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离散数学( 第10讲习题课2)


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例4
证明:(x)(P(x)Q(x)) (x)((y)(P(y)∧R(x,y))(y)(Q(y)∧R(x,y)))。
1.采用反证法: 1) ~(x)((y)(P(y)∧R(x,y))
(y)(Q(y)∧R(x,y))) 2) (x)~((y)(P(y)∧R(x,y))
(y)(Q(y)∧R(x,y))) 3) ~((y)(P(y)∧R(c,y))
(7) Q(c)R(c)
T,(4),(6),I
(8)(x)(P(x)→(R(x)S(x))) P
(9) P(c)→(R(c)S(c))
US,(8)
(10) R(c)S(c)
T,(4),(9),I
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例2(续3)
(11)(R(c)→S(c))∧(S(c)→R(c)) T,(10),E
F
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④ 每个懂得人性本质的作家都很高明。不能刻划人们内心世界的 诗人都不是真正的诗人。莎士比亚创作了哈姆雷特。没有一个 不懂得人性本质的作家能够刻划人们的内心世界。只有真正的 诗人才能创作哈姆雷特。因此,莎士比亚是一个高明的作家。
A(x):x是懂得人性本质的作家 B(x):x是真正的诗人 C(x):x能刻划人们内心世界
结论:(x)(T(x)~P(x))
即证明:(x)(S(x)∧(y)(T(y)L(x,y))),
(x)(y)((S(x)∧P(y))~L(x,y))
(x)(T(x)~P(x))
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证明:
1) (x)(S(x)∧(y)(T(y)L(x,y))) P
2) S(c)∧(y)(T(y)L(c,y))
s(x):x的直接后继;

EQUAL(x,y):x=y
① (x)(y)[EQUAL(y,s(x))∧
(z)[EQUAL(z,s(x))→EQUAL(y,z)]]
且仅有
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② ~(x)[EQUAL(0,s(x))
0以外的任何
③ (x)[~EQUAL(x,0)
自然数
→(y)[EQUAL(y,p(x))∧(z)[EQUAL(z,p(x))
ES,1)
3) P(f(x))
T,2)
4) (x)(P(x)Q(x))
P
5) P(f(x))Q(f(x))
US,4)
6) Q(f(x))
T,3),5),I
7) R(x,f(x))
T,2)
8) Q(f(x))∧R(x,f(x))
T,6),7),I
9) (y)(Q(y)∧R(x,y))
EG,8)
10)(y)(P(y)∧R(x,y))(y)(Q(y)∧R(x,y)) CP,1),9)
可满足式(Why?)
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② 诚实的人都讲实话。小林不是诚实的,因而 小林不讲实话。
A(x):x是诚实的人 B(x):x讲实话 a:小林
(x)( A(x) → B(x) )∧ ~A(a)→ ~B(a)
F ③ 好货不便宜。小王买的衣服很贵,所以小王
买的是优质衣服。
A(x):x不便宜 B(x):x是好货 a:小王买的衣服 (x)( B(x)→ A(x))∧A(a)→B(a)
全总个体域的概念 ▪ 能准确理解约束变元(量)和自由变元的概念 ▪ 掌握约束变元的改名规则和自由变元的代入
规则
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▪ 掌握与量词相关的基本等价式和基本蕴涵式 ▪ 能熟练地运用US、ES、UG、EG规则进行推

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语句的符号化
▪ 1、将下列命题翻译成谓词公式 ① 每个有理数都是实数,但是并非每个实数都是有理数,
11)(x)((y)(P(y)∧R(x,y))(y)(Q(y)∧R(x,y)))
EG,10)
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例5
所有的有理数都是实数;所有的无理数也是实 数;虚数不是实数。因此,虚数既不是有理数也 不是无理数。 解:设Q(x):x是有理数;R(x):x是实数; N(x): x是无理数; C(x):x是虚数; (x)(Q(x)R(x), (x)(N(x)R(x)) (x)(C(x) ~R(x)) (x)(C(x)(~Q(x)~N(x))
有些实数是有理数。 A(x):x是实数 B(x):x是有理数 (x)(B(x)→A(x))∧(x)(A(x)→B(x))
∧(x)(A(x)∧B(x)) ② 直线a和b平行当且仅当a和b不相交。
A(x):x是直线 F(x,y):x与y平行
G(x,y):x与y相交 (a)(b)(A(a)∧A(b)→
(F(a,b)G(a,b)))
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例2(续1)
解:设P(x):x是报考研究生的大学毕业生; Q(x):x参加研究生入学考试; R(x):x被推荐为免试生; S(x):x学习成绩优秀。
则原论断可符号化为: (x)(P(x)→(Q(x)R(x)), (x)(P(x)→(R(x)S(x))), (x)(P(x)∧S(x)), ~(x)(P(x)→S(x))
C(x):x是质数
(x)(A(x)→B(x)C(x))
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⑤ 凡是存钱的人都想有利息,如果没有利息, 人们就不会存钱。
A(x):x是存钱的人 F(x,y):x想有y P:存钱没有利息 Q: 人们不存钱 a: 利息 (x)(A(x)→F(x,a))∧(P→Q)
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冯伟森
Email:fws365@ 2020年4月22日星期三
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第二章
一、基本概念 全总个体域(全论域)、全称量词、存在量
词、特性谓词、指导(作用)变元、辖域 (作用域)、约束变元、自由变元、约束变 元的改名规则、自由变元的代入规则、常量 符号、变量符号、函数符号、谓词符号、谓 词公式、公式的解释、永真公式(重言式) 、 永假公式(矛盾式,不可满足公式)、
(x)(P(x)∧Q(x))
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例2(续2)
证明:(1) ~(x)(P(x)→S(x))
P
(2) (x)(P(x)∧~S(x)) (3) P(c)∧~S(c)
T,(1),E ES,(2)
(4) P(c)
T,(3),I
(5) (x)(P(x)→(Q(x)R(x)) P
(6) P(c)→(Q(c)R(c)) US,(5)
D(x):x很高明 P(x,y):x创作了y a:莎士比亚 b:哈姆雷特
T
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例1
将下列三条自然公理翻译成谓词公式:
① 每个自然数有且仅有一个直接后继;
② 没有任何自然数以0为其直接后继;
③ 对0以外的任何自然数,有且仅有一个直接先行。
解:设个体域D为自然数
令p(x):x的直接先行;
(y)(Q(y)∧R(c,y))) 4) (y)(P(y)∧R(c,y))∧
~(y)(Q(y)∧R(c,y)) 5) (y)(P(y)∧R(c,y))
P(附加)
T,1),E
ES,2)
T,3),E T,4),I
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例4(续1)
6) P(b)∧R(c,b)
ES,5)
7) P(b)
8) (S(c)∧P(x))~L(c,x)
US,7)
9) S(c)(P(x)~L(c,x))
T,8),E
10)P(x)~L(c,x)
T,3),8),E
11)L(c,x)~P(x)
T,10),E
12)T(x)~P(x)
T,5),11),E
13)(x)(T(x)~P(x))
US,12)
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ES,1)
3) S(c)
说明:该结论明显T,2),I
4) (y)(T(y)L(c,y是))一个错误的结论,T,2),I
5) T(x)L(c,x)
原因在于有一个错US,4)
6) (x)(y)((S(x)∧P误(y的))假设~,L(但x,推y)理)
P
7) (y)((S(c)∧P(y))~是L正(c确,y的பைடு நூலகம்)。 US,6)
15) ~(Q(b)∧R(c,b))
US,14)
16) (Q(b)∧R(c,b))∧~(Q(b)∧R(c,b)) US,14)
17) □
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例4(续2)
x是自由变元
2.采用CP规则的直接证明法:
1) (y)(P(y)∧R(x,y))
P(附加前题)
2) P(f(x))∧R(x,f(x))
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▪ 2、把下列语句符号化,并确定相应谓词公式 是永真式、可满足式,还是矛盾式。
① 如果两个数的积等于0,那么至少其中一个数
为0,数x-1不等于0,所以数x-1和数x+1的
积也不等于0。
A(x):x=0,f(x,y)=xy
xy[A(f(x,y))→(A(x)∨A(y))]∧
~A(x-1)→ ~A(f(x-1,x+1))
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(1)(x)(Q(x)R(x)) (2) Q(x)R(x) (3)(x)(N(x)R(x)) (4) N(x)R(x) (5)(x)(C(x)~R(x)) (6) C(x)~R(x) (7) R(x)~C(x)
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