（ ）2、若tan 3α=，4tan 3β=，则tan()αβ-等于（ ） 3、若3,4παβ+=则(1tan )(1tan )αβ--的值是________． 4、(1tan1)(1tan 2)(1tan3)(1tan 44)(1tan 45)+︒+︒+︒+︒+︒=L _______________.考点2二倍角的正弦、余弦、正切公式5、cos5πcos 52π的值等于（ ） (提示:构造分子分母)6、cos 20cos 40cos60cos80=o o o o （ ）7、 已知322A ππ<<，且3cos 5A =，那么sin 2A 等于（ ） 考点3运用相关公式进行简单的三角恒等变换8、已知,41)4tan(,52)tan(=-=+πββα则)4tan(πα+的值等于（ ） 9、已知,31cos cos ,21sin sin =+=+βαβα则)cos(βα-值等于（）10、函数22()cos ()sin ()11212f x x x ππ=-++-是（ ） （A ）周期为2π的奇函数 （B ）周期为2π的偶函数（C ）周期为π的奇函数 （D ）周期为π的偶函数4、常见题型及解题技巧（另外总结）（一）关于辅助角公式：()sin cos a x b x x ρ+=+.其中cos ϕϕ==）如：1.若方程sin x x c =有实数解，则c 的取值范围是____________. 2.2cos 3sin 2y x x =-+的最大值与最小值之和为_____________.7．若2tan(),45πα+=则tan α=________. （二）三角函数式的化简与求值[例1] 1.0000cos15sin15cos15sin15-+； 2.00sin 50(1)+;3. 求tan70tan50tan50+o o o o 值;4.△ABC 不是直角三角形，求证：C B A C B A tan tan tan tan tan tan ••=++ （三）三角函数给值求值问题1. 已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则sin(α＋7π6)的值是_____________;2. 已知54cos(),cos ,,135αββαβα+==均为锐角，求sin 的值。
3.33350,cos ,sin 4445413ππππβααβ⎛⎫⎛⎫<<<<-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求()sin αβ+的值．（四） 三角函数给值求角问题1.若且A,B 均为钝角,求A+B 的值. 2.已知,(,)22ππαβ∈-，且tan ,tan αβ是方程240x ++=的两个根，求αβ+．3.已知αβγ，，均为锐角，且1tan 2α=，1tan 5β=，1tan 8γ=，则αβγ++的值（ ）Ａ．π6Ｂ．π4Ｃ．π3 Ｄ．5π44.已知1tan 7α=,1tan 3β=,并且,αβ均为锐角，求2αβ+的值.（五）综合问题（求周期，最值，对称轴，增减区间等）1.(2010·北京)已知函数2()2cos 2sin f x x x =+. (1)求()3f π的值；(2)求()f x 的最大值和最小值．2.已知函数()2sin()cos f x x x π=-.(1)求()f x 的最小正周期；(2)求()f x 在区间[,]62ππ-上的最大值和最小值；（3）求函数在(,)ππ-的单调区间。
三、解题方法分析1．熟悉三角函数公式，从公式的内在联系上寻找切入点【方法点拨】三角函数中出现的公式较多，要从角名称、结构上弄清它们之间的内在联系，做到真正的理解、记熟、用活。
解决问题时究竟使用哪个公式，要抓住问题的实质，善于联想，灵活运用。
例1设212tan13sin 50cos 6sin 6,,,221tan 132cos 25a b c =-==+o o o oo o则有（ ）【点评】：本题属于“理解”层次，要能善于正用、逆用、变用公式。
例如： sin αcos α=α2sin 21，cos α=αα2sin sin2，ααα2cos sin cos 22=-，ααα2tan tan -12tan 2=，2)cos (sin cos sin 21αααα±=±，αα2cos 22cos 1=+，αα2sin 22cos 1=-，22cos 1sin ,22cos 1cos 22α-=αα+=α，tan α＋tan β=tan(α+β)(1- tan αtan β)等。
另外，三角函数式asinx+bcosx 是基本三角函数式之一，引进辅助角，将它化为)x sin(b a 22φ++即asinx+bcosx=)x sin(b a 22φ++（其中tan baϕ=）是常用转化手段。
特别是与特殊角有关的sin ±cosx ，±sinx ±3cosx ，要熟练掌握其变形结论。
2．明确三角恒等变换的目的，从数学思想方法上寻找突破口（1）运用转化与化归思想，实现三角恒等变换`【方法点拨】教材中两角和与差的正、余弦公式以及二倍角公式的推导都体现了转化与化归的思想，应用该思想能有效解决三角函数式化简、求值、证明中角、名称、形式的变换问题。
例2． 已知2π＜β＜α＜4π3，cos （α－β）=1312，sin （α+β）=－53，求sin2α的值．（－6556（本题属于“理解”层次，解答的关键在于分析角的特点， 2α=（α－β）+（α+β））例2解答：例3．化简：［2sin50°+sin10°（1+3tan10°）．【解析】：原式=．【点评】：本题属于“理解”层次, 解题的关键在于灵活运用“化切为弦”的方法，再利用两角和与差的三角函数关系式整理化简．化简时要求使三角函数式成为最简：项数尽量少，名称尽量少，次数尽量底，分母尽量不含三角函数，根号内尽量不含三角函数，能求值的尽量求出值来。
（2）运用函数方程思想，实现三角恒等变换【方法点拨】三角函数也是函数中的一种，其变换的实质仍是函数的变换。
因此，有时在三角恒等变换中，可以把某个三角函数式看作未知数，利用条件或公式列出关于未知数的方程求解。
例4：已知sin （α+β）=32，sin （α－β）=43，求2tan()tan tan tan tan()αβαββαβ+--⋅+的值．。
【解析】2tan()tan tan tan tan()αβαββαβ+--⋅+=2tan()tan()(1tan tan )tan tan()αβαβαβααβ+-+-⋅⋅+=βαtan tan =－17【点评】：本题属于“理解”层次，考查学生对所学过的内容能进行理性分析，善于利用题中的条件 运用方程思想达到求值的目的。
（3）运用换元思想，实现三角恒等变换【方法点拨】换元的目的就是为了化繁为简，促使未知向已知转化，可以利用特定的关系，把某个 式子用新元表示，实行变量替换，从而顺利求解，解题时要特别注意新元的范围。
例5：若,22sin sin =+βα求βαcos cos +的取值范围。
【解析】：令cos cos t αβ+=，则2221(sin sin )(cos cos ),2t αβαβ+++=+【点评】：本题属于“理解”层次，解题的关键是将要求的式子βαcos cos +看作一个整体，通过 代数、三角变换等手段求出取值范围。
3．关注三角函数在学科内的综合，从知识联系上寻找结合点【方法点拨】三角函数在学科内的联系比较广泛，主要体现在与函数、平面向量、解析几何等知识的 联系与综合，特别是与平面向量的综合，要适当注意知识间的联系与整合。
例6：已知：向量1)a =-r ，(sin 2,b x =r cos 2)x ，函数()f x a b =⋅r r（1）若()0f x =且0x π<<，求x 的值； 12x π=或712π（2）求函数()f x 取得最大值时，向量a r 与b r的夹角．【解析】：∵()f x a b =⋅r r 2cos 2x x - （2）2sin(2)6x π=-∴max()2f x =，当()2f x =时，由||||cos ,2a b a b a b ⋅=⋅<>=r r r r r r得cos ,1||||a ba b a b ⋅<>==⋅r rr r r r ，0,a b π≤<>≤r r Q ∴,0a b <>=r r【点评】：本题属于“理解”中综合应用层次，主要考查应用平面向量、三角函数知识的分析和计算能力.四、课堂练习1．sin165o= （ ） A ．21B ．23C ．426+D ． 426-2．sin14ocos16o+sin76ocos74o 的值是（ ） A ．23 B ．21 C ．23 D ．21- 3．已知(,0)2x π∈-，4cos 5x =，则=x 2tan （ ） A ．247 B ．247- C ．724 D ．724- 4．化简2sin （4π－x ）·sin（4π+x ），其结果是（ ） Ａ．sin2x Ｂ．cos2x Ｃ．－cos2x Ｄ．－sin2x 5．sin12π—3cos 12π的值是 （ ） A ．0 B ． —2 C ． 2 D ． 2 sin125π6．)( 75tan 75tan 12的值为︒︒-A ．32B ．332C ． 32-D ．332- 7．若3cos 25θ=，4sin 25θ=-，则角θ的终边一定落在直线（ ）上。