定理1的证明(续)
7
因为对于任意的v∊V，原图是连通的，所以在原图中存 在 v到u’的通路，也存在v到v’的通路，且都是初等通路。 若这两条通路都经过边e，则原图中一定有圈，故 V=V1∪V2 。如果存在v ∊ V1∩V2，则原图中存在 v到u’、 v到v’的两条不经过边e的初等通路，加上边e后, 原图中 一定有圈，故V1∩V2 =Ø。 以上证明说明新图分为两个连通的子图，设为T1和T2 ，且 原图无圈，子图也不会有圈，即两棵不相交的树(顶点的交 集为空集)。 设T1=(V1,E1)，T2=(V2,E2)，由归纳假定有 |V1|-1=|E1|，|V2|-1=|E2|。 又|V|=|V1|+|V2|，|E|=|E1|+|E2|+1。所以有定理得证。
定理2的证明
12
③① 已知T中无圈且|V|－1=|E|。若T不连通，设 T有 k个连通分枝：T1，T2，…，Tk，Ti=(Vi, Ei )(1≤i≤k)。对于每一个i (1≤i≤k), Ti是连通的 且无圈，故Ti是树。由定理1知，|Vi|－1=|Ei|， 1≤i≤k。又
∑|Vi|=|V|， ∑|Ei|=|E|
v0 v0
v2
v5
v8
23
v4
v7
v9
v1 v2
v3 v5 v4
v6
v8 v7
v9
4
v6
v8 v7
v9
v1
v3
v6
例(续)
在图10.2中， TG=(V,D), 其中D由红线组成。 取枝e={v7,v8} V1={v0,v1,v2,v3,v4,v6,v7,v9} V2={v5,v7,v8} D’={{u,v}∊E│u∊V1, v∊V2} 由右下图中4根绿线组成。
定理4的证明(续)
i=1 i=1
n
n
所以|V|－k=|E|，而已知|V|－1=|E|，即有 |V|－k=|V|－1，故 k=1，即T是连通图。
例题
画出具有7个顶点的所有非同构的树。
13
解：所画出的树有6条边，因而7个顶点的度数之和应为12。 由于每个顶点的度数均大于等于1，因而可以产生一 下7种度数序列： (1) 1 1 1 1 1 1 6, 产生1棵非同构的树T1 (2) 1 1 1 1 1 2 5, 产生1棵非同构的树T2 (3) 1 1 1 1 1 3 4, 产生1棵非同构的树T3 (4) 1 1 1 1 2 2 4, 产生1棵非同构的树T4、T5 (5) 1 1 1 1 2 3 3, 产生1棵非同构的树T6、T7 (6) 1 1 1 2 2 2 3, 产生1棵非同构的树T8、T9、T10 (7) 1 1 2 2 2 2 2, 产生1棵非同构的树T11
基本圈系统
对于 TG的每一个弦，对应于G中的唯一的一个圈。 G中由所有弦所分别对应的圈组成了G关于TG的基本圈 系统。 例： 在图10.2中， 细蓝线为弦。
v0 v2 v5 v4 v7 v9 v8
19
v1
v3
v6
{ v0v1v2v1, v1v3v4v2v1, v1v4v2v1, v2v4v5v2, v3v4v6v3, v4v5v8v7v4, v4v6v7v4, v6v7v8v9v6}
T1
T2
T3
T4
T5
T6
T7
T8
T9
T10
T 11
10.2
连通图的生成树和带权连通图的最小生成树
15
例 假设有分布在不同建筑物中 的5台计算机。计算机连接 的可能方案如右图所示。
实际上，不会同时安装所有的连接，保证计算机之间能 够连通可能一些安装方案有：
这些可能安装方案都是生成子图，并具有树的结构。
v6 v8 v7 v9
v0
v1
v3
v6
定理4的证明
31
证明：设D是一个割集，擦去D后图G的顶点分为两个不 连通的部分分别为V1与V2。设C为图中一个圈， 不妨设 C=(v1,v2,…,vn,v1)，并假定圈中边按圈走动方向定向为有 向边。若有 {vi1,vi1+1},{vi2,vi2+1},…,{vik,vik+1} 是k条圈中边， 沿圈行进方向从vij到vij+1,其中vij∊V1，vij+1∊V2, (1≤j≤k)， 则一定存在k条圈中边{vl1,vl1+1},{vl2,vl2+1},…,{vlk,vlk+1} ， 沿圈行进方向从vlj到vlj+1,其中vlj∊V2，vlj+1∊V1, (1≤j≤k)。 否则圈C的起点v1与终点v1各在V1与V2两个子集之一中， 与C是一个圈矛盾。图10.3所示，圈C为用粗黑线表示。
生成树
16
定义：设G=(V,E)是一个连通图， G的一个生成子图若本 身是一棵树，我们称它为G的一棵生成树。 定理1 任何连通图都有生成树。
证明：设G=(V,E)是一个简单连通图，若G中无圈，则G 本身是G的一棵生成树。 若G中有圈，拿去圈中一条边，原图仍连通。若 再有圈，再拿去圈中一条边，直到G中无圈为止。 因为G中顶点与边均为有限数，故上述工作一定 可以在有限步内结束。 G的这个无圈的连通子图 就是G中一颗生成树。
证明：用反证法。 设生成树的补包含割，则 删除该割集，生成树仍 然存在，即图仍然连通， 这与割集的定义矛盾。 故任何生成树的补不包含割 ，换句话说，任何生 成树都至少包含了割集的一条边。
27
例
生成树
生成树的补
割集
定理3的推论2
证明一个割集的补不含生成树。
28
证明: 从图中去掉任何一个割集后，图就不连通了，所以 一个割集的补是不连通的， 所以不含生成树。
10
定理2的证明
11
②③ 已知T连通且 |V|－1=|E| 。若 T中有圈，拿去圈 中的一条边， T仍连通。我们继续这样的工作，直 到 T中无圈。由于顶点与边都是有限集，上面的工 作一定可以在有限步内终止。 设T中共拿走L条边，由于每次拿去的边都是圈中的 边，不影响 T的连通性，所以剩下的子图T’是连通 且无圈的图，即T’是一棵树。由定理1知， |V’|－1=|E’|，其中V’，E’分别是T’的顶点和边 集。由T’的产生方法，有|V’|=|V|， |E’|=|E| －L。所以|V|－1 =|E|－L。由于 |V|－1=|E|，所以 |E|=|E|－L，即L=0，原 图无圈。
例
割集
割集的补
生成树
例 练习十
(p135)
29
10.11 G是一个连通图，G=(V,E)，v∊V，deg(v)=1, e∊E是关联定点v的一条边。证明e一定是任何一 棵生成树的枝。 证明：假设e不是任何一棵生成树的枝， 则e一定是弦。 根据弦的定义，则e一定对应于一个圈(否则,可以加 入生成树)。 则e关联顶点v的度数至少为2。 这与deg(V)=1矛盾， 所以e一定是任何一棵生成树 的枝。
例1
G=(V,E)是如图10.2中的图，图中红线的边，即为G中 的一棵生成树。
17
显然，G若有生成树，一般不唯一。
生成树的枝、弦
设G=(V,E)是一个图，TG=(V,D)是G的一棵生成树。 称e∊D为TG的枝， 称e∊E但e∉D为TG的弦。 设|V| =n，则TG有 n－1个枝。
18
例： 在图10.2中，粗红线为枝，细蓝线为弦。
定理1的证明
6
证明：用对顶点集V的元素个数归纳法来证。 当|V|=1时，T是一个仅有一个顶点且没有边的图。显 然，|E|=0， 命题成立。 归纳假设若|V|≤k时，命题成立。考察|V|=k+1时的情 况。设{u’,v’} ∊E ，我们擦去边e, 得T的一个子图。 令 V1={v∊V│子图中存在u’到v的通路}， V2={v∊V│子图中存在v’到v的通路}。 例
v0 v0
v2
v5
v8
24
v4
v7
v9
v1 v2
v3 v5 v4
v6
v8 v7
v9
v0
v1 v2
v3 v5 v4
v6
v8 v7
v9
v1
v3
v6
生成树与圈的关系
25
定理2 一个连通图的任何一个圈与任意一棵生成树的补， 至少有一条公共边。 证明 如果有一个圈，它与一棵生成树的补没有公共边， 即圈中的边全是生成树的枝，与一棵树不含圈矛盾， 矛盾说明一个圈与一棵生成树的补至少有一条公共 边。
基本割集
G=(V,E)是一个图，TG是G的一棵生成树。 e={u0,v0} ∊D是TG的枝。令 V1={v∊V │v=u0或在 TG中 v与u0之间有不经过边 e的通路}， V2={v∊V │v=v0或在 TG中 v与v0之间有不经过边 e的通路}， 则 D’={ {u,v} ∊E│u∊V1, v∊V2}是G的一个割集。
3
例 判断下图是否为树。
例1
画出所有5个顶点的树。
4
解：见图10.1所示。
定理1
设 T=(V,E)是一棵树，则有 |E|=|V|-1。
5
分析：对顶点数|V|进行归纳法证明。 当|V|=1和|V|=2时，定理显然是成立的。 归纳假设当|V|≤k时，定理成立。考察|V|=k+1时的情 况。因为树无圈，所以从T中去掉任何一条边，都会 使T变成具有两个连通分支的不连通图。这两个连通 分支也必然是树，譬如说是T1=(V1,E1)和T2=(V2,E2)。 显然，|V1| ≤k, |V2| ≤k。根据归纳假设，有 |E1|=|V1|-1, |E2|=|V2|-1。而|V|=|V1|+|V2|, |E|=|E1|+|E2|-1, 所以|E|=|V|-1, 即定理得证。
9
5•4+3•3+3•2+1•x
= ∑ d(v) =2|E| =2(|V|-1) =2(5+3+3+ x－1)